Обсуждение:Натуральное число

Формальные и интуитивные определения.

Во введении настоящее определение не является реальным математическим, а скорее интуитивным. В соответствии с французской версией я предлагаю добавить перед настоящим текстом формальные определения в рамках аксиоматической арифметики и в рамках теории множеств: «В математике натуральное число формально означает: - примитивное понятие аксиоматической арифметики. - теоретико-множественную конструкцию, удовлетворяющую аксиомам Пеано.

Интуитивно понятно, что натуральные числа … » CBerlioz ( обсуждение ) 11:18, 9 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

Математическое определение натуральных чисел не относится к первому предложению. Пожалуйста, прочтите WP:TECHNICAL для подробного объяснения этого утверждения. Концепция натуральных чисел предшествовала своей формализации на много столетий, и в настоящее время миллиарды людей используют натуральные числа, не зная их формализации, и даже не зная, что такое формализация.

Кроме того, ваша формулировка неверна: «формально означает» — это оксюморон , поскольку «означает» относится к объяснению (которое не является доказательством), в то время как «формально» относится к доказательствам, которые, как правило, противоположны объяснению. Более того, оба пункта вашего определения неверны: 1/ Не существует общей аксиоматизации арифметики, для которой каждое натуральное число является примитивным понятием. 2/ Построение теории множеств и аксиомы Пеано предоставляют два различных формальных определения одного и того же понятия натурального числа, которые, как было показано, эквивалентны. 3/ Детализация ошибочно предполагает существование двух различных понятий. D.Lazard ( talk ) 11:54, 9 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

Нет, поскольку предложение относится к самому техническому содержанию статьи, оно должно быть в конце лида. D.Lazard ( обсуждение ) 11:39, 11 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

Вы правы, когда подчеркиваете, что миллиарды людей используют натуральные числа, не зная их формализации. Счет — это базовый человеческий навык. Кронекер писал: Бог создал целые числа, а все остальное — дело рук человека. Но эта статья находится не на портале Психологии, а на портале Математики, и она на самом деле занимается формализацией, в частности под подзаголовком 4 «Формальные определения». Об этом следует объявить, если не в первом предложении, то где-нибудь еще во введении.

В аксиоматической теории арифметики понятие натурального числа (а не каждое натуральное число) по определению является примитивным понятием, в противном случае это была бы аксиоматическая теория множеств или аксиоматическая теория любого другого объекта. Натуральные числа, построенные в рамках теории множеств, следует отличать от натуральных чисел аксиоматической арифметики, поскольку они являются терминами разных теорий, как и неформальные натуральные числа, даже если они имеют (к счастью) большое сходство.

Мое новое предложение таково: «В неформальной математике натуральные числа — это те, которые… в математическом смысле.

В формализованной математике натуральные числа являются одновременно: - терминами аксиоматической арифметики. - конструкцией теории множеств, удовлетворяющей аксиомам Пеано.

Набор … » CBerlioz ( обсуждение ) 10:43, 10 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

Различие между формальной и неформальной математикой — это ваше собственное изобретение (и формальное, и неформальное рассуждение принадлежат математике, и большая часть деятельности математиков заключается в том, чтобы неформально выводить некоторые результаты, а затем доказывать их формально). Так что это различие здесь неуместно, и я решительно против вашего предложения. D.Lazard ( talk ) 11:00, 10 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

Я согласен с D.Lazard . Эта статья о натуральных числах, которые существовали задолго до того, как математики начали пытаться формализовать их. И хотя такие формализации являются важным аспектом темы этой статьи, статья не должна начинаться с них. Пол Август ☎ 11:50, 10 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

Я не хочу начинать спор между формалистами и интуиционистами. Можем ли мы договориться о добавлении во введении более нейтрального предложения: «Понятие натурального числа было формализовано, с одной стороны, аксиоматической арифметикой, членами которой являются натуральные числа, а с другой стороны, в теории множеств путем построения членов, называемых конечными ординалами. »? CBerlioz ( обсуждение ) 09:24, 11 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

Это определенно не для начала лида. Однако можно добавить следующее в конце лида: Определение натуральных чисел было формализовано несколькими по существу эквивалентными способами через аксиомы Пеано или теорию множеств . Это менее технично, чем ваша формулировка, и лучше отражает содержание соответствующего раздела и подразделов. Тот факт, что эти формализации по существу эквивалентны, заслуживает того, чтобы быть объясненным именно в начале раздела § Формальные определения . D.Lazard ( talk ) 09:53, 11 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

Я согласен с вашей более простой формулировкой. Я думаю, что это должно логически стоять перед «Натуральные числа являются основой, из которой многие другие числовые множества …». CBerlioz ( обсуждение ) 11:23, 11 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

Нет, поскольку это относится к самой технической части статьи, она должна быть в конце лида. По той же причине соответствующий раздел находится в конце статьи. D.Lazard ( talk ) 11:39, 11 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

Хорошо, но абзац «Натуральные числа являются основой … в других системах счисления. » также должен быть в конце лида по той же причине и, возможно, разработан в новом разделе. CBerlioz ( обсуждение ) 13:39, 11 сентября 2021 (UTC) [ ответ ]

Наконец, я думаю, было бы лучше и менее технично ссылаться на современные определения (второй пункт раздела История), а не на формальные определения: «Современные определения натуральных чисел основаны на нескольких по сути эквивалентных подходах, через теорию множеств или аксиомы Пеано. » CBerlioz ( обсуждение ) 08:52, 14 сентября 2021 (UTC) [ ответ ]

Я категорически против этой формулировки в лиде: она ошибочно предполагает, что современные определения отличаются от старых; на самом деле подход Пеано — это просто формализаци старой концепции порядковых чисел, а теоретико-множественный подход — это формализаци старой концепции кардинальных чисел. Именно потому, что концепция формализации многим неизвестна, ее необходимость должна быть объяснена. Подводя итог, я считаю, что текущее лид — это лучшее, что мы можем получить без участия других редакторов, и что его следует оставить без изменений без такого участия. D.Lazard ( talk ) 15:51, 19 сентября 2021 (UTC) [ reply ]

Я согласен с D.Lazard . Как я уже сказал выше, нет необходимости упоминать формальные определения в lede. Paul August ☎ 20:20, 19 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

Можно ли перефразировать «Интуитивно» другими словами? Потому что это, кажется, означает интуиционизм или интуиционистскую логику .-- SilverMatsu ( обсуждение ) 06:10, 20 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

Я не понимаю, почему кто-то путает интуитивность с интуиционизмом или интуиционистской логикой . Я думаю, большинство читателей поймут первое и, возможно, даже не слышали о втором.— Anita5192 ( обсуждение ) 19:58, 20 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

После удаления Trovatore последнего вклада D.Lazard я предлагаю: «Современные определения натуральных чисел формализуют старые интуитивные определения кардинальных или порядковых чисел через теорию множеств или аксиомы Пеано (из которых натуральные числа являются примитивным понятием). » CBerlioz ( обсуждение ) 16:39, 24 сентября 2021 (UTC) [ ответ ]

Я согласен с удалением Trovatore и его утверждением, что такое предложение не подходит для лида. D.Lazard ( обсуждение ) 17:24, 24 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

И я тоже. Пол Август ☎ 20:56, 24 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

Альтернативные места — глава раздела «Современные определения» или глава раздела «Формальные определения». CBerlioz ( обсуждение ) 10:58, 25 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

Прежде чем обсуждать, где разместить предложение, необходимо достичь консенсуса, чтобы установить, улучшает ли такое предложение статью. По моему мнению, это не так, поскольку это уже подробно обсуждается в § Современные определения . Пожалуйста, прекратите пытаться навязать свою точку зрения четкому консенсусу (три редактора против вас). D.Lazard ( talk ) 11:53, 25 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

Существование множества натуральных чисел

Чтобы говорить о множестве натуральных чисел, нужно признать его существование. Это роль различных форм аксиомы бесконечности. Самая простая из них: существует множество, содержащее все натуральные числа. Она адаптирована к случаю, когда натуральные числа вводятся до теории множеств (например, Френкель в Abstact Sets). CBerlioz ( talk ) 13:23, 23 сентября 2021 (UTC) [ reply ]

«Для того, чтобы говорить о множестве натуральных чисел», необходимо определить понятие «множество», но можно определить и использовать натуральные числа, не говоря о множестве натуральных чисел (это было сделано математиками в течение более 2 лет). Эта статья о натуральных числах, а не о множестве, образованном ими. Поэтому, пожалуйста, не добавляйте тонкостей, которые не могут быть полностью прояснены без обращения к основам математики и логическим тонкостям, которые они включают. D.Lazard ( обсуждение ) 13:46, 23 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

Проблема в том, что в статье говорится о множестве натуральных чисел. Предлагаете ли вы удалить любое упоминание о нем? Если нет, читатель должен знать или усвоить, что некоторые множества не существуют, потому что их существование привело бы к противоречиям. Я постарался сделать свое предложение как можно менее техническим. CBerlioz ( talk ) 15:30, 23 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

В статье используется наивное понятие множества, и логические вопросы непротиворечивости теории множеств в ней не имеют значения. Поэтому необходимо позаботиться о том, чтобы статья была корректной как на элементарном уровне, так и на продвинутом уровне специалистов теории множеств.

Более того, предложение, которое я вернул, противоречит статье: Арифметика Пеано равносогласована с [...] ZFC с заменой аксиомы бесконечности на ее отрицание. Это означает, что утверждение «натуральные числа образуют множество» не является следствием аксиом Пеано: если бы они образовывали множество, существовало бы бесконечное множество.

