Разделимое состояние

Квантовые состояния, которые не запутаны

В квантовой механике разделяемые состояния — это многосоставные квантовые состояния , которые можно записать как выпуклую комбинацию состояний-продуктов. Состояния-продукты — это многосоставные квантовые состояния, которые можно записать как тензорное произведение состояний в каждом пространстве. Физическая интуиция, стоящая за этими определениями, заключается в том, что состояния-продукты не имеют корреляции между различными степенями свободы, в то время как разделяемые состояния могут иметь корреляции, но все такие корреляции можно объяснить как обусловленные классической случайной величиной, а не как обусловленные запутанностью.

В частном случае чистых состояний определение упрощается: чистое состояние разделимо тогда и только тогда, когда оно является состоянием-произведением.

Состояние называется запутанным, если оно неразделимо. В общем случае определение того, является ли состояние разделимым, не является простым, и задача классифицируется как NP-трудная .

Разделимость двухкомпонентных систем

Рассмотрим сначала составные состояния с двумя степенями свободы, называемые двудольными состояниями . Согласно постулату квантовой механики их можно описать как векторы в пространстве тензорного произведения . В этом обсуждении мы сосредоточимся на случае гильбертовых пространств и конечномерности. ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Чистые состояния

Пусть и будут ортонормированными базисами для и , соответственно. Тогда базисом для будет , или в более компактной записи . Из самого определения тензорного произведения любой вектор нормы 1, т.е. чистое состояние составной системы, можно записать как ${\displaystyle \{|{a_{i}}\rangle \}_{i=1}^{n}\subset H_{1}}$ ${\displaystyle \{|{b_{j}}\rangle \}_{j=1}^{m}\subset H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle \{|{a_{i}}\rangle \otimes |{b_{j}}\rangle \}}$ ${\displaystyle \{|a_{i}b_{j}\rangle \}}$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i,j}c_{i,j}(|a_{i}\rangle \otimes |b_{j}\rangle )=\sum _{i,j}c_{i,j}|a_{i}b_{j}\rangle ,}$

где - константа. Если можно записать в виде простого тензора , то есть в форме с чистым состоянием в i -м пространстве, то говорят, что это состояние произведения , и, в частности, сепарабельное . В противном случае оно называется запутанным . Отметим, что, хотя понятия произведения и сепарабельных состояний совпадают для чистых состояний, они не совпадают в более общем случае смешанных состояний. ${\displaystyle c_{i,j}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes |\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$

Чистые состояния запутаны тогда и только тогда, когда их частичные состояния не являются чистыми . Чтобы увидеть это, запишите разложение Шмидта как ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{k=1}^{r_{\psi }}{\sqrt {p_{k}}}(|u_{k}\rangle \otimes |v_{k}\rangle ),}$

где — положительные действительные числа, — ранг Шмидта , а и — множества ортонормированных состояний в и соответственно. Состояние запутано тогда и только тогда, когда . В то же время частичное состояние имеет вид ${\displaystyle {\sqrt {p_{k}}}>0}$ ${\displaystyle r_{\psi }}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \{|u_{k}\rangle \}_{k=1}^{r_{\psi }}\subset H_{1}}$ ${\displaystyle \{|v_{k}\rangle \}_{k=1}^{r_{\psi }}\subset H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle r_{\psi }>1}$

${\displaystyle \rho _{A}\equiv \operatorname {Tr} _{B}(|\psi \rangle \!\langle \psi |)=\sum _{k=1}^{r_{\psi }}p_{k}\,|u_{k}\rangle \!\langle u_{k}|.}$

Отсюда следует, что является чистым --- то есть является проекцией с единичным рангом --- тогда и только тогда, когда , что эквивалентно разделимости. ${\displaystyle \rho _{A}}$ ${\displaystyle r_{\psi }=1}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Физически это означает, что невозможно приписать определенное (чистое) состояние подсистемам, которые вместо этого должны быть описаны как статистические ансамбли чистых состояний, то есть как матрицы плотности . Таким образом, чистое состояние запутано тогда и только тогда, когда энтропия фон Неймана парциального состояния не равна нулю. ${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \!\langle \psi |}$ ${\displaystyle \rho _{A}\equiv \operatorname {Tr} _{B}(\rho )}$

Формально вложение произведения состояний в пространство произведений задается вложением Сегре . ^[1] То есть, квантово-механическое чистое состояние разделимо тогда и только тогда, когда оно находится в образе вложения Сегре.

