stringtranslate.com

Шестидесятеричный

Шестидесятеричная система , также известная как система счисления с основанием 60 , [1] — это система счисления с основанием шестьдесят . Она возникла у древних шумеров в 3-м тысячелетии до нашей эры, была передана древним вавилонянам и до сих пор используется — в измененной форме — для измерения времени , углов и географических координат .

Число 60, высшее высоко составное число , имеет двенадцать делителей , а именно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, из которых 2, 3 и 5 являются простыми числами . При таком количестве множителей многие дроби , включающие шестидесятеричные числа, упрощаются. Например, один час можно разделить на равные части по 30 минут, 20 минут, 15 минут, 12 минут, 10 минут, 6 минут, 5 минут, 4 минуты, 3 минуты, 2 минуты и 1 минута. 60 — наименьшее число, которое делится на каждое число от 1 до 6; то есть это наименьшее общее кратное 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

В этой статье все шестидесятеричные цифры представлены в виде десятичных чисел, если не указано иное. Например, самая большая шестидесятеричная цифра — «59».

Источник

По словам Отто Нойгебауэра , происхождение шестидесятеричной системы не так просто, последовательно или единично во времени, как это часто изображают. На протяжении многих столетий использования, которое продолжается и сегодня для таких специализированных тем, как время, углы и астрономические системы координат, шестидесятеричные обозначения всегда содержали в себе сильный подтекст десятичной записи, например, в том, как пишутся шестидесятеричные цифры. Их использование также всегда включало (и продолжает включать) несоответствия в том, где и как различные основания должны представлять числа даже в пределах одного текста. [2]

Ранняя протоклинография (IV тыс. до н. э.) и клинописные знаки для шестидесятеричной системы (60, 600, 3600 и т. д.)

Самым мощным стимулом для строгого, полностью самосогласованного использования шестидесятеричной системы всегда были ее математические преимущества для записи и вычисления дробей. В древних текстах это проявляется в том факте, что шестидесятеричная система используется наиболее единообразно и последовательно в математических таблицах данных. [2] Другим практическим фактором, который помог расширить использование шестидесятеричной системы в прошлом, даже если и менее последовательно, чем в математических таблицах, были ее определенные преимущества для торговцев и покупателей для упрощения повседневных финансовых операций, когда они включали торги и раздел больших количеств товаров. В конце 3-го тысячелетия до н. э. шумерские/аккадские единицы веса включали каккару ( талант , приблизительно 30 кг), разделенный на 60 ману ( мина ), который далее подразделялся на 60 шиклу ( шекель ); Потомки этих единиц сохранялись на протяжении тысячелетий, хотя позднее греки изменили это соотношение на более совместимое с основанием 10 соотношение, при котором шекель равен одной пятидесятой мины .

Помимо математических таблиц, несоответствия в том, как числа были представлены в большинстве текстов, распространялись вплоть до самых основных клинописных символов, используемых для представления числовых величин. [2] Например, клинописный символ для 1 был эллипсом, сделанным путем приложения закругленного конца стилуса под углом к ​​глине, в то время как шестидесятеричный символ для 60 был большим овалом или «большой 1». Но в тех же текстах, в которых использовались эти символы, число 10 было представлено в виде круга, сделанного путем применения круглого конца стилуса перпендикулярно глине, а больший круг или «большая 10» использовался для представления 100. Такие многоосновные числовые символы количества могли смешиваться друг с другом и с сокращениями, даже в пределах одного числа. Детали и даже подразумеваемые величины (поскольку ноль не использовался последовательно ) были идиоматичны для конкретных временных периодов, культур и количеств или представленных концепций. Хотя такие контекстно-зависимые представления числовых величин легко критиковать в ретроспективе, в наше время у нас все еще есть десятки регулярно используемых примеров тематически-зависимого смешивания оснований, включая недавнее нововведение добавления десятичных дробей к шестидесятеричным астрономическим координатам. [2]

Использование

Вавилонская математика

Шестидесятеричная система, использовавшаяся в древней Месопотамии , не была чисто 60-ричной системой в том смысле, что она не использовала 60 отдельных символов для своих цифр . Вместо этого клинописные цифры использовали десять в качестве подосновы в стиле знаково-значимой нотации : шестидесятеричная цифра состояла из группы узких клиновидных знаков, представляющих единицы до девяти (,,,, ...,) и группа широких клиновидных знаков, представляющих до пяти десятков (,,,,). Значение цифры представляло собой сумму значений ее составных частей:

