В математике и физике солитоны , топологические солитоны и топологические дефекты — это три тесно связанные идеи, все из которых означают структуры в физической системе, которые устойчивы к возмущениям. Солитоны не будут распадаться, рассеиваться, рассеиваться или испаряться так, как это могли бы делать обычные волны (или решения или структуры). Устойчивость возникает из-за препятствия к распаду, которое объясняется принадлежностью солитона к другому топологическому гомотопическому классу или классу когомологий , чем базовая физическая система. Проще говоря: невозможно непрерывно преобразовывать систему с солитоном в ней в систему без него. Математика, лежащая в основе топологической устойчивости, является как глубокой, так и широкой, и было описано огромное множество систем, обладающих топологической устойчивостью. Это делает категоризацию несколько сложной.
Первоначальный солитон наблюдался в 19 веке как одиночная волна воды в канале баржи. В конечном итоге его объяснили, заметив, что уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ) , описывающее волны в воде, имеет гомотопически различные решения. Механизм пар Лакса обеспечил необходимое топологическое понимание.
Общая характеристика, необходимая для возникновения топологического солитона, заключается в том, что должно быть некоторое уравнение в частных производных (PDE) , имеющее различные классы решений, причем каждый класс решений принадлежит определенному гомотопическому классу. Во многих случаях это возникает из-за того, что базовое пространство — трехмерное пространство или четырехмерное пространство-время — можно рассматривать как имеющее топологию сферы , полученную путем одноточечной компактификации : добавления точки на бесконечности. Это разумно, поскольку обычно интересуют решения, которые исчезают на бесконечности и, следовательно, являются однозначными в этой точке. Диапазон ( кодомен ) переменных в дифференциальном уравнении также можно рассматривать как находящийся в некотором компактном топологическом пространстве . В результате отображение из пространства (времени) в переменные в PDE можно описать как отображение из сферы в (другую) сферу; классы таких отображений задаются гомотопическими группами сфер .
Перефразируя более просто: солитоны обнаруживаются, когда одно решение уравнения в частных производных не может быть непрерывно преобразовано в другое; чтобы перейти от одного к другому, потребуется «разрезание» (как с ножницами), но «разрезание» не является определенной операцией для решения уравнений в частных производных. Аналогия с разрезанием возникает, поскольку некоторые солитоны описываются как отображения , где есть окружность ; отображения возникают в пучке окружностей . Такие отображения можно рассматривать как наматывание нити на палку: нить нельзя снять, не разрезав ее. Наиболее распространенным расширением этой аналогии с намоткой являются отображения , где первая трехсфера обозначает компактифицированное трехмерное пространство, а вторая обозначает векторное поле . ( Три-вектор , его направление плюс длина, можно рассматривать как задание точки на 3-сфере. Ориентация вектора задает подгруппу ортогональной группы ; длина фиксирует точку. Она имеет двойное покрытие унитарной группой , и .) Такие отображения встречаются в уравнениях с частными производными, описывающих векторные поля.
Топологический дефект , возможно, является самым простым способом понимания общей идеи: это солитон, который возникает в кристаллической решетке , обычно изучаемый в контексте физики твердого тела и материаловедения . Прототипическим примером является винтовая дислокация ; это дислокация решетки, которая вращается по спирали. Ее можно перемещать из одного места в другое, толкая ее, но ее нельзя удалить простыми непрерывными деформациями решетки. (Некоторые винтовые дислокации проявляются так, что они видны невооруженным глазом: это германиевые усы .) Математическая устойчивость исходит из ненулевого числа витков карты окружностей; устойчивость дислокации приводит к жесткости материала, ее содержащего. Одним из распространенных проявлений является многократное изгибание металлической проволоки: это вводит все больше и больше винтовых дислокаций (как пар дислокация-антидислокация), делая изогнутую область все более жесткой и хрупкой . Продолжение напряжения этой области приведет к переполнению ее дислокациями и в конечном итоге приведет к трещине и разрушению материала. Это можно рассматривать как фазовый переход , когда количество дефектов превышает критическую плотность , что позволяет им взаимодействовать друг с другом и «соединяться», и таким образом разъединять (разрушать) целое. Идея о том, что критические плотности солитонов могут приводить к фазовым переходам, является повторяющейся темой.
Вихри в сверхтекучих жидкостях и закрепленные вихревые трубки в сверхпроводниках II типа дают примеры топологических солитонов типа круговой карты в жидкостях. Более абстрактные примеры включают космические струны ; они включают как вихреподобные решения уравнений поля Эйнштейна, так и вихреподобные решения в более сложных системах, связанных с материей и волновыми полями. Торнадо и вихри в воздухе не являются примерами солитонов: нет никаких препятствий для их распада; они рассеются через некоторое время. Математическое решение, описывающее торнадо, может непрерывно трансформироваться, ослабляя вращение, пока не останется никакого вращения. Детали, однако, зависят от контекста: Большое Красное Пятно Юпитера является циклоном, для объяснения многовековой стабильности которого были предложены идеи типа солитона.
