Когда выходные данные системы ограничены для каждого ограниченного входа
В обработке сигналов , в частности в теории управления , стабильность с ограниченным входом и ограниченным выходом ( BIBO ) — это форма стабильности сигналов и систем , которые принимают входные данные. Если система BIBO-стабильна, то выход будет ограничен для каждого входа в ограниченную систему.
Сигнал ограничен, если существует конечное значение, такое, что величина сигнала никогда не превышает , то есть
- Для сигналов дискретного времени :
- Для непрерывных сигналов:
Условия временной области для линейных стационарных систем
Непрерывное необходимое и достаточное условие
Для непрерывной во времени линейно-инвариантной (LTI) системы условием устойчивости BIBO является то, что импульсная характеристика , , будет абсолютно интегрируемой , т. е. существует ее норма L 1 .
Достаточное условие дискретного времени
Для системы LTI с дискретным временем условием устойчивости BIBO является абсолютно суммируемость импульсной характеристики , т. е. существование ее нормы .
Доказательство достаточности
Учитывая систему LTI с дискретным временем и импульсной характеристикой, соотношение между входом и выходом равно
где обозначает свертку . Тогда по определению свертки следует
Пусть – максимальное значение , т. е. -норма .
- (по неравенству треугольника )
Если абсолютно суммируемо, то и
Итак, если абсолютно суммируемо и ограничено, то оно также ограничено, потому что .
Доказательство для непрерывного времени следует тем же аргументам.
Условие частотной области для линейных стационарных систем
Непрерывные сигналы
Для рациональной системы с непрерывным временем условием устойчивости является то, что область сходимости (ROC) преобразования Лапласа включает воображаемую ось . Когда система является причинной , ROC представляет собой открытую область справа от вертикальной линии, абсцисса которой представляет собой действительную часть «самого большого полюса» или полюса , который имеет наибольшую действительную часть любого полюса в системе. Действительная часть крупнейшего полюса, определяющего РПЦ, называется абсциссой конвергенции . Следовательно, для устойчивости BIBO все полюса системы должны находиться в строго левой половине s-плоскости .
Это условие устойчивости может быть получено из приведенного выше условия во временной области следующим образом:
где и
Поэтому область схождения должна включать воображаемую ось .
Сигналы дискретного времени
Для системы с рациональным и дискретным временем условием устойчивости является то, что область сходимости (ROC) z-преобразования включает единичный круг . Когда система является причинной , ROC представляет собой открытую область за пределами круга, радиус которого равен величине полюса с наибольшей величиной. Следовательно, для устойчивости BIBO все полюса системы должны находиться внутри единичного круга в плоскости z .
Это условие устойчивости может быть получено аналогично выводу для непрерывного времени:
где и .
Поэтому область сходимости должна включать единичный круг .
Смотрите также
дальнейшее чтение
- Гордон Э. Карлсон Анализ сигналов и линейных систем с помощью Matlab , второе издание, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
- Джон Г. Проакис и Димитрис Г. Манолакис « Основы, алгоритмы и приложения цифровой обработки сигналов», третье издание, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4
- Д. Рональд Фэннин, Уильям Х. Трантер и Роджер Э. Цимер. Сигналы и системы Непрерывное и дискретное четвертое издание, Прентис Холл, 1998, ISBN 0-13-496456-X
- Доказательство необходимых условий стабильности BIBO.
- Кристоф Бассо Проектирование контуров управления для линейных и импульсных источников питания: Учебное пособие, первое издание, Artech House, 2012, 978-1608075577
- Майкл Унсер (2020). «Заметки о стабильности BIBO». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 68 : 5904–5913. arXiv : 2005.14428 . дои :10.1109/TSP.2020.3025029.
Рекомендации