Числа больше 59 обозначались несколькими блоками символов этой формы в нотации значений места . Поскольку не было символа для нуля, не всегда сразу очевидно, как следует интерпретировать число, и его истинное значение иногда должно было определяться его контекстом. Например, символы для 1 и 60 идентичны. [3] [4] Более поздние вавилонские тексты использовали заполнитель () для представления нуля, но только в средних позициях, а не с правой стороны числа, как в таких числах, как13 200 . [4]

Другие исторические случаи использования

Комбинации 5 стихий и 12 животных китайского зодиака образуют 60-летний шестидесятилетний цикл.

В китайском календаре обычно используется система, в которой дни или годы именуются по позициям в последовательности из десяти стволов и в другой последовательности из 12 ветвей. Один и тот же ствол и ветвь повторяются каждые 60 шагов в этом цикле.

Восьмая книга « Государства » Платона содержит аллегорию брака, сосредоточенную на числе 60 4 =12 960 000 и его делители. Это число имеет особенно простое шестидесятеричное представление 1,0,0,0,0. Более поздние ученые прибегали как к вавилонской математике, так и к теории музыки в попытке объяснить этот отрывок. [5]

Альмагест Птолемея , трактат по математической астрономии, написанный во втором веке нашей эры, использует основание 60 для выражения дробных частей чисел. В частности, его таблица хорд , которая была по сути единственной обширной тригонометрической таблицей на протяжении более чем тысячелетия, имеет дробные части градуса в основании 60 и была практически эквивалентна современной таблице значений функции синуса .

Средневековые астрономы также использовали шестидесятеричные числа для обозначения времени. Аль-Бируни впервые разделил час шестидесятеричным способом на минуты , секунды , терции и четверти в 1000, обсуждая еврейские месяцы. [6] Около 1235 года Иоанн Сакробоско продолжил эту традицию, хотя Нотхафт считал, что Сакробоско был первым, кто сделал это. [7] Парижская версия таблиц Альфонсина (около 1320 года) использовала день в качестве основной единицы времени, записывая кратные и дробные части дня в шестидесятеричной системе счисления. [8]

Шестидесятеричная система счисления продолжала часто использоваться европейскими астрономами для выполнения вычислений вплоть до 1671 года. [9] Например, Йост Бюрги в работе Fundamentum Astronomiae (представленной императору Рудольфу II в 1592 году), его коллега Урсус в работе Fundamentum Astronomicum и, возможно, также Генри Бриггс использовали таблицы умножения, основанные на шестидесятеричной системе, в конце XVI века для вычисления синусов. [10]

В конце XVIII и начале XIX веков было обнаружено, что тамильские астрономы производили астрономические расчеты, считая с помощью раковин, используя смесь десятичных и шестидесятеричных обозначений, разработанных эллинистическими астрономами. [11]

Системы счисления с основанием 60 также использовались в некоторых других культурах, не связанных с шумерами, например, народом экари в Западной Новой Гвинее . [12] [13]

Современное использование

Современное использование шестидесятеричной системы включает измерение углов , географических координат , электронной навигации и времени . [14]

Один час времени делится на 60 минут , а одна минута делится на 60 секунд. Таким образом, измерение времени, такое как 3:23:17 (3 часа, 23 минуты и 17 секунд), можно интерпретировать как целое шестидесятеричное число (без шестидесятеричной точки), то есть 3 × 60 2 + 23 × 60 1 + 17 × 60 0 секунд . Однако каждая из трех шестидесятеричных цифр в этом числе (3, 23 и 17) записана с использованием десятичной системы.

Аналогично, практической единицей измерения угла является градус , которых в окружности 360 (шесть шестидесятых). В градусе 60 угловых минут , а в минуте 60 угловых секунд .