Подводя итог, можно сказать, что хотя существует бесконечно много натуральных чисел, аксиома бесконечности не требуется для определения натуральных чисел. Другими словами, аксиомы Пеано не позволяют говорить о «натуральных числах» в целом. D.Lazard ( talk ) 16:39, 23 сентября 2021 (UTC) [ reply ]

Мы согласны с тем, что аксиома бесконечности независима от аксиом Пеано. Вот почему ее следует добавлять, когда теория множеств рассматривается как расширение арифметики. Может быть, было бы проще добавить предложение в конце абзаца теоретико-множественные определения вместо конца раздела современные определения: существование множества натуральных чисел гарантируется аксиомой бесконечности? CBerlioz ( talk ) 17:27, 23 сентября 2021 (UTC) [ reply ]

Нет, эти соображения не относятся к такой элементарной статье. Более того, у вас, похоже, нет источника для утверждения, которое вы хотите добавить (см. WP:OR ). D.Lazard ( talk ) 17:55, 23 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

Также проблематично говорить об «определении» натуральных чисел через аксиомы. Аксиомы не определяют; они аксиоматизируют. Верно, что существует (до изоморфизма) только одна модель аксиом Пеано, использующая полную семантику логики второго порядка, и это можно было бы принять за определение, но хотя это может где-то вписаться в тело, это не подходит для лида. -- Trovatore ( обсуждение ) 18:04, 23 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

Довольно элементарно оценить или доказать существование множества (например, Пол Халмос, Наивная теория множеств). CBerlioz ( обсуждение ) 08:51, 24 сентября 2021 (UTC) [ ответ ]

На что отвечает комментарий выше? -- Trovatore ( обсуждение ) 21:08, 24 сентября 2021 (UTC) [ ответить ]

Пока существование множества всех натуральных чисел не будет оценено или доказано, следует говорить о классе всех натуральных чисел вместо множества всех натуральных чисел. CBerlioz ( обсуждение ) 08:22, 7 сентября 2022 (UTC) [ ответ ]

В этом разделе читатели не должны знать, что существуют различия между «коллекция», «класс» и «множество», и в настоящей формулировке нет ничего неправильного для людей, которые знают разницу. Более того, обозначение (которое является предметом раздела) не зависит от того, образуют ли натуральные числа множество или нет. Педантизм — вводить здесь продвинутые концепции теории множеств.

Кроме того, ваша формулировка логически неверна. Доказательства требует не существование множества натуральных чисел, а свойство, что они образуют множество (существование натуральных чисел является предметом всей статьи). Таким образом, вашу формулировку («что касается существования такого множества, см. ...») следует читать как «для доказательства того, что натуральные числа образуют множество, см. ...»). Таким образом, ваша ссылка неверна, и, опять же, это не относится к этому разделу. D.Lazard ( talk ) 10:30, 7 сентября 2022 (UTC) [ reply ]

Согласны ли вы с формулировкой: «Наивная теория множеств допускает, что натуральные числа образуют множество, к которому математики относят…»? CBerlioz ( обсуждение ) 10:54, 8 сентября 2022 (UTC) [ ответить ]

Определенно нет. Это бесполезно здесь и может сбить с толку многих читателей. Текущая формулировка математически верна и не нуждается в изменении. Более того, тот факт, что натуральные числа образуют множество, более или менее уже объяснен в предыдущих разделах. D.Lazard ( talk ) 11:25, 8 сентября 2022 (UTC) [ ответить ]

Тот факт, что натуральные числа образуют множество, скорее менее, чем более, объяснен в предыдущих разделах. Это должно быть явно указано, например, следующей формулировкой в ​​разделе «Современные определения», цитирующей определение Н. Бурбаки или П. Суппеса: «… определенное множество, называемое кардиналом, и любое множество …, имеющее это кардинал. Множество натуральных чисел тогда определяется как множество конечных кардиналов». Есть ли у вас лучшее решение для утверждения, что натуральные числа образуют множество? CBerlioz ( talk ) 08:18, 9 сентября 2022 (UTC) [ reply ]

Другое (неисключительное) решение может быть в начале 3-го абзаца:

«Натуральные числа образуют множество. Многие другие числовые множества строятся путем последовательного расширения множества натуральных чисел: …». CBerlioz ( обсуждение ) 11:40, 12 сентября 2022 (UTC) [ ответить ]

 Сделано , с добавлением артикля «the» иприсоединением набора номеров D.Lazard ( обсуждение ) 13:33, 12 сентября 2022 (UTC) [ ответить ]

Конструкция на основе кардиналов может быть добавлена ​​в раздел Формальные определения. CBerlioz ( обсуждение ) 07:31, 13 сентября 2022 (UTC) [ ответ ]

"N (математика)" указана вПеренаправления для обсуждения

Редактор выявил потенциальную проблему с перенаправлением N (математика) и поэтому вынес ее на обсуждение . Это обсуждение будет проходить по адресу Wikipedia:Redirects for discussion/Log/2022 July 28#N (математика) до тех пор, пока не будет достигнут консенсус, и читатели этой страницы могут принять участие в обсуждении. – Laundry Pizza 03 ( d c̄ ) 03:57, 28 июля 2022 (UTC) [ ответить ]

Конструкции, основанные на теории множеств

Можно было бы добавить конструкцию, основанную на кардиналах, например, в следующей формулировке:

«Более простой способ ввести кардиналы — это добавить примитивное понятие Card() и аксиому мощности в теорию множеств ZF (без аксиомы выбора).

Аксиома мощности (П.Суппес): Множества A и B равносильны тогда и только тогда, когда Card(A) = Card(B)

Определение конечного множества дается независимо от натуральных чисел:

Определение (Тарский): Множество конечно тогда и только тогда, когда любое непустое семейство его подмножеств имеет минимальный элемент для порядка включения.

Теорема: Если множество A конечно, то любое множество, равносильное A, конечно.

Определение: кардинал n является натуральным числом тогда и только тогда, когда существует конечное множество x такое, что n = Card(x)” CBerlioz ( обсуждение ) 16:36, 19 сентября 2022 (UTC) [ ответить ]

В этой статье уже есть раздел § Конструкции, основанные на теории множеств , со ссылкой на определение натуральных чисел в теории множеств . Если вы хотите добавить новое определение, оно должно быть надежно получено из учебника, и вы должны предоставить некоторые доказательства того, что это определение часто рассматривается. Похоже, что это не относится к вашему подходу. D.Lazard ( talk ) 17:13, 19 сентября 2022 (UTC) [ ответить ]

Этот подход используется в Patrick Suppes, 1972 (1960), Axiomatic Set Theory. Dover. Натуральные числа также определяются как конечные кардиналы в N.Bourbaki, 2006 (1970) Elements de Mathématique Théorie des ensembles, Springer Berlin Heidelberg New York. Аксиоматическое определение кардиналов также используется в A.Fraenkel 1968 (1953) Abstract set theory, North-Holland Amsterdam. CBerlioz ( talk ) 11:04, 20 сентября 2022 (UTC) [ ответить ]

Определение § фон Неймана, данное в этой статье, основано как на кардиналах, так и на ординалах, поскольку здесь рассматриваются только конечные множества, а число n определяется как множество из n элементов. Именно потому, что этот раздел не соответствовал руководству по стилю, он, по-видимому, основывался на ординальной теории. Поэтому я отредактировал его, чтобы сделать более понятным для неспециалистов, и убрал акцент на ординалах.

Ваше определение «кардинальное число n является натуральным числом тогда и только тогда, когда существует конечное множество x, такое что n = Card(x)» слишком технично для этой статьи: для конечных множеств «кардинальное число множества равно n » — это педантичный способ сказать «множество имеет n элементов». Поэтому все ваши продвинутые соображения можно заменить в этой статье на «с определением натуральных чисел фон Неймана множество S имеет n элементов, если существует биекция из n в S ». D.Lazard ( talk ) 15:17, 20 сентября 2022 (UTC) [ reply ]

Я добавил это в статью. D.Lazard ( обсуждение ) 15:29, 20 сентября 2022 (UTC) [ ответ ]

Я согласен с этим упрощением. Дальнейшим упрощением могла бы стать замена «Конструкций, основанных на ...» на «Конструкций, основанных на ...» с удалением определения Цермело, которое имеет только исторический интерес. CBerlioz ( talk ) 07:46, 21 сентября 2022 (UTC) [ ответить ]

Трудно удалить упоминание определения Цермело, так как оно является целью перенаправления. Поэтому я объединил два подраздела «Конструкционное ...» в один раздел § Теоретико-множественное определение . Я также добавил введение в § Формальные определения для объяснения связи между двумя подходами. D.Lazard ( обсуждение ) 11:45, 21 сентября 2022 (UTC) [ ответ ]

Проблема с началом с 1

Рассмотрение натуральных чисел как кардинальных и порядковых имеет смысл только в том случае, если включает ноль, поскольку нулевой набор имеет кардинальность 0 и тип порядка 0. Следует ли в статье обсуждать это или это TMI ? Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя: Chatul ( обсуждение ) 12:21, 21 марта 2023 (UTC) [ ответить ] ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \emptyset }$

Это уже обсуждалось в конце § Современные определения . D.Lazard ( обсуждение ) 12:29, 21 марта 2023 (UTC) [ ответ ]

Нет, это не так. На самом деле, в статье вообще нет термина null set . -- Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя: Chatul ( обсуждение ) 14:33, 21 марта 2023 (UTC)-- Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя: Chatul ( обсуждение ) 14:33, 21 марта 2023 (UTC) [ ответить ]

Нулевой набор — это концепция теории меры, и нормально, что в этой статье на него не ссылаются. Множество с нулевой мощностью называется пустым набором . На него ссылаются в статье, и оно используется по крайней мере четыре раза. D.Lazard ( talk ) 15:39, 21 марта 2023 (UTC) [ ответить ]

Примечание, которое может быть полезной справочной информацией для нынешних или будущих участников дискуссии. В американских учебниках для начальной и средней школы пустое множество принято называть «нулевым множеством». Не уверен, как это началось, но это не изначально неправдоподобное название ; просто это не терминология, используемая математиками. Американские учебники также, вероятно, являются причиной того, что мы получаем редакторов, настаивающих на том, что натуральные числа не включают ноль, а «целые числа» включают.

Примечание к примечанию: Если кому-то интересно, почему множества появляются в учебниках начальной школы, то это наследие так называемой Новой математики , благонамеренного проекта по преподаванию математики более концептуальным и строгим способом с самого начала, который столкнулся с двойной проблемой: абстракция могла выйти за рамки того, к чему дети были готовы в плане развития, и могло не быть достаточного количества учителей, которые понимали бы ее достаточно хорошо, чтобы преподавать ее эффективно. -- Trovatore ( обсуждение ) 16:58, 21 марта 2023 (UTC)[ отвечать ]

Я не знаком с современными текстами, но те, с которыми я знаком, например, Рудин ^[1], не используют термин null set для множества меры 0, а различные онлайн-источники, например, Britanica ^[2] , MathWorld ^{[3] [4],} перечисляют null set как синоним empty .

Тем не менее, согласитесь ли вы сноску в начале о том, что количественные и порядковые числительные имеют более общие значения? -- Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя: Chatul ( обсуждение ) 20:05, 22 марта 2023 (UTC) [ ответить ]

Ноль не является натуральным числом, поскольку в стандартном образовании во всех странах (по крайней мере, в тех, о которых я знаю, например, в Японии и Австралии) принято считать, что натуральные числа начинаются с 1. Ztimes3 ( обсуждение ) 07:11, 17 марта 2024 (UTC) [ ответить ]

Я считаю, что соответствующими источниками являются тексты по математике университетского уровня и рецензируемые математические статьи. Тексты для школ K-12 обычно не пишутся малыми и средними предприятиями. -- Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя: Chatul ( обсуждение ) 13:41, 18 марта 2024 (UTC) [ ответ ]

Ссылки

1. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Международная серия по чистой и прикладной математике (третье изд.). McGraw Hill . ISBN  0-07-054235-X.
2. "Формальная логика - Теория множеств". Britanica . Класс без членов, например класс атеистических пап, называется нулевым. Поскольку членство во всех таких классах одинаково, существует только один нулевой класс, который поэтому обычно называется нулевым классом (или иногда пустым классом); он обозначается Λ или ø.
3. "Пустое множество". MathWorld . Wolfram Research .
4. "Null Set". MathWorld . Wolfram Research .

Конечный

Я добавил слово конечное , а Д. Лазар вернул его с комментарием Слишком технично для первого предложения: эта статья не предназначена в первую очередь для тех, кто знает бесконечные числа. Люди, которые знают бесконечные числа, уже знают натуральные числа . Я считаю, что без конечного в первом предложении второе предложение, Числа, используемые для счета, называются количественными числами , а числа, используемые для упорядочивания, называются порядковыми числами . , вводит в заблуждение и должно быть удалено.

Обратите внимание, что количественные и порядковые числительные обсуждаются позже, в разделе #Обобщения . Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя:Chatul ( обсуждение ) 14:44, 21 марта 2023 (UTC) [ ответить ]

В цитируемом предложении не говорится, что все кардинальные и порядковые числа конечны. Поэтому предложение является правильным и не вводит в заблуждение при любой интерпретации "кардинального" и "ординального" (быть кардинальным и порядковым является свойством натуральных чисел)

Тем не менее, формулировка предполагает, что существует два вида натуральных чисел. Поэтому я изменил формулировку предложения, чтобы прояснить этот момент. D.Lazard ( talk ) 16:04, 21 марта 2023 (UTC) [ ответить ]

Поэтому я думаю, что цель упоминания кардинальных/порядковых чисел в начале — объяснить, что натуральные числа иногда называют кардинальными/порядковыми числами — термины используются в широком смысле, который не допускает бесконечностей, как точное математическое определение. Если это так, то, вероятно, не следует ссылаться на кардинальные/порядковые числа, поскольку это не предполагаемые значения. Mathnerd314159 ( talk ) 17:58, 21 марта 2023 (UTC) [ ответить ]

Является ли 0 натуральным числом?

Я думаю, что общепринято, что мы должны показывать 0, 1, 2... как одно из значений "натурального числа". Это единственное определение, или мы должны также показывать 1, 2, 3...? Если последнее, то мы делаем одно из них основным значением или придаем им равную значимость? Certes ( talk ) 20:38, 18 февраля 2024 (UTC) [ ответить ]

Ну, если мы назначаем первичное значение, то я бы сказал, что это значение будет то, которое включает 0, учитывая, что это стандарт ISO и используется большинством математиков. Хотя это сложно, даже ограничиваясь недавно опубликованными источниками, есть те, которые говорят, что это вопрос определения и что 0 не является натуральным числом. Поэтому вопрос в том, находятся ли такие источники в меньшинстве, чтобы обсуждение «старого» определения, основанного на 1, в разделе придавало ему достаточный вес, или же оно должно быть в лидерах. Другим решением было бы создать отдельную страницу для «подсчета чисел» или «положительных целых чисел» и иметь примечание — есть достаточно источников для заметности. Мы могли бы даже сделать что-то вроде двух страниц «Неотрицательные целые числа» и «Положительные целые числа» и сделать «Натуральные числа» концепцией DAB или WP:Broad . Mathnerd314159 ( обсуждение ) 00:24, 19 февраля 2024 (UTC) [ ответить ]

Предыдущие обсуждения:

• Обсуждение:Натуральное_число/Архив_1#Ноль
• Обсуждение:Натуральное_число/Архив_1#Отсутствие_ссылок (конец)
• Обсуждение:Натуральное_число/Архив_2#О_нуле_как_натуральном_числе
• Обсуждение: Натуральные_числа/Архив_2#Начинают ли_теоретики_чисел_натуральные_числа_с_1?
• Обсуждение:Натуральное_число/Архив_2#Условные обозначения
• Обсуждение:Натуральное_число/Архив_2#Ноль
• Обсуждение:Натуральное_число/Архив_2#Современная_конвенция
• Обсуждение:Натуральное_число/Архив_3#Цитаты_из_книг_по_предалгебре
• Обсуждение:Натуральное_число/Архив_3#Проблемы_с_этой_статьей
• Обсуждение:Натуральное_число/Архив_4#С_чего_начинаем?
• Обсуждение:Натуральное_число/Архив_4#Различие_между_целыми_числами_и_натуральными_числами
• Обсуждение:Natural_number/Архив_4#Запрос_редактирования
• Обсуждение:Натуральное_число/Архив_4#Проблема_с_нотациями_:_нотации_этой_страницы_не_соблюдают_международный_стандарт_нотации_ISO

Другая идея заключается в том, что, поскольку я бы сказал, что текущая формулировка отдает предпочтение определению, основанному на 1, следует сместить ее в сторону 0, например, «натуральные числа — это числа 0, 1, 2, 3 и т. д., возможно, исключая 0». Mathnerd314159 ( обсуждение ) 01:01, 19 февраля 2024 (UTC) [ ответить ]

Ok 2A02:8070:6284:5100:F54B:87CF:FAC4:5CFB (обсуждение) 13:08, 24 мая 2024 (UTC) [ ответить ]

Я бы не считал, что 0 не является натуральным числом , а также номенклатура, например, «подсчет», «целое», не относится к математике, а скорее к элементарному государственному образованию. Кроме того, источник непоследователен; в одном абзаце говорится, что 0 не является натуральным числом, а в следующем — что это зависит от определения.

Натуральные числа настолько прочно вошли в современную математику, что у них есть свой собственный специальный символ, называемый буквой N на доске. Аналогичные символы имеются для целых чисел, рациональных чисел, действительных чисел и комплексных чисел.

На самом деле, «старое» определение включало 0. Ноль был исключен по нескольким причинам. Во-первых, большинство индукций начинаются с 1, а не с 0, поэтому вы можете начать доказательство индукции с «Пусть n будет натуральным числом...». Во-вторых, если вы исключите ноль, вы сможете определить обыкновенную дробь как имеющую целый числитель и натуральное число в знаменателе, и вам не придется специально исключать 0. Есть и другие причины, но они произвольны, как произволен порядок операций, и некоторые люди клянутся одной версией, а некоторые — другой.

По моему опыту, в большинстве книг натуральные числа начинаются с 1. Рик Норвуд ( обсуждение ) 11:35, 19 февраля 2024 (UTC) [ ответить ]

Если натуральные числа используются в качестве порядковых чисел (то есть для подсчета и перечисления), естественно начинать их с 1, поскольку никто (кроме математиков) не будет естественно говорить о 0-м элементе последовательности (что такое нулевой человек, входящий в комнату?). Напротив, если натуральные числа используются в качестве кардинальных чисел , естественно начинать их с нуля (в комнате ноль человек). По моему мнению, тот факт, что оба варианта обычно используются в начальных учебниках, является результатом основного внимания к рассматриваемым натуральным числам. В более продвинутой математике начало с нуля кажется более распространенным ( натуральный ?), поскольку это упрощает многие обозначения (например, нулевой член степенного ряда — это тот, который содержит нулевую степень переменной).

Итак, я поддерживаю предложение Mathnerd314159: «натуральные числа — это числа 0, 1, 2, 3 и т. д., возможно, исключая 0». D.Lazard ( обсуждение ) 15:40, 19 февраля 2024 (UTC) [ ответить ]

@ Рик Норвуд Я не вижу никаких доказательств того, что "старое" определение включало 0 (кроме действительно старых определений, которые используют "натуральное число" в неформальном смысле для обозначения всех целых чисел). Например, [1] [2] [3] [4] [5] все используют 1, они охватывают период с 1800-х по 1966 год. Есть несколько ссылок, которые приписывают нумерацию, основанную на 0, Бурбаки 1968 [6] [7].

Что касается символа, то здесь говорится, что это был Дедекинд. А затем Пеано перенял N={1,2,...} у Дедекинда, но позже он использовал N+. Так что чисто исторически {1,2,...} следует обозначать как N+, оставляя место для N={0,1,...}.

Что касается ваших «обоснований» для «отбрасывания нуля», они звучат как WP:OR . В Википедии нет здравого смысла , поэтому для того, чтобы утверждать, что 1 — это «правильное» определение, вам понадобится надежный источник, который сравнит два соглашения и скажет, что начинать с 1 лучше. Теперь в статье есть несколько источников, которые оправдывают начало с 0, например вышеупомянутый стандарт ISO. Есть некоторое обоснование для 1 в вопросе источника определения, но они заканчиваются лишь слабым предпочтением начала с 1. ИМХО, для того чтобы определение на основе 1 оставалось лидером, действительно нужен сильный аргумент в пользу начала с 1, чтобы мы могли утверждать, что ни одно из соглашений не встречается в большинстве авторитетных источников.