Например, в двухкубитном пространстве, где , состояния , , , являются произведением (и, таким образом, разделимыми) чистых состояний, как и в случае . С другой стороны, состояния типа или неразделимы. ${\displaystyle H_{1}=H_{2}=\mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle |0\rangle \otimes |0\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle \otimes |1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle \otimes |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle \otimes |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle \equiv {\sqrt {1/3}}|0\rangle +{\sqrt {2/3}}|1\rangle }$ ${\displaystyle {\sqrt {1/2}}|00\rangle +{\sqrt {1/2}}|11\rangle }$ ${\displaystyle {\sqrt {1/3}}|01\rangle +{\sqrt {2/3}}|10\rangle }$

Смешанные состояния

Рассмотрим случай смешанного состояния. Смешанное состояние составной системы описывается матрицей плотности, действующей на . ρ является разделимым, если существуют , и которые являются смешанными состояниями соответствующих подсистем, такими что ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle p_{k}\geq 0}$ ${\displaystyle \{\rho _{1}^{k}\}}$ ${\displaystyle \{\rho _{2}^{k}\}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}}$

где

${\displaystyle \;\sum _{k}p_{k}=1.}$

В противном случае называется запутанным состоянием. Без потери общности в приведенном выше выражении можно предположить, что и являются проекциями ранга 1, то есть представляют собой чистые ансамбли соответствующих подсистем. Из определения ясно, что семейство разделимых состояний является выпуклым множеством . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \{\rho _{1}^{k}\}}$ ${\displaystyle \{\rho _{2}^{k}\}}$

Обратите внимание, что, опять же из определения тензорного произведения, любая матрица плотности, на самом деле любая матрица, действующая на составное пространство состояний, может быть тривиально записана в желаемой форме, если мы отбросим требование, что и сами являются состояниями, и Если эти требования выполнены, то мы можем интерпретировать общее состояние как распределение вероятностей по некоррелированным состояниям произведения . ${\displaystyle \{\rho _{1}^{k}\}}$ ${\displaystyle \{\rho _{2}^{k}\}}$ ${\displaystyle \;\sum _{k}p_{k}=1.}$

С точки зрения квантовых каналов , разделимое состояние может быть создано из любого другого состояния с использованием локальных действий и классической коммуникации, тогда как запутанное состояние невозможно.

Когда пространства состояний бесконечномерны, матрицы плотности заменяются положительными операторами класса следа со следом 1, и состояние является разделимым, если его можно аппроксимировать в норме следа состояниями вышеуказанной формы.

Если есть только один ненулевой , то состояние может быть выражено так же, как и называется просто разделимым или продуктным состоянием . Одним из свойств продукта является то, что в терминах энтропии , ${\displaystyle p_{k}}$ ${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2},}$

${\displaystyle S(\rho )=S(\rho _{1})+S(\rho _{2}).}$

Распространение на многосторонний случай

Приведенное выше обсуждение легко обобщается на случай квантовой системы, состоящей из более чем двух подсистем. Пусть система имеет n подсистем и имеет пространство состояний . Чистое состояние является разделимым, если оно принимает форму ${\displaystyle H=H_{1}\otimes \cdots \otimes H_{n}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle \in H}$

${\displaystyle |\psi \rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes \cdots \otimes |\psi _{n}\rangle .}$

Аналогично, смешанное состояние ρ, действующее на H, является сепарабельным, если оно является выпуклой суммой

${\displaystyle \rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \cdots \otimes \rho _{n}^{k}.}$

Или, в бесконечномерном случае, ρ разделимо, если его можно аппроксимировать в следовой норме состояниями вышеуказанной формы.