ЯМЛ

В версии 1.1 [15] формата хранения данных YAML шестидесятеричные числа поддерживаются для простых скаляров и формально указаны как для целых чисел [16], так и для чисел с плавающей точкой. [17] Это привело к путанице, так как, например, некоторые MAC-адреса распознавались как шестидесятеричные и загружались как целые числа, тогда как другие — нет и загружались как строки. В YAML 1.2 поддержка шестидесятеричных чисел была прекращена. [18]

Обозначения

В эллинистических греческих астрономических текстах, таких как труды Птолемея , шестидесятеричные числа записывались с использованием греческих алфавитных цифр , причем каждая шестидесятеричная цифра рассматривалась как отдельное число. Эллинистические астрономы приняли новый символ для нуля,°, которая на протяжении столетий трансформировалась в другие формы, включая греческую букву омикрон, ο, обычно означающую 70, но допустимую в шестидесятеричной системе, где максимальное значение в любой позиции равно 59. [19] [20] Греки ограничивали использование шестидесятеричных чисел дробной частью числа. [21]

В средневековых латинских текстах шестидесятеричные числа записывались арабскими цифрами ; различные уровни дробей обозначались minuta (т. е. дробь), minuta secunda , minuta tertia и т. д. К XVII веку стало обычным обозначать целую часть шестидесятеричных чисел надстрочным нулем, а различные дробные части — одним или несколькими знаками ударения. Джон Уоллис в своем труде Mathesis universalis обобщил эту нотацию, включив в нее более высокие кратные 60; приведя в качестве примера число 49‵‵‵‵36‵‵‵25‵‵15‵1°15′2″36‴49⁗ ; где числа слева умножаются на более высокие степени 60, числа справа делятся на степени 60, а число, отмеченное верхним индексом ноль, умножается на 1. [22] Эта нотация приводит к современным знакам для градусов, минут и секунд. Та же самая номенклатура минут и секунд используется также для единиц времени, и современная нотация для времени с часами, минутами и секундами, записанными в десятичной системе и отделенными друг от друга двоеточиями, может быть интерпретирована как форма шестидесятеричной записи.

В некоторых системах использования каждая позиция после шестидесятеричной точки была пронумерована, используя латинские или французские корни: prime или primus , seconde или secundus , tierce , quatre , quinte и т. д. По сей день мы называем вторую часть часа или градуса «секундой». По крайней мере до 18 века, 1/60 секунды назывался «терцией» или «третьей». [23] [24]

В 1930-х годах Отто Нойгебауэр ввел современную систему обозначений для вавилонских и эллинистических чисел, которая заменяет современную десятичную запись от 0 до 59 в каждой позиции, используя точку с запятой (;) для разделения целой и дробной частей числа и запятую (,) для разделения позиций внутри каждой части. [25] Например, средний синодический месяц, используемый как вавилонскими, так и эллинистическими астрономами и до сих пор используемый в еврейском календаре , составляет 29;31,50,8,20 дней. Эта запись используется в этой статье.

Дроби и иррациональные числа

Дроби

В шестидесятеричной системе любая дробь , в которой знаменатель является обычным числом (имеющим только 2, 3 и 5 в своем разложении на простые множители ), может быть выражена точно. [26] Здесь показаны все дроби этого типа, в которых знаменатель меньше или равен 60:

12 = 0;30
13 = 0;20
14 = 0;15
15 = 0;12
16 = 0;10
18 = 0;7,30
19 = 0;6,40
110 = 0;6
112 = 0;5
115 = 0;4
116 = 0;3,45
118 = 0;3,20
120 = 0;3
124 = 0;2,30
125 = 0;2,24
127 = 0;2,13,20
130 = 0;2
132 = 0;1,52,30
136 = 0;1,40
140 = 0;1,30
145 = 0;1,20
148 = 0;1,15
150 = 0;1,12
154 = 0;1,6,40
160 = 0;1

Однако числа, которые не являются регулярными, образуют более сложные повторяющиеся дроби . Например:

17 = 0; 8,34,17 (черта обозначает последовательность шестидесятеричных цифр 8,34,17, повторяющуюся бесконечное количество раз)
111 = 0; 5,27,16,21,49
113 = 0; 4,36,55,23
114 = 0;4, 17,8,34
1/17 = 0 ; 3,31,45,52,56,28,14,7
1/19 = 0 ; 3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41
159 = 0; 1
161 = 0; 0,59

Тот факт, что два числа, соседние с числом шестьдесят, 59 и 61, являются простыми числами, означает, что дроби, повторяющиеся с периодом в одну или две шестидесятеричные цифры, могут иметь в качестве знаменателей только правильные числа, кратные 59 или 61, и что другие неправильные числа имеют дроби, повторяющиеся с более длинным периодом.

Иррациональные числа

Вавилонская табличка YBC 7289, на которой показано шестидесятеричное число 1;24,51,10, приблизительно равное  √ 2

Представления иррациональных чисел в любой позиционной системе счисления (включая десятичную и шестидесятеричную) не заканчиваются и не повторяются .

Квадратный корень из 2 , длина диагонали единичного квадрата , была приблизительно определена вавилонянами древневавилонского периода ( 1900 г. до н.э. – 1650 г. до н.э. ) как

[27]

Потому что 2  ≈ 1,414 213 56 ... — иррациональное число , его нельзя точно выразить в шестидесятеричной системе (или вообще в любой целочисленной системе), но его шестидесятеричное разложение начинается с 1;24,51,10,7,46,6,4,44... ( OEIS : A070197 )

Значение числа π , используемое греческим математиком и ученым Птолемеем, было 3;8,30 = 3 + 8/60 + 30/60 2 =377/1203,141 666 .... [28] Джамшид аль-Каши , персидский математик XV века , вычислил 2π как шестидесятеричное выражение до его правильного значения, если округлить его до девяти подцифр (таким образом, до 1/60 9 ); его значение для 2 π было 6;16,59,28,1,34,51,46,14,50. [29] [30] Как и 2 выше, 2 π является иррациональным числом и не может быть точно выражено в шестидесятеричной системе. Его шестидесятеричное разложение начинается с 6;16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35... ( OEIS : A091649 )