Вопрос о том, начинаются ли «большинство» книг с 1, безусловно, уместен, но, опять же, опыт — плохой источник доказательств. Мне пришлось приложить некоторые усилия, чтобы найти те источники, которые я привел в поддержку 1. Глядя на недавно опубликованные книги, кажется, что они разделены между университетским уровнем (где единообразно используется 0) и начальной школой (где натуральные числа определяются как эквивалент «счетных чисел» 1,2,3 и используются «целые числа» для 0,1,2,3). Я бы отнес источники начального уровня к «мусору» и сказал, что университетское соглашение, основанное на 0, составляет большинство надежных источников, но, возможно, другие не согласятся. Mathnerd314159 ( обсуждение ) 17:28, 19 февраля 2024 (UTC) [ ответить ]

Итак, чтобы проиллюстрировать, что я имею в виду под «удалением 1 из лидера», это будет выглядеть примерно так: «В математике натуральными числами являются числа 0, 1, 2, 3 и т. д., также называемые неотрицательными целыми числами. За пределами общепринятой математики существует иное толкование среди некоторых людей, которые определяют натуральные числа как охватывающие положительные целые числа (1, 2, 3 и т. д.)». Mathnerd314159 ( обсуждение ) 17:43, 19 февраля 2024 (UTC) [ ответить ]

Процитируем страницу 17 Princeton Companion to Mathematics 2008 года: «Натуральные числа, также известные как положительные целые числа, это ... 1, 2, 3, 4 и так далее. ... (Некоторые математики предпочитают включать 0 как натуральное число: например, это обычное соглашение в логике и теории множеств. Оба соглашения можно найти в этой книге, но всегда должно быть ясно, какое из них используется.)» Я предполагаю, что редакторы не смогли заставить авторов компаньона согласиться использовать одно или другое соглашение. JonH ( обсуждение ) 19:43, 19 февраля 2024 (UTC) [ ответ ]

Я бы сказал, что этот источник менее полезен, чем источник «вопроса определения» — он не приводит никаких аргументов в пользу использования 0 или 1, просто сначала приводит 1-основу, а затем противоречит сам себе. И поскольку он от 2008 года, он довольно старый — возраст поднимает вопрос о том, произошел ли сдвиг в сторону 0-основы или 1-основы в последнее время. В своих поисках я намеренно установил фильтр на 2015 год, чтобы ограничиться книгами моложе 10 лет, и действительно, похоже, что 0-основа стала нормой среди более поздних книг. Mathnerd314159 ( обсуждение ) 20:47, 19 февраля 2024 (UTC) [ ответить ]

Существует два подхода к : аналитический (конструктивный) и синтетический (аксиоматический). В аналитическом подходе текст определяет натуральные числа в терминах, например, множеств, и чрезвычайно распространено определение первого натурального числа как пустого множества . В аксиоматическом подходе оба варианта начинаются с 0 и 1, но определение сложения немного удобнее, когда начинается с 1. -- Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя: Chatul ( обсуждение ) 11:08, 20 февраля 2024 (UTC) [ ответ ] ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Более старый источник, о котором я думал в своем посте выше, был Formulario mathematico Пеано. Я только что обнаружил, прочитав статью Пеано в Википедии, что: "Оригинальная формулировка аксиом Пеано использовала 1 вместо 0 в качестве "первого" натурального числа, в то время как аксиомы в Formulario mathematico включают ноль". Перевод, который я читал в колледже много лет назад, был основан на Formulario mathematico. Мне интересно узнать, что даже человек, который придумал слово Natural Numbers, не имел только одного определения.

Это не тот вопрос, который может решить Википедия. Мы можем только сформулировать два разных определения. Если когда-нибудь математики придут к консенсусу, мы сможем это сформулировать. Пока этого не произойдет, нет смысла спорить об этом здесь. Рик Норвуд ( обсуждение ) 11:36, 20 февраля 2024 (UTC) [ ответить ]

Хорошо, это интересное отступление. Я впервые слышу, что утверждается, что Пеано придумал термин «натуральное число». Ни в этой статье, ни в нашей биографии Пеано, кажется, об этом не упоминается. Где вы наткнулись на это утверждение? Мне это кажется маловероятным; я бы подумал, что оно гораздо старше. Но, полагаю, я этого на самом деле не знаю. -- Trovatore ( обс .) 17:43, 20 февраля 2024 (UTC) [ ответить ]

Если только не будет одинакового консенсуса для аксиоматического и конструктивного подхода, в статье все равно придется упомянуть оба. Я подозреваю, что гипотетический консенсус будет 1 для аксиоматического и 0 для конструктивного, но эта догадка стоит того, что вы за нее заплатили. -- Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя: Chatul ( обсуждение ) 14:36, 20 февраля 2024 (UTC) [ ответ ]

Проблема не в том, чтобы излагать определения. Это базовый WP:NPOV , что если есть разные точки зрения, то все они должны быть упомянуты. Проблема в том, чтобы придать WP:UNDUE вес одному определению по сравнению с другим, используя WP:IMPARTIAL тон и избегая WP:FALSEBALANCE определений, которые чаще всего используются в совершенно разных контекстах. По моим подсчетам, 34 из последних 50 правок (23 из них от @ Montgomery Link, который до сих пор не участвовал в этом обсуждении) были направлены на изменение текущей 1-смещенной формулировки на что-то, придающее определениям на основе 0 больший вес. Пока что все они были отменены, но я не думаю, что эта ситуация является устойчивой. Целью этого обсуждения, как я его вижу, является достижение WP:CONSENSUS о том, какой должна быть формулировка и какой вес придавать одному определению по сравнению с другим (например, должно ли определение быть в первом предложении, в начале, в разделе статьи; какое определение следует использовать в каждом разделе и т. д.). Mathnerd314159 ( обсуждение ) 20:44, 20 февраля 2024 (UTC) [ ответить ]

Я отдал должное Пеано. Я также должен был отдать должное Пирсу и Дедекинду. Конечно, есть большая разница между знанием о натуральных числах и тем, чтобы называть их так. "Второй класс определений был введен Чарльзом Сандерсом Пирсом, уточнен Ричардом Дедекиндом и далее исследован Джузеппе Пеано;" Рик Норвуд ( обсуждение ) 11:07, 21 февраля 2024 (UTC) [ ответить ]

Также есть большая разница между тем, чтобы дать им имя, и тем, чтобы дать им формальное определение. Эта цитата не говорит, что кто-то из них был ответственен за наименование. Я бы поспорил, что название восходит (в переводе, очевидно) к древним грекам. -- Trovatore ( talk ) 16:38, 21 февраля 2024 (UTC) [ ответить ]

Что содержится в седьмой книге «Начал» Евклида ? -- Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя: Chatul ( обсуждение ) 18:18, 21 февраля 2024 (UTC) [ ответить ]

Определение в «Началах » (в переводе): «Число — это множество, состоящее из единиц», где 1 — «единица», так что числа начинаются с 2. Однако на практике в тексте есть несколько мест, где 1 трактуется как число. – jacobolus  (t) 01:18, 4 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Согласно Мактьютору, который ссылается на OED (который для меня платный), самое раннее засвидетельствованное использование «натурального числа» принадлежит Эмерсону в 1763 году. А затем оно появляется в Encyclopaedia Britannica 1771 года, так что, предположительно, вошло в общее употребление оттуда. Так что это вовсе не древние греки, Евклид просто называл их «числами» [8]. Понятие «натуральное число» требует понятия «ненатуральные числа» в качестве контраста. Mathnerd314159 ( обсуждение ) 18:52, 21 февраля 2024 (UTC) [ ответить ]

Хорошо, спасибо. Значит, не древний, но все же почти за столетие до рождения Пеано. Может, стоит как-то включить это в статью. -- Trovatore ( обсуждение ) 19:02, 21 февраля 2024 (UTC) [ ответить ]

Дедекинд строит натуральные числа в части V Was sind und was sollen die Zahlen? (1888) и дает там первую аксиоматизацию. Пеано отдает ему должное за это в своей (1889). Эндертон делает следующий соответствующий комментарий в сноске на стр. 66 Elements of Set Theory (Academic Press, 1977): «Является ли 0 натуральным числом? С удивительной последовательностью в настоящее время школьные учебники (вплоть до уровня средней школы) исключают 0 из натуральных чисел, а учебники для старших классов колледжей включают 0. Книги для первокурсников и второкурсников находятся в переходной зоне». Если так, то часть того, что поставлено на карту, — это предполагаемая аудитория этой статьи. Montgomery Link ( обсуждение ) 01:20, 17 марта 2024 (UTC) [ ответить ]

Этот источник кажется достаточно нейтральным, я думаю, что он настолько хорош, насколько это возможно, чтобы охарактеризовать перспективы. Я обновил зацепку. Mathnerd314159 ( обсуждение ) 17:29, 18 марта 2024 (UTC) [ ответить ]

Что касается аудитории, вы не можете ничего предположить об уровне читателя. Есть некоторые обсуждения в WP:TECHNICAL#Audience, но с такой статьей можно предположить, что ее будут читать как дети начальной школы, так и эксперты-математики. В этом случае я думаю, что формулировка как колледж против начальной школы достаточно ясна, чтобы ребенок мог пожаловаться: «Это определение не соответствует тому, что говорится в этом учебнике продвинутой математики», а учитель начальной школы может сказать: «... извините, так говорится в нашем учебнике». Mathnerd314159 ( обсуждение ) 17:48, 18 марта 2024 (UTC) [ ответить ]

Я скептически отношусь к тому, что это хорошая идея — вдаваться в такие подробности о том, когда 0 включен или не включен, особенно на основе одного источника, даже такого авторитетного, как Эндертон. Язык о «средней школе» и «колледже» предполагает, что он, возможно, думал о США, когда писал это (и даже если он не думал, если мы используем эти термины, это звучит так, как будто мы так и есть). Я думаю, что, вероятно, лучше сказать, что иногда он включен, а иногда нет, и в целом оставить все как есть. -- Trovatore ( talk ) 18:20, 18 марта 2024 (UTC) [ ответить ]

Что ж, имеющиеся доказательства (Эндертон, комментарий Ztimes3 выше, мои поиски в Google Books и Scholar, большинство обсуждений, ретроспективный анализ) показывают, что это конкретное разделение в моделях использования является устойчивым и международным. Если у вас есть более общепринятые дескрипторы для использования в качестве лидирующих, продолжайте, но я думаю, что «современная университетская и профессиональная математика» против «начального образования и классических или узкоспециализированных математических текстов» — это деталь, которая важна для большинства читателей, особенно тех, кто задается вопросом, какое соглашение используется, когда они сталкиваются с источником, который не делает это явным. Хотя проверка сравнения кажется , что «элементарный» — это скорее американский термин, я думаю, что другие носители английского языка без проблем его поймут. Я думаю, что замена «колледж» на «университет» может быть уместной. Mathnerd314159 ( обсуждение ) 20:04, 18 марта 2024 (UTC) [ ответ ]

Я согласен с Trovatore, что мы должны просто сказать, что 0 иногда включен, а иногда нет. Если мы попытаемся классифицировать использование по математическому уровню, вы будете подразумевать, что не следует использовать предложение типа «строки и столбцы матрицы обычно помечаются первыми натуральными числами». На самом деле, выбор включения 0 или нет зависит в основном от удобства в каждом математическом контексте. D.Lazard ( talk ) 20:42, 18 марта 2024 (UTC) [ ответить ]

Глядя на Matrix (mathematics)#Notation , можно увидеть примечание: «Некоторые языки программирования начинают нумерацию индексов массива с нуля [...] Эта статья следует более распространенному соглашению в математической литературе, где нумерация начинается с 1». Так что в этом случае использование «натурального числа» идеально, поскольку оставляет неоднозначным, начинается ли оно с нуля или с единицы. Тот факт, что 1 встречается чаще в этом случае, попадает в мою формулировку «нишевой математики» — индексы действительно являются нишей, отличной от более распространенных применений натуральных чисел.

