Корпус Сирса–Хаака

Самая аэродинамическая форма для сверхзвуковых и сверхзвуковых летательных аппаратов

Корпус Сирса–Хаака

Тело Сирса –Хаака — это форма с наименьшим теоретическим волновым сопротивлением в сверхзвуковом потоке для тонкого твердого тела вращения с заданной длиной и объемом тела. Математический вывод предполагает маловозмущенный (линеаризованный) сверхзвуковой поток, который регулируется уравнением Прандтля–Глауэрта . Вывод и форма были опубликованы независимо двумя отдельными исследователями: Вольфгангом Хааком в 1941 году и позднее Уильямом Сирсом в 1947 году . ^{[1] [2] [3]}

Теория Кармана–Мура показывает, что волновое сопротивление масштабируется как квадрат второй производной распределения площади (см. полное выражение ниже), поэтому для низкого волнового сопротивления необходимо, чтобы было гладким . Таким образом, тело Сирса–Хаака заострено на каждом конце и плавно растет до максимума, а затем плавно уменьшается ко второй точке. ${\displaystyle D_{\text{wave}}\sim [S''(x)]^{2}}$ ${\displaystyle S(x)}$

Полезные формулы

Площадь поперечного сечения тела Сирса-Хаака равна

${\displaystyle S(x)={\frac {16V}{3L\pi }}[4x(1-x)]^{3/2}=\pi R_{\text{max}}^{2}[4x(1-x)]^{3/2},}$

его объем составляет

${\displaystyle V={\frac {3\pi ^{2}}{16}}R_{\text{max}}^{2}L,}$

его радиус равен

${\displaystyle r(x)=R_{\text{max}}[4x(1-x)]^{3/4},}$

производная (наклон) равна

${\displaystyle r'(x)=3R_{\text{max}}[4x(1-x)]^{-1/4}(1-2x),}$

вторая производная равна

${\displaystyle r''(x)=-3R_{\text{max}}\{[4x(1-x)]^{-5/4}(1-2x)^{2}+2[4x(1-x)]^{-1/4}\},}$

где:

• x — отношение расстояния от носа к длине всего тела (всегда находится в пределах от 0 до 1),
• r — локальный радиус,
• ${\displaystyle R_{\text{max}}}$— радиус в максимуме (имеет место при x = 0,5, в центре фигуры),
• V — объем,
• L — длина.

Из теории Кармана-Мура следует, что:

${\displaystyle D_{\text{wave}}=-{\frac {1}{4\pi }}\rho U^{2}\int _{0}^{\ell }\int _{0}^{\ell }S''(x_{1})S''(x_{2})\ln |x_{1}-x_{2}|\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2},}$

альтернативно:

${\displaystyle D_{\text{wave}}=-{\frac {1}{2\pi }}\rho U^{2}\int _{0}^{\ell }S''(x)\mathrm {d} x\int _{0}^{x}S''(x_{1})\ln(x-x_{1})\mathrm {d} x_{1}.}$

Эти формулы можно объединить, чтобы получить следующее:

${\displaystyle D_{\text{wave}}={\frac {64V^{2}}{\pi L^{4}}}\rho U^{2}={\frac {9\pi ^{3}R_{max}^{4}}{4L^{2}}}\rho U^{2},}$

${\displaystyle C_{D_{\text{wave}}}={\frac {24V}{L^{3}}}={\frac {9\pi ^{2}R_{max}^{2}}{2L^{2}}},}$

где:

• ${\displaystyle D_{\text{wave}}}$это сила волнового сопротивления ,
• ${\displaystyle C_{D_{\text{wave}}}}$- коэффициент лобового сопротивления (нормированный по динамическому давлению и лобовой площади),
• ${\displaystyle \rho }$- плотность жидкости,
• U — скорость.

Вывод

Согласно теории Кармана–Мура , сила волнового сопротивления определяется выражением

${\displaystyle F=-{\frac {\rho U^{2}}{2\pi }}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l}S''(\xi _{1})S''(\xi _{2})\ln |\xi _{2}-\xi _{1}|d\xi _{1}d\xi _{2}}$

где - площадь поперечного сечения тела, перпендикулярная оси тела; здесь представляет переднюю кромку, а - заднюю кромку, хотя теория Кармана–Мура не различает эти концы, поскольку коэффициент сопротивления не зависит от направления движения в линейной теории. Вместо можно определить функцию и разложить ее в ряд ${\displaystyle S(x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=l}$ ${\displaystyle S(x)}$ ${\displaystyle f(x)=S'(x)}$

${\displaystyle f=-l\sum _{n=2}^{\infty }A_{n}\sin n\theta ,\quad x={\frac {l}{2}}(1-\cos \theta )}$

где . Ряд начинается из -за условия . Имеем ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle S(0)=S(l)=0}$

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}f(x)dx,\quad V=\int _{0}^{l}S(x)dx={\frac {\pi }{16}}l^{3}A_{2}.}$