Критерий разделимости

Проблема определения того, является ли состояние вообще отделимым, иногда называется проблемой отделимости.в квантовой теории информации . Это считается сложной задачей. Было показано, что она является NP-трудной во многих случаях ^{[2] [3]} и считается таковой в целом. Некоторое понимание этой трудности можно получить, если попытаться решить задачу, используя прямой подход грубой силы для фиксированной размерности. Задача быстро становится неразрешимой даже для низких размерностей. Таким образом, требуются более сложные формулировки. Проблема разделимости является предметом текущих исследований.

Критерий разделимости — это необходимое условие, которому должно удовлетворять состояние, чтобы быть разделимым. В случаях с низкой размерностью ( 2 X 2 и 2 X 3 ) критерий Переса-Городецки на самом деле является необходимым и достаточным условием для разделимости. Другие критерии разделимости включают (но не ограничиваются) критерий диапазона , критерий сокращения и те, которые основаны на соотношениях неопределенности. ^{[4] [5] [6] [7]} См. ^[8] для обзора критериев разделимости в дискретных переменных системах.

В системах с непрерывными переменными также применяется критерий Переса-Городецки . В частности, Саймон ^[9] сформулировал конкретную версию критерия Переса-Городецки в терминах моментов второго порядка канонических операторов и показал, что он необходим и достаточен для -mode гауссовых состояний (см. Ref. ^[10] для, казалось бы, другого, но по сути эквивалентного подхода). Позднее было обнаружено ^[11] , что условие Саймона также необходимо и достаточно для -mode гауссовых состояний, но уже недостаточно для -mode гауссовых состояний. Условие Саймона можно обобщить, приняв во внимание моменты более высокого порядка канонических операторов ^{[12] [13]} или используя энтропийные меры. ^{[14] [15]} ${\displaystyle 1\oplus 1}$ ${\displaystyle 1\oplus n}$ ${\displaystyle 2\oplus 2}$

Характеристика через алгебраическую геометрию

Квантовая механика может быть смоделирована на проективном гильбертовом пространстве , а категориальное произведение двух таких пространств — вложение Сегре . В двудольном случае квантовое состояние разделимо тогда и только тогда, когда оно лежит в образе вложения Сегре. Йон Магне Лейнаас , Ян Мирхейм и Эйрик Оврум в своей статье «Геометрические аспекты запутывания» ^[16] описывают проблему и изучают геометрию разделимых состояний как подмножество матриц общего состояния. Это подмножество имеет некоторое пересечение с подмножеством состояний, удовлетворяющих критерию Переса-Городецки. В этой статье Лейнаас и др. также приводят численный подход к проверке разделимости в общем случае.

Тестирование на разделимость

Тестирование на разделимость в общем случае является NP-трудной задачей. ^{[2] [3]} Лейнаас и др. ^[16] сформулировали итеративный вероятностный алгоритм для проверки того, является ли заданное состояние разделимым. Когда алгоритм успешен, он дает явное случайное представление заданного состояния как разделимого состояния. В противном случае он дает расстояние заданного состояния от ближайшего разделимого состояния, которое он может найти.