Я не думаю, что мы можем просто сказать «иногда включается 0». Согласно WP:NPOV , статья должна «указывать относительную значимость противоположных взглядов». Базовое утверждение о том, что существуют различные соглашения, этого не делает. В этом случае есть конкретный источник (Эндертон), который объясняет относительную значимость определений. Я бы подумал о том, чтобы написать «Эндертон говорит, что...», но тогда есть еще «Избегайте утверждения фактов как мнений», и из проверки фактов утверждения Эндертона ясно, что это факт, поэтому вместо этого относительная значимость описывается в точке зрения Википедии. Mathnerd314159 ( обсуждение ) 21:08, 18 марта 2024 (UTC) [ ответить ]

Я совершенно уверен, что эта цитата Эндертона неверна, хотя я могу понять, как он мог допустить эту ошибку, поскольку практически все специалисты по теории множеств и смежные с ней люди берут 0 ∈ N. Например, я думаю, что большинство специалистов по теории чисел начинают с N с 1, например, см. стр. 9 книги Иванеца 2004 года «Аналитическая теория чисел» (это, конечно, не учебник для «первокурсников» или «второкурсников») — это просто первый учебник по продвинутой теории чисел, который я смог найти, в котором четко определены натуральные числа. Popcountll ( обсуждение ) 22:50, 18 марта 2024 (UTC) [ ответ ]

Это кажется убедительным, все книги по теории чисел, которые я просмотрел, либо избегали этого термина, либо начинались с 1. Согласитесь ли вы с тем, что «В большинстве современных колледжей и профессиональной математики натуральные числа — это числа 0, 1, 2, 3, ..., также называемые неотрицательными целыми числами. В теории чисел, начальном образовании и в классических или узкоспециализированных математических текстах принято вместо этого определять натуральные числа как исключающие ноль, соответствующие положительным целым числам 1, 2, 3, ...»? Mathnerd314159 ( обсуждение ) 23:59, 18 марта 2024 (UTC) [ ответить ]

Я просто не вижу необходимости вдаваться в подробности такого уровня. Это похоже на статьи, которые начинаются с больших отступлений о том, какие варианты английского языка используют одно слово или написание, а какие — другое. Это отвлекает от основной темы статьи. -- Trovatore ( обсуждение ) 00:52, 19 марта 2024 (UTC) [ ответить ]

Я считаю, что статья должна быть настолько подробной, но не в завязке. -- Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя: Chatul ( обсуждение ) 12:38, 19 марта 2024 (UTC) [ ответить ]

Это было бы менее проблематично, но я все еще сомневаюсь, что мы сможем охватить это разделение оправданным и доступным способом. Отрывок из Эндертона — это именно то, что нам нужно , но, к сожалению, он кажется неточным или, по крайней мере, неточным в полной общности, которую мы хотели бы. С другой стороны, анализ, когда вы смотрите на различные тексты и говорите, ах, эти тексты по теории чисел начинаются с 1, а эти тексты по теории множеств начинаются с 0, поэтому мы скажем, что он начинается с 1 в теории чисел и 0 в теории множеств, — это тот вид оригинального исследования, который мы не можем здесь провести.

Я просто честно говоря не вижу смысла в таком анализе. По большей части, то, что мы хотим сказать о натуральных числах, не зависит от того, включен ли ноль. Нам нужно рассмотреть различные соглашения, но я думаю, что после того, как мы укажем, что они есть, чем меньше будет сказано, тем лучше. -- Trovatore ( обсуждение ) 17:57, 19 марта 2024 (UTC) [ ответить ]

В политике WP:NPOV есть строка : «Эта политика не подлежит обсуждению , и принципы, на которых она основана, не могут быть заменены другими политиками или руководствами, а также консенсусом редакторов». Я бы предположил, что эти «другие политики» включают проверяемость и отсутствие оригинальных исследований — по-видимому, важнее создать анализ относительной значимости точек зрения, чем обосновать или указать источник этого анализа. Перефразируя WP:RNPOV (выделено мной): «Политика NPOV означает, что редакторы Википедии должны попытаться написать предложения вроде этого : «Некоторые математики (например, Эндертон) считают, что натуральные числа начинаются с 0, и считают это определение стандартным для университетской математики. Другие математики, называющие себя теоретиками чисел, находясь под влиянием предположений, необходимых для некоторых теорем (например, теоремы Ван дер Вардена ), вместо этого считают, что определение натуральных чисел как начинающихся с 1 является более подходящим». Mathnerd314159 ( обсуждение ) 23:13, 19 марта 2024 (UTC) [ ответить ]

Mathnerd, похоже, вы считаете, что это реальный спор , который нам нужно решить, как придать ему должный вес. Это не так. Нет никакого спора. Есть разные соглашения. Вы воспринимаете это слишком серьезно. -- Trovatore ( обсуждение ) 23:21, 19 марта 2024 (UTC) [ ответить ]

Высказывание «0 иногда включен, а иногда исключен» явно соответствует политике WP:NPOV , и это утверждение может быть получено из книги Эндерсона. С другой стороны, анализ Эндерсона случаев, когда 0 включен или не включен, является WP:OR , поскольку это первичный источник, и у нас нет никаких вторичных источников, обсуждающих это. Таким образом, и WP:NPOV , и WP:NOR подразумевают, что утверждение Эндерсона о том, что «0 не включен на элементарном уровне, а 0 включен на более высоком уровне», должно быть либо опущено, либо явно указано (Эндерсон написал: «...»). Если не опущено, WP:NPOV подразумевает, что такое мнение не принадлежит лидеру. D.Lazard ( talk ) 09:35, 20 марта 2024 (UTC) [ ответить ]

@ Montgomery Link Просто подумал, что переведу название книги Дедекинда, которую вы упомянули, для тех, кому интересно: «Что такое числа и что они должны делать» или, менее буквально, «Что такое числа и для чего они нужны?».

SaintIX ( обсуждение ) 23:39, 4 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Спасибо. Возможно, вас заинтересует отмеченный перевод того же самого, который можно найти в книге Эвальда «От Канта до Гильберта: справочник по основаниям математики», т. 2.

Насколько я понимаю, ноль был введен исторически как заглушка (см., например, раздел 1 https://www.jstor.org/stable/pdf/3109881.pdf). См. сноску 10 в том же документе для доказательства того, что Дедекинд включал 0 как пустое множество где-то около 1887 года, и, очевидно, к 1890-м годам; так что есть тупая проблема с очевидными последствиями. Там в разделе 1 также говорится, что Фреге нужен ноль по логическим причинам, но Дедекинд использует единицу в качестве своей «базы». Отображение из {0, 1, 2, ...} в {1, 2, 3, ...} является один-один и на (pf. использует функцию-преемника), так что проблема кажется несколько произвольной. И все же, один момент, который никто не поднял, это проблема обозначений и история нуля. Исключить ноль из натуральных чисел означает сделать их обозначения неадекватными. Что в этом естественного? Montgomery Link ( обсуждение ) 00:37, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

@ Montgomery Link Спасибо. Немецкий — мой родной язык, хотя сейчас мой английский намного лучше немецкого (мне было 9½, когда мы переехали в Англию в январе 69-го, и я провел здесь год — с августа 66-го по июль 67-го, и один год в США — с августа 67-го по июль 68-го; академические годы: мой отец принимал участие в лекциях по обмену). Я все еще читаю немецкий, когда это оригинальный язык романов, но технические книги могут представлять для меня некоторые трудности, поэтому предложение по переводу приветствуется 🙏🏼. SaintIX ( talk ) 01:12, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Хорошо. Тогда, я думаю, есть два изменения. (1) Используйте формулировку «возможно, исключая 0» в начале. D. Lazard поддержал это, и небольшое смещение в сторону 0 может быть оправдано стандартом ISO и/или Enderton (и что любая формулировка, которая начинается с примера, будет смещена в сторону этого примера). Также есть случаи, такие как «все натуральные числа являются простыми или составными», где подразумевается не только исключение 0, но и 1 (аналогично выделенным Евклидом множествам и единицам). При определении со смещением в сторону 1 тенденция исключения особых случаев менее очевидна.

(2) Расширьте раздел «Современное определение», чтобы обсудить различные соглашения и их использование. Есть происхождение термина «натуральное число» (вероятно, Эмерсон согласно OED), Пеано, использующий букву N и переключающийся с 1 на 0, а затем мнение Эндерсона и некоторые отрывочные цитаты из известных учебников. Вероятно, также ссылка на движение Новой математики, если я смогу найти источник. Mathnerd314159 ( обсуждение ) 04:20, 7 апреля 2024 (UTC) [ ответить ]

Мы можем спорить до тех пор, пока коровы не придут домой, но если мы не назначим диктатора математики, все это просто слова. Я думаю 1, 2, 3, ... . Вы думаете 0, 1 2, 3, ... . Я учу, что ℕ = {1, 2, 3, ... }, но я рассказываю своим студентам о разнице во мнениях. И, конечно, можно определить ℕ одним способом, а «натуральные числа» — другим. Но главное в том, что из всех способов решения этого вопроса решение его в Википедии, вероятно, наихудшее.

Moo! Рик Норвуд ( обсуждение ) 17:34, 7 апреля 2024 (UTC) [ ответить ]

Ребята, если мы рассмотрим теорию групп и колец, разве наличие 0 как части натуральных чисел не имеет гораздо больше смысла? Как будто это следует из свойства, и без него у нас будут проблемы. Так почему же мы все еще спорим, разве мы не должны следовать логике? Также у компьютерных ученых будут проблемы с тем, как это начинается с 1. (также если вы используете p-адические числа, первое число все еще 0) большинство не всех вспомогательных понятий указывает на то, что 0 является существенным в группе. Я все еще не понимаю, как кто-то утверждает, что большинство теоретиков чисел считают, что 0 не входит в натуральные числа, когда все другие группы нуждались в этом. Пожалуйста, рассмотрите множественные углы, от теории множеств до p-адических и всех углов, а не ваше чувство того, что должно быть, мы математики, и если вы ссылаетесь на мои источники, рассмотрите также, являются ли они объективными или субъективными, потому что свидетельства из разных областей указывают на включение 0 в натуральные числа, скромно, New1997. — Предыдущий неподписанный комментарий добавлен 183.182.115.217 (обсуждение • вклад ) 00:51, 4 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Что касается теории чисел, есть книга "From Great Discoveries in Number Theory to Applications" и стр. 9 Iwaniec 2004 "Analytic Number Theory" из Popcountll выше, и мой собственный беглый поиск в Google Books. Я полагаю, что она не цитируется в статье строго, но я действительно не хочу вставлять ссылку на 100 книг по теории чисел только для того, чтобы доказать свою точку зрения. В теории групп и колец (алгебре, как цитирует Джеральд А. Эдгар в MacTutor) учебники в основном включают 0 как часть натуральных чисел. И аналогично логика и теория множеств и CS.

Что касается множественных углов, то это своего рода суть, одна из моих ранних попыток была "натуральные числа - это числа 0, 1, 2, 3, ...", и это было возвращено. Независимо от чьих-либо личных чувств, просто неверно говорить, что одно определение верно, а другое неверно. Доказательства, которые я поднял, показывают, что этот термин был неоднозначным с 1700-х годов, и если принятие ISO одного определения в качестве стандарта недостаточно для изменения этого, я не уверен, что это так.

Однако из вашего комментария следует, что текущее положение дел все еще неудовлетворительно. Честно говоря, я не уверен, что еще можно попробовать, кроме моего более раннего предложения разделить на положительное целое число и неотрицательное целое число и сделать эту страницу устранением неоднозначности или широкой концепцией. WP:NOTDICTIONARY говорит: «Статьи почти всегда сосредоточены на одном определении или использовании заголовка», что в некотором роде оправдывает это. В текущей статье довольно ясно, какие части отсчитываются от 0, а какие от 1, поэтому разделить ее не составит труда. Есть у кого-нибудь мысли? Mathnerd314159 ( обсуждение ) 05:04, 4 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

редактирование: новый раздел Mathnerd314159 ( обсуждение ) 05:19, 4 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

@ Mathnerd314159 Я согласен с вами, хотя, поскольку и ℕ₀, и ℕ₁ являются определениями натуральных чисел, я не уверен, чего можно добиться, разделив их? Что касается теории множеств, то натуральные числа в любом случае немного проблематичны, по крайней мере, при сложении: без нуля нет единичного элемента и нет обратных элементов, если не включать ℤ, отрицательные целые числа. Надеюсь, вы меня извините, прошло много времени с тех пор, как я получил степень (1993-6, по информатике и дискретной математике), и у меня нечасто появляется возможность заниматься математикой, не говоря уже о том, чтобы обсуждать ее. Мой отец — математик на пенсии, и его реакция на вопрос, является ли ноль натуральным числом, была: «Конечно, это так!» (его поведение было почти таким: как можно задавать такой глупый вопрос 😄). Чисто лично я склоняюсь к противоположной точке зрения, что ноль не является «натуральным» числом. Я бы пошел дальше: ноль на самом деле довольно сложная и относительно недавняя концепция (ее введение в европейскую математику приписывают Фибоначчи в 10-11 веке; см. Ноль ), и многие древние системы счисления, например, римская и греческая, не включали ее полностью. На самом деле греки довольно много спорили об этом, как с философской, так и позже с религиозной точки зрения. Чтобы выступить в роли адвоката дьявола, я склонен предположить, что ноль на самом деле вообще не является числом, так же как черный, строго говоря, не является цветом (точно так же, как черный является отсутствием цвета, можно утверждать, что ноль является отсутствием числа. Насколько я понимаю, без дополнительных исследований, это, похоже, лежит в основе аргументов греков о нем: как ничто может быть числом?). Однако я еще менее квалифицирован для философских дебатов, чем для математики. Как бы то ни было, и несмотря на то, что это противоречит моим инстинктам, здравому смыслу и чувствам (ни одно из которых, по общему признанию, не является фактическим или научным), если действительно необходимо, чтобы мы отдали предпочтение одному определению, а не другому, я бы проголосовал за ℕ₀ (в отличие от ℕ₁, поскольку это определение ISO, и его придерживается большинство математиков). Сказав это, я на самом деле склонен оставить все как есть. Несмотря на руководящие принципы WP:NOTDICTIONARY (хотя я бы указал, что они говорят «…почти всегда…», и это вполне может быть ярким примером того, когда нецелесообразно и нежелательно иметь единое определение), указание на неоднозначность дает более полное и точное определение. Как показывает обсуждение здесь и отсутствие единодушия даже среди математиков, на самом деле это на удивление спорный и щекотливый вопрос, отсюда моя склонность не будить спящую собаку. Разделение статьи может просто открыть целый ящик новых проблем (извините за клише, я не смог удержаться от них 😉). Я думаю, это также приведет к некоторой путанице для пользователей Википедии, ищущих определение.

Просто из любопытства, если бы было решено разделить статью на две, какие бы вы предложили заголовки для них? Будет ли справедливо или даже правильно, если бы одну из них назвали «Натуральные числа», а другую нет, хотя, конечно, по крайней мере одна из них должна иметь такой заголовок?

В заключение я хотел бы сказать, что хотя я и серьезен в своих доводах, мой тон должен быть беззаботным, что не всегда легко передать в письменной форме, но я надеюсь, что вы не найдете то, что я сказал, слишком легкомысленным. Я искренне ценю и люблю быть частью этого сообщества, каким бы незначительным ни был мой вклад, и я хотел бы поблагодарить вас всех за то, что вы нашли время дочитать до этого места и предоставили мне эту привилегию 🙏🏼. SaintIX ( talk ) 23:20, 4 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Разделение даст разные определения разным статьям, как того требует WP:NOTDICT . Нет никаких споров о том, что такое «положительные целые числа» или «неотрицательные целые числа», поэтому использование их в качестве заголовков положит конец спору. Размытое понятие, такое как «ноль — это не число», становится ясным: это неотрицательное целое число, но это не положительное целое число. Что касается голосов, то обычно единственными вариантами при голосовании являются поддержка или противодействие, но я полагаю, что вы могли бы проголосовать за определение натуральных чисел как только ℕ₀ в предложении о разделении ниже. Похоже, что вы в противном случае выступаете против разделения, потому что это «банка червей», но мне не ясно, почему это будет хуже, чем текущая ситуация. Mathnerd314159 ( обсуждение ) 02:45, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

черный, строго говоря, не является цветом – отступая от темы, черный, безусловно, является цветом согласно любому правдоподобному научному определению «цвета». – jacobolus  (t) 07:20, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

@ Jacobolus Пожалуйста, не обижайтесь, но я вынужден не согласиться: научное определение цвета — это «…визуальное восприятие, основанное на электромагнитном спектре» (цитируя статью Википедии о цвете ), а черный цвет не входит в электромагнитный спектр, так что это определенно не правдоподобное определение. Заметьте, я бы согласился, что это определение не совсем удовлетворительно, поскольку не существует такого понятия, как коричневый свет, и я не думаю, что кто-то будет спорить, что коричневый — это не цвет. Проблема здесь заключается в аддитивной (световой), а не субтрактивной (пигментной) окраске — основные цвета первой, например, на экране телевизора, — это RGB, тогда как в печати основные цвета — это CMYK (голубой, пурпурный, желтый и «ключевой» (ключевой — черный). Ключевым он называется потому, что ключевая линия, используемая для контуров сплошных цветных блоков, обычно является частью черной пластины. Теоретически сочетание CMY должно давать черный цвет, но при их использовании возникает ряд проблем: чернила обычно недостаточно чистые и на самом деле дают «мутный» черный цвет; использование всех трех цветов насыщает бумагу, из-за чего она деформируется или даже рвется; черный цвет дешевле других цветов, поэтому он стоит на 1/3 меньше).

Я согласен с вами в том, что обычно я бы назвал черный цветом, но все сводится к семантике (КАК ВЫ ОПРЕДЕЛЯЕТЕ цвет?), что и было моей главной целью (если число - это количество, как ничто может быть числом? Ничто может быть «вещью», но является ли оно чем-то? Если ноль - это «натуральное» число, почему потребовалось так много времени, чтобы его приняли как число, а не как заполнитель? Я не ищу ответов, они риторические, чтобы проиллюстрировать, что я имею в виду, когда говорю, что это вопрос семантики и/или философии. Тем не менее, я нахожу их интересными 🤔, извините).

Еще одно отступление: черные пигменты на самом деле редко бывают действительно черными, если вообще бывают. Когда я перекрасил свой бас-барабан в черный цвет и сравнил его с том-томами, у томов был легкий зеленый оттенок, тогда как у бас-барабана был легкий красный оттенок. Разница была заметна только при очень сильном освещении, и, не положив их рядом друг с другом, я бы назвал их оба черными. Два покрытия, оба продаваемые как черные, одно с завода, другое у небольшого производителя инструментов.

Пожалуйста, примите мои извинения за то, что я так далеко отошел от темы, просто мне нравятся эти обсуждения. Это страница «обсуждения», в конце концов, так что я не считаю это совсем неуместным. SaintIX ( обсуждение ) 20:15, 6 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Статья в Википедии на самом деле не дает наиболее точного определения, и в результате вы неверно его интерпретируете. Если вы посмотрите в любой книге по науке о цвете или в определениях, используемых, например, CIE, вы обнаружите, что ключевой частью определения «цвета» является человеческое восприятие, а не спектры света или физические свойства объектов. Кроме того, как вы указываете, слово «черный» применяется к широкому диапазону восприятий. – jacobolus  (t) 20:30, 6 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

@ Jacobolus Спасибо за это. И я полностью согласен. Если бы меня спросили, я бы сказал, что цвет — это качество, которое мы приписываем нашему восприятию определенных длин волн электромагнитного спектра. Я думаю, что восприятие — это ключевое слово, и, в конечном счете, они субъективны. Может быть, кто-то должен отредактировать запись о цвете 😉? В любом случае, спасибо еще раз. Мне всегда приятно, когда кто-то находит время ответить мне ☺️. SaintIX ( talk ) 21:06, 6 июня 2024 (UTC) [ reply ]

На самом деле, ведутся споры о том, что такое «положительные целые числа»; некоторые авторы используют это понятие для обозначения неотрицательных чисел и используют термин «строго положительные», когда хотят исключить ноль. -- Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя: Chatul ( обсуждение ) 12:36, 7 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

@ Chatul Это примерно то, что я обнаружил, когда углубился в эту тему (больше, чем я действительно хотел или намеревался). Спор насчитывает тысячи лет, и я не настолько высокомерен или заносчив, чтобы думать, что мы решим его здесь.

Мы, своего рода, вернулись к языку, и это в лучшем случае сложно, как знает любой двуязычный человек... SaintIX ( обсуждение ) 13:06, 7 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Я не думаю, что идея разделения хороша. Я помню, как много лет назад я слышал, что этот спор существует, но я никогда лично не сталкивался с ним до сих пор, но я понимаю, почему мне сказали, что он был жарким. В математической логической сцене по всему миру ноль включен в ℕ. В классическом труде Хартли Роджерса «Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость» он называет ℕ (это первый символ, который он вводит в книгу) классом «целых чисел» и включает ноль. Он имеет в виду неотрицательные целые числа. Алонзо Чёрч в классическом «Введении в математическую логику» включает ноль (стр. 179 и см. интересный снос 521). Монтгомери Линк ( обсуждение ) 00:59, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

@ Montgomery Link Я согласен с обоими пунктами: что разделение — плохая идея, и что ноль — это элемент ℕ, определенно математически. Взгляды, которые я высказал в другом месте этого выступления, на самом деле больше философские, чем математические, они больше связаны с концепцией нуля и с тем, можно ли его считать «натуральным» числом или даже числом вообще. Я полагаю, что часть спора на самом деле больше связана с семантикой и с тем, является ли «натуральный» действительно хорошим названием для ℕ. Однако это не тема для Википедии, не говоря уже о статье о ℕ, и, учитывая его широкое использование, а также его символ, это то, с чем мы застряли. Заметьте, ℤ не так очевиден, если вы не знаете, что он означает «Zahl» или «Zahlen» (по-немецки «Число/я»), как и ℚ, рациональные числа, если вы не знаете, что он означает «Частные».

Извините за (немного педантичные) объяснения, они предназначены для людей, которые не так осведомлены, как вы. Я, конечно, не собирался подвергать сомнению ваше понимание. SaintIX ( talk ) 01:44, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Раздельное предложение

Следующее обсуждение закрыто. Пожалуйста, не изменяйте его. Последующие комментарии должны быть сделаны на соответствующей странице обсуждения. Дальнейшие правки в это обсуждение не должны вноситься.

---

Дебаты о значении натуральных чисел затянулись слишком надолго. Поэтому я предлагаю разделить статью на две отдельные страницы под названием «Положительное целое число» и «Неотрицательное целое число» (в настоящее время обе перенаправляют сюда). Содержание будет разделено между ними в соответствии с тем, использует ли оно определение натурального числа с 0 или 1, со ссылками между страницами по мере необходимости. Эта страница будет представлять собой общую концептуальную статью, обсуждающую использование термина «натуральные числа». Имеется достаточно ссылок, обсуждающих его неоднозначность и определения, чтобы установить значимость.

В качестве обоснования есть WP:NOTDICT . В критериях указано, что правильным разрешением «одного и того же заголовка для разных вещей (омографов)» является наличие разных статей для разных вещей, а затем страницы устранения неоднозначности. Это, очевидно, так, натуральные числа — это заголовок, используемый как для положительных целых чисел, так и для неотрицательных целых чисел. Mathnerd314159 ( talk ) 05:19, 4 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

• Сильнейшее возможное возражение . Да ладно, это просто глупо. Включен ли ноль или нет — это мелочь, а не признак того, что мы говорим о совершенно другом предмете. Как я уже говорил в предыдущем обсуждении, очень мало того, что мы хотим сказать о натуральных числах, существенно меняется в зависимости от того, включен ли ноль или нет. — Trovatore ( обсуждение ) 07:33, 4 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Точный язык и определения могут быть вопросом жизни и смерти. Не уверен, что есть какие-то конкретные примеры нулевого против единичного, так как это обычно обнаруживается на ранних этапах тестирования, но полет Ariane V88 является примером общей серьезности ситуации. Это не «глупость» и не «тривиальность». Mathnerd314159 ( обсуждение ) 20:32, 4 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Я не собираюсь заниматься этими детскими придирками. Если вы готовы отнестись к этому серьезно, я расскажу подробнее, но не в ответ на этот вид ерунды. -- Trovatore ( talk ) 22:14, 4 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

• Oppose . Per Trovatore, и потому что это ничего не решает: поскольку «натуральное число» является распространенной поисковой фразой, мы должны сохранить ее как перенаправление, и здесь нет способа выбрать ее цель. Страница dab также не будет хорошим решением, поскольку большинству читателей все равно, включен ли 0 или нет. D.Lazard ( talk ) 09:01, 4 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

По популярности в Википедии «натуральное число» имеет примерно такое же количество просмотров страниц, как и целое число , число , действительное число , комплексное число : [9]. WikiNav сообщает, что 48% трафика поступает из поиска. В Google Trends это, возможно, 90-60-20-1 для целого числа / натурального числа / положительного целого числа / неотрицательного целого числа. [10]. Конечно, это будет означать, что «неотрицательное целое число» — плохой заголовок страницы, но нет более распространенного термина, который однозначно описывал бы целое число 0, 1, 2 и т. д. И если бы популярность была всем, то целое число не было бы разрешением неоднозначности. Если мы включим «натуральное число» на страницу неотрицательных целых чисел, то Google, скорее всего, заметит это и выдаст в качестве верхнего результата для «натурального числа». Mathnerd314159 ( обсуждение ) 20:32, 4 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Присвоение названий Википедии не является строгим конкурсом популярности.

Здесь мы имеем два по сути идентичных понятия с ошибкой в ​​один пункт в их (произвольных) соглашениях. Названия «целое число» и «счетное число» обычно зарезервированы для детей, неспециалистов и очень неформальных технических разговоров, а «целое число» еще и двусмысленно, поскольку часто включает отрицательные целые числа. Ни одно из них не является подходящим названием здесь, по моему мнению.

Названия «неотрицательное целое число» и «положительное целое число» без необходимости исключают другой набор, который следует обсудить в том же месте.

Нет никаких проблем с использованием «натурального числа» в качестве заголовка для этой статьи. Это обсуждение — буря в стакане воды. Долгосрочная стабильная версия этой статьи была совершенно хороша. Статья не должна подробно останавливаться на этом моменте в первых нескольких предложениях и не должна делать ставку на борьбу. Она просто должна кратко упомянуть разницу в соглашениях в начале, а затем обсудить любые практические последствия выбора где-то ниже на странице. Точная используемая формулировка подлежит обсуждению и должна быть определена на основе консенсуса, но на самом деле не так уж и важна. – jacobolus  (t) 02:36, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

«Названия «неотрицательное целое число» и «положительное целое число» [...] следует обсуждать в одном месте». - Я с этим не согласен. Нет ничего полезного, что можно было бы одновременно сказать о 0,1,... и 1,2,..., что не было бы применимо к более общим понятиям, таким как целочисленная последовательность . В то время как есть много вещей, которые можно сказать конкретно об одном или другом, например, об истории счета и соответствии с кардинальными или порядковыми числами. Mathnerd314159 ( обсуждение ) 06:48, 5 июня 2024 (UTC) [ ответ ]

• Выступайте против Mathnerd314159, вы же не можете быть серьезны с этим? – jacobolus  (t) 14:49, 4 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Это определенно "ядерный" вариант, но по мере того, как я прорабатываю детали, он кажется все более и более хорошей идеей. Никто не спорил с центральным тезисом, WP:NOTDICT , который является установленной политикой Википедии. Mathnerd314159 ( обсуждение ) 20:32, 4 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Мне кажется, что ты злишься, что люди с тобой не согласны и немного дергаются. – jacobolus  (t) 22:22, 4 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Я не особенно зол. Я бы сказал, скорее разочарован тем, что пока ничего не сработало. Я перепробовал все другие решения, упомянутые в моем посте от 00:24, 19 февраля 2024 (UTC), кроме разделения. Перефразируя Шерлока Холмса, «Когда вы исключили невозможное, то все, что осталось, каким бы невероятным оно ни было, должно быть ответом». Я не говорю, что текущее состояние плохое, но оно также все еще вызывает обсуждения, так что оно недостаточно хорошо. Mathnerd314159 ( talk ) 06:57, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

• ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬ Две системы натуральных чисел естественно изоморфны и часто описываются в терминах одних и тех же постулатов Пеано . С математической точки зрения нет смысла относиться к ним по-разному. -- Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя: Chatul ( обсуждение ) 17:32, 4 июня 2024 (UTC) [ ответ ]

Вы говорите, что они «одинаковые», но затем они пишутся , , явно разные. Согласно парадоксу Банаха-Тарского один шар изоморфен двум шарам, вы собираетесь сделать 2 перенаправлением на 1 , потому что «нет никакой математической разницы»? Mathnerd314159 ( talk ) 20:32, 4 июня 2024 (UTC) [ ответить ] ${\displaystyle 0\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle 1\in \mathbb {N} }$

Натуральные числа образуют единое понятие с двумя немного разными определениями. Поэтому WP:NOTDICT не применяется. Тот факт, что определения очень похожи, можно увидеть в аксиомах Пеано , стандартном способе формального определения натуральных чисел: переход от одного определения к другому путем изменения аксиомы «0 — натуральное число» на «1 — натуральное число» (и наоборот), а другие аксиомы остаются неизменными. Более того, во многих математических текстах четко не указано, какое определение они используют, как правило, потому что это не имеет значения. Поэтому страница с dab (которую вы предлагаете неявно) будет сбивать с толку, поскольку большинство читателей не будут знать, какую ссылку выбрать. Поэтому гораздо яснее иметь одну статью, в которой четко указано, что в определении есть два варианта. D.Lazard ( обсуждение ) 21:22, 4 июня 2024 (UTC) [ ответ ]

Согласен. Чатул привел веские доводы в пользу того, чтобы не разделяться. Ссылка на Монтгомери ( обсуждение ) 01:03, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

"Натуральные числа образуют единое понятие" - необходима цитата. Конечно, понятие - очень расплывчатый термин, но одно из определений понятия в Google - "теоретическая конструкция в рамках некоторой теории", а в рамках теории множеств ясно, что ℕ₀ и ℕ₁ - это разные множества и, следовательно, разные понятия. Аналогично текущее определение "числа 0, 1, 2, 3 и т. д., возможно, исключая 0" намеренно расплывчато.