Топологические дефекты изучались еще в 1940-х годах. Более абстрактные примеры возникли в квантовой теории поля . Скирмион был предложен в 1960-х годах как модель нуклона ( нейтрона или протона ) и обязан своей устойчивостью отображению . В 1980-х годах инстантон и связанные с ним решения моделей Весса–Зумино–Виттена приобрели значительную популярность, поскольку они предлагали непертурбативный подход к области, в которой в противном случае доминировали пертурбативные вычисления, выполненные с помощью диаграмм Фейнмана . Это дало толчок физикам к изучению концепций гомотопии и когомологий , которые ранее были исключительной областью математики. Дальнейшее развитие выявило всепроникаемость этой идеи: например, решение Шварцшильда и решение Керра для уравнений поля Эйнштейна ( черные дыры ) можно признать примерами топологических гравитационных солитонов : это преобразование Белинского–Захарова .
Терминология топологического дефекта против топологического солитона или даже просто «солитона» варьируется в зависимости от области академического исследования. Таким образом, гипотетический, но ненаблюдаемый магнитный монополь является физическим примером абстрактной математической установки монополя ; во многом подобно Скирмиону, он обязан своей устойчивостью принадлежности к нетривиальному гомотопическому классу для отображений 3-сфер. Для монополя целью является направление магнитного поля, а не направление изотопического спина . Монополи обычно называют «солитонами», а не «дефектами». Солитоны связаны с топологическими инвариантами ; поскольку возможно более одной конфигурации, они будут помечены топологическим зарядом . Слово заряд используется в смысле заряда в физике .
Математический формализм может быть довольно сложным. Общие настройки для PDE включают пучки волокон , а поведение самих объектов часто описывается в терминах голономии и монодромии . В абстрактных настройках, таких как теория струн , солитоны являются неотъемлемой частью игры: струны могут быть организованы в узлы , как в теории узлов , и поэтому устойчивы к развязыванию.
В общем случае (квантовая) конфигурация поля с солитоном в ней будет иметь более высокую энергию, чем основное состояние или вакуумное состояние , и, таким образом, будет называться топологическим возбуждением . [1] Хотя гомотопические соображения не позволяют классическому полю деформироваться в основное состояние, такой переход может произойти посредством квантового туннелирования . В этом случае в игру вступят более высокие гомотопии. Так, например, базовое возбуждение может быть определено отображением в группу спинов . Если квантовое туннелирование стирает различие между этим и основным состоянием, то следующая более высокая группа гомотопий задается группой струн . Если процесс повторяется, это приводит к подъему на башню Постникова . Это теоретические гипотезы; демонстрация таких концепций в реальных лабораторных экспериментах — совсем другое дело.
Существование топологического дефекта может быть продемонстрировано всякий раз, когда граничные условия влекут за собой существование гомотопически различных решений. Обычно это происходит потому, что граница, на которой заданы условия, имеет нетривиальную гомотопическую группу , которая сохраняется в дифференциальных уравнениях ; решения дифференциальных уравнений тогда топологически различны и классифицируются по их гомотопическому классу . Топологические дефекты не только устойчивы к малым возмущениям, но и не могут распадаться, быть отменены или распутаны, именно потому, что не существует непрерывного преобразования, которое отобразит их (гомотопически) в однородное или «тривиальное» решение.
Упорядоченная среда определяется как область пространства, описываемая функцией f ( r ), которая назначает каждой точке области параметр порядка , а возможные значения пространства параметров порядка составляют пространство параметров порядка . Гомотопическая теория дефектов использует фундаментальную группу пространства параметров порядка среды для обсуждения существования, устойчивости и классификации топологических дефектов в этой среде. [2]
Предположим, что R — пространство параметров порядка для среды, а G — группа Ли преобразований на R. Пусть H — подгруппа симметрии G для среды. Тогда пространство параметров порядка можно записать как фактор группы Ли [3] R = G / H.
Если G является универсальным покрытием для G / H , то можно показать [3] , что π n ( G / H ) = π n −1 ( H ), где π i обозначает i - ю гомотопическую группу .
Различные типы дефектов в среде могут быть охарактеризованы элементами различных гомотопических групп пространства параметров порядка. Например, (в трех измерениях) линейные дефекты соответствуют элементам π 1 ( R ), точечные дефекты соответствуют элементам π 2 ( R ), текстуры соответствуют элементам π 3 ( R ). Однако дефекты, принадлежащие к одному и тому же классу сопряженности π 1 ( R ), могут непрерывно деформироваться друг относительно друга, [2] и, следовательно, различные дефекты соответствуют различным классам сопряженности.