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Произносится / s ɛ k s ə ˈ ɛ s ɪ m əl / и / s ɛ k ˈ s æ ɪ n ər i / ; см. «шестидесятеричный» , Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.), Oxford University Press. (требуется подписка или членство в участвующем учреждении)
  2. ^ abcd Нойгебауэр, О. (1969), «Точные науки в древности», Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium , 9 , Дувр: 17–19, ISBN 0-486-22332-9, PMID  14884919
  3. ^ Белло, Игнасио; Бриттон, Джек Р.; Кауль, Антон (2009), Topics in Contemporary Mathematics (9-е изд.), Cengage Learning, стр. 182, ISBN 9780538737791.
  4. ^ ab Lamb, Evelyn (31 августа 2014 г.), «Смотри, ма, нет нуля!», Scientific American , Roots of Unity
  5. ^ Бартон, Джордж А. (1908), «О вавилонском происхождении брачного числа Платона», Журнал Американского восточного общества , 29 : 210–219, doi : 10.2307/592627, JSTOR  592627. Макклейн, Эрнест Г .; Платон (1974), «Музыкальные «браки» в «Государстве» Платона»", Журнал теории музыки , 18 (2): 242–272, doi :10.2307/843638, JSTOR  843638
  6. Аль-Бируни (1879) [1000], Хронология древних народов, перевод Сахау, К. Эдварда, стр. 147–149
  7. ^ Нотхафт, К. Филипп Э. (2018), Скандальная ошибка: календарная реформа и календарная астрономия в средневековой Европе , Оксфорд: Oxford University Press, стр. 126, ISBN 9780198799559Сакробоско перешел на шестидесятеричные дроби , но сделал их более удобными для вычислительного использования, применив их не к дню, а к часу, тем самым положив начало использованию часов, минут и секунд, которое по-прежнему преобладает в двадцать первом веке.
  8. ^ Нотхафт, К. Филипп Э. (2018), Скандальная ошибка: календарная реформа и календарная астрономия в средневековой Европе , Оксфорд: Oxford University Press, стр. 196, ISBN 9780198799559Одной из примечательных особенностей Альфонсовых таблиц в их латино-парижском воплощении является строгая «шестидесятеричная система исчисления» всех табличных параметров, поскольку… движения и временные интервалы последовательно разлагались на кратные по основанию 60 и доли дней или градусов.
  9. Ньютон, Исаак (1671), Метод флюксий и бесконечных рядов: с его применением к геометрии кривых линий., Лондон : Генри Вудфолл (опубликовано в 1736 г.), стр. 146. Наиболее примечательной из них является шестидесятеричная или шестидесятеричная шкала арифметики, часто используемая астрономами, которая выражает все возможные числа, целые или дробные, рациональные или иррациональные, степенями шестидесяти и некоторыми числовыми коэффициентами, не превышающими пятидесяти девяти.
  10. ^ Фолкертс, Менсо; Лаунерт, Дитер; Том, Андреас (2016), «Метод Йоста Бюрги для вычисления синусов», Historia Mathematica , 43 (2): 133–147, arXiv : 1510.03180 , doi : 10.1016/j.hm.2016.03.001, MR  3489006, S2CID  119326088
  11. ^ Нойгебауэр, Отто (1952), «Тамильская астрономия: исследование истории астрономии в Индии», Osiris , 10 : 252–276, doi :10.1086/368555, S2CID  143591575; перепечатано в Neugebauer, Otto (1983), Astronomy and History: Selected Essays , New York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90844-7
  12. ^ Боуэрс, Нэнси (1977), «Нумерация капауку: подсчет, расизм, ученость и меланезийские системы счета» (PDF) , Журнал полинезийского общества , 86 (1): 105–116, архивировано из оригинала (PDF) 2009-03-05
  13. ^ Lean, Glendon Angove (1992), Системы счета Папуа-Новой Гвинеи и Океании, докторская диссертация, Технологический университет Папуа-Новой Гвинеи , архивировано из оригинала 2007-09-05. См. особенно главу 4, архивированную 28 сентября 2007 г. на Wayback Machine .
  14. ^ Powell, Marvin A. (2008). «Шестидесятеричная система». Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в не-западных культурах . стр. 1998–1999. doi :10.1007/978-1-4020-4425-0_9055. ISBN 978-1-4020-4559-2.
  15. ^ «YAML — это не язык разметки (YAML™) версии 1.1».
  16. ^ «Целочисленный тип, независимый от языка, для YAML версии 1.1».
  17. ^ «Независимый от языка тип с плавающей точкой для YAML™ версии 1.1».
  18. ^ Орен Бен-Кики; Кларк Эванс; Брайан Ингерсон (2009-10-01), «YAML Ain't Markup Language (YAML™) Version 1.2 (3rd Edition, Patched at 2009-10-01) §10.3.2 Tag Resolution», Официальный веб-сайт YAML , получено 2019-01-30
  19. ^ Нойгебауэр, Отто (1969) [1957], «Точные науки в древности», Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium , 9 (2-е изд.), Dover Publications : 13–14, табличка 2, ISBN 978-0-486-22332-2, PMID  14884919
  20. ^ Мерсье, Рэймонд, «Рассмотрение греческого символа «ноль»» (PDF) , Дом Кайроса
  21. ^ Aaboe, Asger (1964), Эпизоды из ранней истории математики , Новая математическая библиотека, т. 13, Нью-Йорк: Random House, стр. 103–104
  22. ^ Каджори, Флориан (2007) [1928], История математических обозначений, т. 1, Нью-Йорк: Cosimo, Inc., стр. 216, ISBN 9781602066854
  23. ^ Уэйд, Николас (1998), Естественная история зрения , MIT Press, стр. 193, ISBN 978-0-262-73129-4
  24. ^ Льюис, Роберт Э. (1952), Среднеанглийский словарь , Издательство Мичиганского университета, стр. 231, ISBN 978-0-472-01212-1
  25. ^ Нойгебауэр, Отто ; Сакс, Авраам Джозеф ; Гётце, Альбрехт (1945), Математические клинописные тексты, Американская восточная серия, т. 29, Нью-Хейвен: Американское восточное общество и американские школы восточных исследований, стр. 2
  26. ^ Нойгебауэр, Отто Э. (1955), Астрономические клинописные тексты , Лондон: Лунд Хамфрис
  27. ^ Фаулер, Дэвид ; Робсон, Элеанор (1998), «Приближения квадратного корня в старой вавилонской математике: YBC 7289 в контексте», Historia Mathematica , 25 (4): 366–378, doi : 10.1006/hmat.1998.2209 , MR  1662496
  28. ^ Тумер, Дж.Дж. , изд. (1984), Альмагест Птолемея , Нью-Йорк: Springer Verlag, стр. 302, ISBN 0-387-91220-7
  29. ^ Юшкевич, Адольф П., «Аль-Каши», в Розенфельд, Борис А. (ред.), Словарь научной биографии , стр. 256.
  30. ^ Аабо (1964), стр. 125

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки