В математике расщепленный бикватернион — это гиперкомплексное число вида
где w , x , y и z — расщепляемые комплексные числа , а i, j и k умножаются, как в группе кватернионов . Поскольку каждый коэффициент w , x , y , z охватывает два действительных измерения , разделенный бикватернион является элементом восьмимерного векторного пространства . Учитывая, что оно выполняет умножение, это векторное пространство является алгеброй над действительным полем или алгеброй над кольцом , где расщепляющиеся комплексные числа образуют кольцо. Эта алгебра была представлена Уильямом Кингдоном Клиффордом в статье 1873 года для Лондонского математического общества . С тех пор это неоднократно отмечалось в математической литературе, по-разному как отклонение в терминологии, иллюстрация тензорного произведения алгебр и как иллюстрация прямой суммы алгебр . Сплит-бикватернионы были идентифицированы алгебраистами по-разному; см. § Синонимы ниже.
Сплит-бикватернион является кольцом, изоморфным алгебре Клиффорда Cl 0,3 ( R ). Это геометрическая алгебра , порожденная тремя ортогональными базисными направлениями мнимых единиц { e 1 , e 2 , e 3 } в соответствии с правилом комбинирования.
давая алгебру, состоящую из 8 базисных элементов {1, e 1 , e 2 , e 3 , e 1 e 2 , e 2 e 3 , e 3 e 1 , e 1 e 2 e 3 } , с ( e 1 e 2 ) 2 знак равно ( е 2 е 3 ) 2 знак равно ( е 3 е 1 ) 2 знак равно -1 и ω 2 знак равно ( е 1 е 2 е 3 ) 2 = +1. Подалгебра, состоящая из 4 элементов {1, i = e 1 , j = e 2 , k = e 1 e 2 } , является телом кватернионов Гамильтона , H = Cl 0,2 ( R ) . Таким образом, можно видеть, что
где D = Cl 1,0 ( R ) — алгебра, натянутая на {1, ω} , алгебра расщепленных комплексных чисел . Эквивалентно,
Сплит-бикватернионы образуют ассоциативное кольцо , как это ясно из рассмотрения умножений в его базисе {1, ω, i, j, k, ωi, ωj, ωk}. Когда ω присоединяется к группе кватернионов , получается группа из 16 элементов.
Поскольку элементы {1, i, j, k} группы кватернионов можно взять за основу пространства расщепленных бикватернионов, его можно сравнить с векторным пространством . Но расщепленные комплексные числа образуют кольцо, а не поле, поэтому векторное пространство не подходит. Скорее пространство расщепленных бикватернионов образует свободный модуль . Этот стандартный термин теории колец выражает сходство с векторным пространством, и примером может служить структура, предложенная Клиффордом в 1873 году. Сплит-бикватернионы образуют алгебру над кольцом , но не групповое кольцо .
Обозначается прямая сумма тела кватернионов с самим собой . Произведение двух элементов и находится в этой алгебре прямой суммы .
Предложение: Алгебра расщепленных бикватернионов изоморфна
Доказательство: каждый сплит-бикватернион имеет выражение q = w + z ω, где w и z — кватернионы, а ω 2 = +1. Теперь, если p = u + v ω — еще один расщепленный бикватернион, их произведение равно
Отображение изоморфизма расщепленных бикватернионов в задается формулой
В , произведение этих изображений, согласно указанному выше алгебраическому произведению , равно
Этот элемент также является образом pq при отображении в. Таким образом, произведения совпадают, отображение является гомоморфизмом; и поскольку оно биективно , оно является изоморфизмом.
Хотя расщепленные бикватернионы образуют восьмимерное пространство, подобно бикватернионам Гамильтона, на основании Предложения очевидно, что эта алгебра распадается в прямую сумму двух копий реальных кватернионов.
Сплит-бикватернионы не следует путать с (обычными) бикватернионами, ранее введенными Уильямом Роуэном Гамильтоном . Бикватернионы Гамильтона являются элементами алгебры
Следующие термины и соединения относятся к алгебре расщепленных бикватернионов:
