Удельная орбитальная энергия

В гравитационной задаче двух тел удельная орбитальная энергия (или жизненная энергия ) двух вращающихся тел представляет собой постоянную сумму их взаимной потенциальной энергии ( ) и их полной кинетической энергии ( ), разделенной на приведенную массу . ^[1] Согласно уравнению сохранения орбитальной энергии (также называемому уравнением vis-viva), она не меняется со временем: ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon _{p}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{k}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &=\varepsilon _{k}+\varepsilon _{p}\\&={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu ^{2}}{h^{2}}}\left(1-e^{2}\right)=-{\frac {\mu }{2a}}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle v}$– относительная орбитальная скорость ;
• ${\displaystyle r}$– орбитальное расстояние между телами;
• ${\displaystyle \mu ={G}(m_{1}+m_{2})}$– сумма стандартных гравитационных параметров тел;
• ${\displaystyle h}$– удельный относительный угловой момент в смысле относительного углового момента , деленный на приведенную массу;
• ${\displaystyle e}$– эксцентриситет орбиты ;
• ${\displaystyle a}$— большая полуось .

Обычно он выражается в (мегаджоулях на килограмм) или (километрах в квадрате на секунду в квадрате). Для эллиптической орбиты удельная орбитальная энергия равна отрицательной величине дополнительной энергии, необходимой для ускорения массы в один килограмм до начальной скорости ( параболическая орбита ). Для гиперболической орбиты она равна избыточной энергии по сравнению с энергией параболической орбиты. В этом случае удельную орбитальную энергию также называют характеристической энергией . ${\displaystyle {\frac {\text{MJ}}{\text{kg}}}}$ ${\displaystyle {\frac {{\text{km}}^{2}}{{\text{s}}^{2}}}}$

Формы уравнений для разных орбит

Для эллиптической орбиты уравнение удельной орбитальной энергии в сочетании с сохранением удельного углового момента на одной из апсид орбиты упрощается до: ^[2]

$${\displaystyle \varepsilon =-{\frac {\mu }{2a}}}$$

• ${\displaystyle \mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)}$– стандартный гравитационный параметр ;
• ${\displaystyle a}$— большая полуось орбиты.

Доказательство

Для эллиптической орбиты с удельным угловым моментом h , определяемым выражением

$${\displaystyle h^{2}=\mu p=\mu a\left(1-e^{2}\right)}$$

мы используем общую форму конкретного уравнения орбитальной энергии:

$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}}$$

с учетом того, что относительная скорость в перицентре равна

$${\displaystyle v_{p}^{2}={h^{2} \over r_{p}^{2}}={h^{2} \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu a\left(1-e^{2}\right) \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu \left(1-e^{2}\right) \over a(1-e)^{2}}}$$

Таким образом, наше конкретное уравнение орбитальной энергии принимает вид

$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\mu }{a}}{\left[{1-e^{2} \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{(1-e)(1+e) \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{1+e \over 2(1-e)}-{2 \over 2(1-e)}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{e-1 \over 2(1-e)}\right]}}$$

и, наконец, после последнего упрощения получаем:

$${\displaystyle \varepsilon =-{\mu \over 2a}}$$

Для параболической орбиты это уравнение упрощается до

$${\displaystyle \varepsilon =0.}$$

Для гиперболической траектории эта конкретная орбитальная энергия либо определяется выражением

$${\displaystyle \varepsilon ={\mu \over 2a}.}$$

или то же, что и для эллипса, в зависимости от соглашения о знаке .

В этом случае удельную орбитальную энергию также называют характеристической энергией (или ) и она равна избыточной удельной энергии по сравнению с удельной энергией параболической орбиты. ${\displaystyle C_{3}}$

Она связана с гиперболической избыточной скоростью ( орбитальной скоростью на бесконечности) соотношением ${\displaystyle v_{\infty }}$

$${\displaystyle 2\varepsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}.}$$

Это актуально для межпланетных миссий.

Таким образом, если вектор орбитальной позиции ( ) и вектор орбитальной скорости ( ) известны в одной позиции и известны, то можно вычислить энергию и исходя из этого, для любой другой позиции, орбитальную скорость. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mu }$

Скорость изменения

Для эллиптической орбиты скорость изменения удельной орбитальной энергии относительно изменения большой полуоси равна

$${\displaystyle {\frac {\mu }{2a^{2}}}}$$

• ${\displaystyle \mu ={G}(m_{1}+m_{2})}$– стандартный гравитационный параметр ;
• ${\displaystyle a\,\!}$— большая полуось орбиты.

В случае круговых орбит эта скорость равна половине гравитации на орбите. Это соответствует тому, что для таких орбит полная энергия равна половине потенциальной энергии, поскольку кинетическая энергия равна минус половине потенциальной энергии.

Дополнительная энергия

Если центральное тело имеет радиус R , то дополнительная удельная энергия эллиптической орбиты по сравнению с неподвижной на поверхности равна

$${\displaystyle -{\frac {\mu }{2a}}+{\frac {\mu }{R}}={\frac {\mu (2a-R)}{2aR}}}$$

Величина равна высоте, на которой эллипс простирается над поверхностью, плюс периапсисное расстояние (расстояние, на которое эллипс выходит за пределы центра Земли). Для Земли это всего лишь немногим больше, чем дополнительная удельная энергия ; которая представляет собой кинетическую энергию горизонтальной составляющей скорости, т. е. , . ${\displaystyle 2a-R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (gR/2)}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}V^{2}={\frac {1}{2}}gR}$ ${\displaystyle V={\sqrt {gR}}}$

Примеры

МКС

Период обращения Международной космической станции составляет 91,74 минуты (5504 с), следовательно, согласно Третьему закону Кеплера, большая полуось ее орбиты составляет 6738 км. ^{[ нужна цитата ]}  

Удельная орбитальная энергия, связанная с этой орбитой, составляет -29,6  МДж/кг: потенциальная энергия - -59,2  МДж/кг, а кинетическая энергия - 29,6  МДж/кг. Сравните с потенциальной энергией на поверхности, которая составляет -62,6  МДж/кг. Дополнительная потенциальная энергия составляет 3,4  МДж/кг, общая дополнительная энергия — 33,0  МДж/кг. Средняя скорость составляет 7,7  км/с, чистая дельта-v для достижения этой орбиты составляет 8,1  км/с (фактическая дельта-v обычно на 1,5–2,0  км/с больше для атмосферного и гравитационного сопротивления ).

Увеличение на метр составит 4,4  Дж/кг; эта скорость соответствует половине местной силы тяжести 8,8  м/с ² .

Для высоты 100  км (радиус 6471  км):

Энергия составляет -30,8  МДж/кг, потенциальная энергия -61,6  МДж/кг, кинетическая энергия - 30,8  МДж/кг. Сравните с потенциальной энергией на поверхности, которая составляет -62,6  МДж/кг. Дополнительная потенциальная энергия составляет 1,0  МДж/кг, общая дополнительная энергия составляет 31,8  МДж/кг.

Увеличение на метр составит 4,8  Дж/кг; эта скорость соответствует половине местной силы тяжести 9,5  м/с ² . Скорость составляет 7,8  км/с, чистая дельта-v для достижения этой орбиты составляет 8,0  км/с.

С учетом вращения Земли дельта-v становится на 0,46  км/с меньше (начиная от экватора и двигаясь на восток) или больше (если идти на запад).

Вояджер-1

Для «Вояджера-1» относительно Солнца:

• ${\displaystyle \mu =GM}$= 132 712 440 018 км ³ ⋅с ⁻² — стандартный гравитационный параметр Солнца.
• r = 17 миллиардов километров
• v = 17,1 км/с

Следовательно:

$${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{k}+\varepsilon _{p}={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=\mathrm {146\,km^{2}s^{-2}} -\mathrm {8\,km^{2}s^{-2}} =\mathrm {138\,km^{2}s^{-2}} }$$

Таким образом, гиперболическая избыточная скорость (теоретическая орбитальная скорость на бесконечности) определяется выражением

$${\displaystyle v_{\infty }=\mathrm {16.6\,km/s} }$$

Однако «Вояджеру-1» не хватает скорости, чтобы покинуть Млечный Путь . Вычисленная скорость применима вдали от Солнца, но в таком положении, что потенциальная энергия по отношению к Млечному Пути в целом изменилась незначительно, и только в том случае, если нет сильного взаимодействия с другими небесными телами, кроме Солнца.

Применение тяги

Предполагать:

• a - ускорение, вызванное тягой (скорость времени, с которой расходуется дельта-v )
• g — напряженность гравитационного поля
• v - скорость ракеты

Тогда скорость изменения удельной энергии ракеты равна : величине кинетической энергии и величине потенциальной энергии. ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot (\mathbf {a} -\mathbf {g} )}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {g} }$

Изменение удельной энергии ракеты на единицу изменения дельта-v равно

$${\displaystyle {\frac {\mathbf {v\cdot a} }{|\mathbf {a} |}}}$$

вva

Таким образом, при применении дельта-v для увеличения удельной орбитальной энергии это делается наиболее эффективно, если a применяется в направлении v , и когда | в | большой. Если угол между v и g тупой, например при запуске и при переходе на более высокую орбиту, это означает применение дельта-v как можно раньше и на полную мощность. См. также гравитационное сопротивление . Проходя мимо небесного тела, это означает применение тяги, когда он находится ближе всего к телу. Постепенное увеличение эллиптической орбиты означает приложение тяги каждый раз, когда она приближается к перицентру.

При применении delta-v для уменьшения удельной орбитальной энергии это делается наиболее эффективно, если a применяется в направлении, противоположном направлению v , и снова, когда | в | большой. Если угол между v и g острый, например при посадке (на небесное тело без атмосферы) и при переходе на круговую орбиту вокруг небесного тела при прибытии извне, это означает применение дельта-v уже как возможный. Пролетая мимо планеты, это означает применение тяги, когда вы находитесь ближе всего к планете. Постепенное уменьшение эллиптической орбиты означает приложение тяги каждый раз, когда она находится вблизи периапсиса.

Если a направлен в сторону v :

$${\displaystyle \Delta \varepsilon =\int v\,d(\Delta v)=\int v\,adt}$$

Тангенциальные скорости на высоте

На нижней оси указаны орбитальные скорости некоторых орбит.

Смотрите также

• Удельное изменение энергии ракет
• Характеристическая энергия C3 (удвоенная удельная орбитальная энергия)

Рекомендации

1. «Удельная энергия». Марспедия . Проверено 12 августа 2022 г.
2. Ви, Бонг (1998). «Орбитальная динамика» . Динамика и управление космическим аппаратом . Образовательная серия AIAA. Рестон, Вирджиния: Американский институт аэронавтики и астронавтики . п. 220. ИСБН 1-56347-261-9.