Смотрите также

• Свидетель запутывания

Ссылки

1. Гарахи, Масуд; Манчини, Стефано; Оттавиани, Джорджио (1 октября 2020 г.). «Тонкоструктурная классификация многокубитовой запутанности с помощью алгебраической геометрии». Physical Review Research . 2 (4): 043003. arXiv : 1910.09665 . Bibcode : 2020PhRvR...2d3003G. doi : 10.1103/PhysRevResearch.2.043003 . S2CID  204824024.
2. Гурвиц, Л., Классическая детерминированная сложность проблемы Эдмондса и квантовая запутанность, в Трудах 35-го симпозиума ACM по теории вычислений, ACM Press, Нью-Йорк, 2003.
3. Sevag Gharibian, Сильная NP-трудность проблемы квантовой разделимости, Квантовая информация и вычисления, т. 10, № 3 и 4, стр. 343-360, 2010. arXiv:0810.4507.
4. Хофманн, Хольгер Ф.; Такеучи, Шигеки (22 сентября 2003 г.). «Нарушение локальных соотношений неопределенности как признак запутанности». Physical Review A. 68 ( 3): 032103. arXiv : quant-ph/0212090 . Bibcode : 2003PhRvA..68c2103H. doi : 10.1103/PhysRevA.68.032103. S2CID  54893300.
5. Гюне, Отфрид (18 марта 2004 г.). «Характеристика запутанности через соотношения неопределенности». Physical Review Letters . 92 (11): 117903. arXiv : quant-ph/0306194 . Bibcode : 2004PhRvL..92k7903G. doi : 10.1103/PhysRevLett.92.117903. PMID  15089173. S2CID  5696147.
6. Гюне, Отфрид; Левенштейн, Мачей (24 августа 2004 г.). «Энтропические соотношения неопределенности и запутанность». Physical Review A. 70 ( 2): 022316. arXiv : quant-ph/0403219 . Bibcode : 2004PhRvA..70b2316G. doi : 10.1103/PhysRevA.70.022316. S2CID  118952931.
7. Хуан, Ичен (29 июля 2010 г.). «Критерии запутанности с помощью соотношений неопределенности вогнутой функции». Physical Review A. 82 ( 1): 012335. Bibcode : 2010PhRvA..82a2335H. doi : 10.1103/PhysRevA.82.012335.
8. Гюне, Отфрид; Тот, Геза (2009). «Обнаружение запутанности». Physics Reports . 474 (1–6): 1–75. arXiv : 0811.2803 . Bibcode : 2009PhR...474....1G. doi : 10.1016/j.physrep.2009.02.004. S2CID  119288569.
9. Simon, R. (2000). «Критерий разделимости Переса-Городецки для систем с непрерывными переменными». Physical Review Letters . 84 (12): 2726–2729. arXiv : quant-ph/9909044 . Bibcode : 2000PhRvL..84.2726S. doi : 10.1103/PhysRevLett.84.2726. PMID  11017310. S2CID  11664720.
10. Дуань, Лу-Мин; Гидке, Г.; Сирак, ДЖИ; Цоллер, П. (2000). «Критерий неразделимости для систем с непрерывными переменными». Physical Review Letters . 84 (12): 2722–2725. arXiv : quant-ph/9908056 . Bibcode : 2000PhRvL..84.2722D. doi : 10.1103/PhysRevLett.84.2722. PMID  11017309. S2CID  9948874.
11. Вернер, RF; Вольф, MM (2001). «Связанные запутанные гауссовские состояния». Physical Review Letters . 86 (16): 3658–3661. arXiv : quant-ph/0009118 . Bibcode : 2001PhRvL..86.3658W. doi : 10.1103/PhysRevLett.86.3658. PMID  11328047. S2CID  20897950.
12. Щукин, Э.; Фогель, В. (2005). "Критерии неразделимости для непрерывных двудольных квантовых состояний". Physical Review Letters . 95 (23): 230502. arXiv : quant-ph/0508132 . Bibcode : 2005PhRvL..95w0502S. doi : 10.1103/PhysRevLett.95.230502. PMID  16384285. S2CID  28595936.
13. Хиллери, Марк; Зубайри, М.Сухаил (2006). «Условия запутывания для двухмодовых состояний». Physical Review Letters . 96 (5): 050503. arXiv : quant-ph/0507168 . Bibcode : 2006PhRvL..96e0503H. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.050503. PMID  16486912. S2CID  43756465.
14. Walborn, S.; Taketani, B.; Salles, A.; Toscano, F.; de Matos Filho, R. (2009). «Критерии энтропической запутанности для непрерывных переменных». Physical Review Letters . 103 (16): 160505. arXiv : 0909.0147 . Bibcode : 2009PhRvL.103p0505W. doi : 10.1103/PhysRevLett.103.160505. PMID  19905682. S2CID  10523704.
15. Yichen Huang (октябрь 2013 г.). «Обнаружение запутанности: критерии сложности и энтропии Шеннона». Труды IEEE по теории информации . 59 (10): 6774–6778. doi :10.1109/TIT.2013.2257936. S2CID  7149863.
16. "Геометрические аспекты запутанности", Physical Review A 74, 012313 (2006)

Внешние ссылки

• Веб-приложение "StateSeparator"