Поэнару и Тулуз показали, что [4] дефекты пересечения запутываются тогда и только тогда, когда они являются членами отдельных классов сопряженности π 1 ( R ).
Топологические дефекты возникают в уравнениях с частными производными и, как полагают [ по мнению кого? ], управляют [ как? ] фазовыми переходами в физике конденсированного состояния .
Подлинность [ необходимо дополнительное пояснение ] топологического дефекта зависит от природы вакуума, к которому будет стремиться система по истечении бесконечного времени; ложные и истинные топологические дефекты можно различить, если дефект находится в ложном и истинном вакууме соответственно. [ необходимо пояснение ]
Примерами служат солитон или уединенная волна, которые встречаются в точно решаемых моделях , таких как
Топологические дефекты в системах класса универсальности лямбда-перехода [ необходимы пояснения ], в том числе:
Топологические дефекты космологического типа — это чрезвычайно высокоэнергетические [ требуется разъяснение ] явления, которые считаются непрактичными для создания [ по мнению кого? ] в земных физических экспериментах. Топологические дефекты, созданные во время формирования Вселенной, теоретически можно наблюдать без значительных затрат энергии.
В теории Большого взрыва вселенная остывает из изначально горячего, плотного состояния, вызывая ряд фазовых переходов, очень похожих на то, что происходит в системах конденсированного состояния, таких как сверхпроводники. Некоторые [ какие? ] теории великого объединения предсказывают образование стабильных топологических дефектов в ранней вселенной во время этих фазовых переходов.
В зависимости от характера нарушения симметрии , различные солитоны, как полагают, образовались в космологических фазовых переходах в ранней Вселенной в соответствии с механизмом Киббла-Зурека . Известными топологическими дефектами являются:
Возможны и другие, более сложные гибриды этих типов дефектов.
По мере расширения и остывания Вселенной симметрии в законах физики начали нарушаться в областях, которые распространяются со скоростью света ; на границах смежных областей возникают топологические дефекты. [ как? ] Материя, составляющая эти границы, находится в упорядоченной фазе , которая сохраняется после завершения фазового перехода в неупорядоченную фазу для окружающих областей.
Топологические дефекты не были идентифицированы астрономами; однако некоторые типы несовместимы с текущими наблюдениями. В частности, если бы в наблюдаемой Вселенной присутствовали доменные стенки и монополи, они бы привели к значительным отклонениям от того, что могут видеть астрономы.
Из-за этих наблюдений, образование дефектов в наблюдаемой Вселенной сильно ограничено, требуя особых обстоятельств (см. Инфляция (космология) ). С другой стороны, космические струны были предложены как обеспечивающие начальную «семенную» гравитацию, вокруг которой конденсировалась крупномасштабная структура космоса материи. Текстуры также являются благоприятными. [ необходимо разъяснение ] В конце 2007 года холодное пятно в космическом микроволновом фоне предоставило доказательства возможной текстуры . [5]
В физике конденсированного состояния теория гомотопических групп обеспечивает естественную среду для описания и классификации дефектов в упорядоченных системах. [2] Топологические методы использовались в нескольких задачах теории конденсированного состояния. Поэнару и Тулуз использовали топологические методы для получения условия для линейных (струнных) дефектов в жидких кристаллах, которые могут пересекать друг друга без запутывания. Это было нетривиальное применение топологии, которое впервые привело к открытию своеобразного гидродинамического поведения в A -фазе сверхтекучего гелия -3. [2]
Теория гомотопии тесно связана с устойчивостью топологических дефектов. В случае линейного дефекта, если замкнутый путь может быть непрерывно деформирован в одну точку, дефект неустойчив, а в противном случае он устойчив.
В отличие от космологии и теории поля, топологические дефекты в конденсированном веществе были обнаружены экспериментально. [6] Ферромагнитные материалы имеют области магнитного выравнивания, разделенные доменными стенками. Нематические и биаксиальные нематические жидкие кристаллы демонстрируют множество дефектов, включая монополи, струны, текстуры и т. д. [2] В кристаллических твердых телах наиболее распространенными топологическими дефектами являются дислокации , которые играют важную роль в прогнозировании механических свойств кристаллов, особенно пластичности кристаллов .
В магнитных системах топологические дефекты включают 2D-дефекты, такие как скирмионы (с целым зарядом скирмиона), или 3D-дефекты, такие как хопфионы (с целым индексом Хопфа). Определение может быть расширено для включения дислокаций гелимагнитного порядка, таких как краевые дислокации [7] [8] и винтовые дислокации [9] (которые имеют целочисленное значение вектора Бюргерса)