Обратите внимание, что объем тела зависит только от коэффициента . ${\displaystyle A_{2}}$

Чтобы вычислить силу сопротивления, сначала перепишем формулу силы сопротивления, проинтегрировав по частям один раз:

${\displaystyle F=\mathrm {p.v.} {\frac {\rho U^{2}}{2\pi }}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l}f(\xi _{1})f'(\xi _{2}){\frac {d\xi _{1}d\xi _{2}}{\xi _{1}-\xi _{2}}}}$

в котором обозначает главное значение Коши . Теперь мы можем заменить расширение на и проинтегрировать выражение, используя следующие два тождества ${\displaystyle \mathrm {p.v.} }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathrm {p.v.} \int _{0}^{\pi }{\frac {\cos n\theta _{2}}{\cos \theta _{2}-\cos \theta _{1}}}d\theta _{2}={\frac {\pi \sin n\theta _{1}}{\sin \theta _{1}}},\quad \int _{0}^{\pi }\sin n\theta _{1}\sin m\theta _{1}d\theta _{1}={\frac {\pi }{2}}{\begin{cases}1\,\,(m=n),\\0,\,\,(m\neq n).\end{cases}}}$

Окончательный результат, выраженный через коэффициент сопротивления , просто определяется по формуле ^[4] ${\displaystyle C_{d}=F/\rho U^{2}l^{2}/2}$

${\displaystyle C_{d}={\frac {\pi }{4}}\sum _{n=2}^{\infty }nA_{n}^{2}.}$

Так как зависит только от , то минимальное значение достигается при . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A_{n}=0}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

Таким образом, положив для , получим , ${\displaystyle A_{n}=0}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle S=(1/3)l^{3}A_{2}\sin ^{3}\theta }$

${\displaystyle C_{d}={\frac {128}{\pi }}\left({\frac {V}{l^{3}}}\right)^{2}={\frac {9\pi }{2}}\left({\frac {S_{\mathrm {max} }}{l^{2}}}\right)^{2},\quad R(x)={\frac {8{\sqrt {2}}}{\pi }}\left({\frac {V}{3l^{4}}}\right)^{1/2}[x(l-x)]^{3/4},}$

где радиус как функция . ${\displaystyle R(x)}$ ${\displaystyle x}$

Обобщение RT Jones

Вывод формы тела Сирса-Хаака верен только в пределе тонкого тела. Теория была обобщена на тонкие, но неосесимметричные формы Робертом Т. Джонсом в отчете NACA 1284. ^[5] В этом расширении область определяется на конусе Маха , вершина которого находится в месте , а не на плоскости, как предполагали Сирс и Хаак. Следовательно, теория Джонса делает ее применимой к более сложным формам, таким как весь сверхзвуковой самолет. ${\displaystyle S(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x={\text{constant}}}$

Правило площади

Поверхностно связанной концепцией является правило площадей Уиткомба , которое гласит, что волновое сопротивление из-за объема в околозвуковом потоке зависит в первую очередь от распределения общей площади поперечного сечения, и для низкого волнового сопротивления это распределение должно быть гладким. Распространенное заблуждение состоит в том, что тело Сирса–Хаака имеет идеальное распределение площади в соответствии с правилом площадей, но это неверно. Уравнение Прандтля–Глауэрта , которое является отправной точкой в ​​выводе формы тела Сирса–Хаака, недействительно в околозвуковом потоке, где применяется правило площадей .

Смотрите также

• Преобразование Прандтля–Глауэрта
• Аэродинамика
• Противоударный корпус
• носовой обтекатель серии Haack
• Правило площади
• Лимон (геометрия)

Ссылки

1. Хаак, В. (1941). Geschossformen kleinsten wellenwiderstandes. Берихт дер Лилиенталь-Гезельшафт, 136(1), 14-28.
2. Sears, WR (1947). О снарядах с минимальным волновым сопротивлением. Quarterly of Applied Mathematics, 4(4), 361-366.
3. Паланиаппан, Картик (2004). Тела с минимальным сопротивлением давлению в сверхзвуковом потоке — исследование нелинейных эффектов (PDF) . 22-я конференция и выставка по прикладной аэродинамике. Энтони Джеймсон . Получено 16.09.2010 .
4. Ландау, Л. Д. и Лифшиц, Э. М. (2013). Механика жидкости: Ландау и Лифшиц: курс теоретической физики, том 6 (т. 6). Elsevier. стр. 473-474.
5. Отчет NACA 1284, Теория сопротивления крыла-корпуса на сверхзвуковых скоростях, Роберт Т. Джонс, 8 июля 1953 г.

Внешние ссылки

• Сайт Haack Minimum Drag Rifle Bullet закрыт – https://web.archive.org/web/20160306044740/http://www.lima-wiederladetechnik.de/englisch/haack_minimum_drag_bullet.htm
• Geschoßformen kleinsten Wellenwiderstandes В. Хаака, Bericht 139 der Lilienthal-Gesellschaft (1941)
• Калькулятор тела Сирса–Хаака