Что касается ленивых математических текстов, то это вечная проблема. Некоторые научились, но часто помимо ленивых определений есть вопиющие ошибки. Все это означает, что они не являются надежными источниками и не имеют отношения к аргументации. Вы не можете использовать кучу навоза, чтобы нарисовать шедевр. (если вы не Крис Офили ) Что касается «это не имеет значения», снова нужна цитата. Я думаю, что более вероятно, что студенты потратили бесчисленное количество часов на поиски подсказок, чтобы выяснить, какое определение имеется в виду.

"страница dab будет запутанной" - я этого не предлагал, я предложил страницу с широкими понятиями. Содержание будет текущим лидом, соответствующим образом измененным, плюс обсуждение натуральных чисел как термина. Но даже если мы в итоге получим страницу dab, она будет не хуже, чем whole number . Если вы собираетесь вести крестовый поход против запутанных страниц dab, вам следует начать с этого. (Мое предложение превратить ее в страницу с широкими понятиями, которая фактически объясняла бы, когда она используется как целое число против положительного целого числа против неотрицательного целого числа, было отклонено Trovatore)

"гораздо понятнее иметь одну статью" - здесь мы попадаем в WP:MERGE . Это, конечно, спорно, но есть WP:NOTMERGE , "Объединения следует избегать, если: ... Темы являются дискретными предметами, требующими своих собственных статей, причем каждый соответствует Общим правилам значимости, даже если он короткий ". Я думаю, очевидно, что положительные целые числа и неотрицательные целые числа являются независимыми, дискретными предметами и соответствуют GNG. Я также думаю, что Википедия была бы яснее, если бы она последовательно использовала положительные целые числа / неотрицательные целые числа и намеренно избегала когда-либо использовать термин "натуральное число". Наличие одной статьи, объединяющей две концепции, поощряет тот тип неряшливых, неточных математических записей, о котором вы упоминаете. Mathnerd314159 ( обсуждение ) 03:22, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

«Единственное понятие» здесь — это упорядоченная, счетно-бесконечная последовательность, которая может использоваться для перечисления других конечных или счетно-бесконечных последовательностей, сравнения их размеров, индексации конечных или бесконечных сумм, построения других видов чисел с использованием различных структур данных с натуральными числами в качестве базового типа (или иногда самого по себе как сконструированного типа) и т. д. В зависимости от контекста иногда удобно начать с одного или другого (а иногда даже с какой-то другой отправной точки, например ⁠ ⁠ ${\displaystyle -1}$ или ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3}$ ), но основная цель и идея в любом случае одни и те же, и точная отправная точка в значительной степени не имеет значения.

Мы можем спорить о том, следует ли включать аддитивное тождество или нет, с какого значения индекса нам следует начинать подсчет любой конкретной последовательности, о точных деталях представления(й) при попытке представить произвольные рациональные числа с помощью некоторого структурированного набора натуральных чисел и т. д. Однако люди редко используют натуральные числа как таковые для более общих видов арифметики, поскольку полный набор целых чисел (или более подходящие надмножества) легко доступен и готов для арифметики. – jacobolus  (t) 05:56, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Под "упорядоченной, счетно-бесконечной последовательностью" я понимаю, что вы имеете в виду целочисленную последовательность , в частности арифметическую прогрессию или последовательность последовательных целых чисел. Это три концепции. И ни одна из этих страниц не перенаправляет на натуральные числа или не связана здесь, поэтому я делаю вывод, что это разные концепции.

"В зависимости от контекста иногда удобно начинать с [...] какой-то другой отправной точки, например, -1 или 3" - можно ли начинать с чего-то другого, что называется натуральными числами? Я думаю, что именно это вы упускаете, а именно то, что существует ровно два определения натуральных чисел, определение положительного целого числа и определение неотрицательного целого числа. Таким образом, страница с разрешением неоднозначности с двумя ссылками является наиболее структурированным представлением значения натуральных чисел.

И это не "мы можем придираться", это "мы придирались" на протяжении нескольких столетий (и 20 лет на вики) по поводу того, какое из этих двух определений является подходящим. Другие вещи, которые вы упомянули, такие как рациональные числа или арифметика, не были проблемой. Mathnerd314159 ( обсуждение ) 06:38, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Греки (иногда) начинали свой список эквивалентов с 2. Это не имело принципиального значения. Если хотите, можете начать с числа ⁠ ⁠ ${\displaystyle -4{,}321}$ . Это не более и не менее чем разница в соглашениях, и в худшем случае ее иногда неудобно обойти. Важно иметь конкретный четко определенный список, который можно использовать в качестве основы для сравнения, но где именно он начинается — это тривиальность.

В вашем собственном учебнике, пожалуйста, выберите тот, который вам больше нравится, и придерживайтесь его. В Википедии мы должны кратко упомянуть, что соглашения различаются (хотя бы для того, чтобы предупредить жалобы педантов, которые тратят время), а затем перейти к обсуждению фактического предмета: использование и структура этих инструментов. – jacobolus  (t) 07:14, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

"Если хочешь, можешь начать с числа -4,321" - нет? Я имею в виду, если я изменю страницу натуральных чисел, сказав "натуральные числа начинаются с числа -4,321", то все, очевидно, вернется к исходному значению.

«Важно иметь конкретный, четко определенный список» — я согласен, но поскольку натуральные числа не имеют четкого определения, единственный способ получить четко определенный список — полностью избегать этого термина и использовать более конкретные термины.

«В вашем собственном учебнике, пожалуйста, выберите тот, который вам больше нравится, и придерживайтесь его». — Я не пишу учебник . Я здесь для того, чтобы создать энциклопедию .

«В Википедии мы должны кратко упомянуть, что соглашения различаются, а затем перейти к обсуждению фактического предмета». Это было бы здорово, если бы это было возможно. Например, см. счетное бесконечное число — есть также два разных определения. В отличие от этого, статья выбирает одно определение и придерживается его. Тогда как здесь история, обозначения, даже часть остальной части статьи посвящены обсуждению различных соглашений. Конечно, было бы здорово, если бы мы могли просто сказать «натуральные числа начинаются с 0» и обсудить альтернативные соглашения в разделе, но это не представляется возможным. Mathnerd314159 ( обсуждение ) 18:19, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Это обсуждение, для которого вывод (т. е. более или менее предыдущая стабильная версия) является подавляющим консенсусом редакторов, тратит время людей и мешает процессу создания энциклопедии. Неоднократное неправильное понимание и искажение комментариев и аргументов нескольких других редакторов, а затем вики-правоведение по поводу версии соломенного человечка не помогает убедить никого. Вместо того, чтобы предъявлять все более невероятные требования, основанные на все более преувеличенных аргументах, было бы гораздо лучше использовать время каждого, если бы вы либо (a) сдались, либо (b) выяснили, где другие редакторы могли бы согласиться с той или иной частью ваших целей, а затем сосредоточились на небольших, преднамеренных изменениях, которые имеют некоторые шансы на достижение консенсуса. – jacobolus  (t) 19:50, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Ситуация не была "подавляющим консенсусом редакторов", она была установлена ​​пользователем Dissident в 2004 году. Выбор перенаправления Положительного целого числа и Неотрицательного целого числа здесь никогда не обсуждался, я проверил. Молчание не является консенсусом, или, по крайней мере, это самая слабая форма, и присутствие несогласного редактора, такого как я, нарушает этот консенсус.

Теперь это правда, если мы действительно подождем неделю и никто, кроме меня, не сочтет разделение хорошей идеей, то справедливо будет заключить из числа голосов против, что существует консенсус относительно текущей структуры страницы. Mathnerd314159 ( обсуждение ) 23:03, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Нет. Консенсус не требует единогласия. В противном случае ни одна статья не может быть удалена перед лицом одного "сохранить" !голоса, ни один пользователь не может быть заблокирован перед лицом одного "против" в ANI и т. д. XOR'easter ( обсуждение ) 00:09, 6 июня 2024 (UTC) [ ответ ]

Нет, нет двух точных определений натуральных чисел. Есть несколько способов, в общем описываемых как синтетические (аксиоматические) и конструктивные. Традиционное синтетическое определение ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ с использованием постулатов Пеано } одинаково как с 0-, так и с 1-базой, отличаясь только выбором символа для начального элемента. Однако существуют и другие синтетические подходы с использованием аксионных схем, например, Джона фон Неймана , Рафаэля М. Робинсона .

Для конструктивных определений определения обычно начинаются с определения начального элемента и функции-последователя, а затем применяется индукция. То есть, . -- Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя: Chatul ( обсуждение ) 16:32, 5 июня 2024 (UTC) [ ответ ] ${\displaystyle 0=\emptyset ,S(x)=x\cup \{x\}}$

Я думаю, вы путаете определения с формализацией. Определения, о которых я говорю, это «0,1,...» и «1,2,...». Они короткие и лаконичные и примерно настолько хороши, насколько это вообще возможно для определений. С точки зрения формализации, «...» — это то, что вызывает проблему, а способы работы с бесконечностью относительно касательны определения натуральных чисел. Согласно WP:TECHNICAL, текущая статья не начинается с определения натуральных чисел с использованием постулатов Пеано или чего-то еще, она дает простые определения. Mathnerd314159 ( talk ) 18:28, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

@ D.Lazard Что касается цвета, то тут есть хорошее опровержение вашего аргумента. Подумайте о том, чтобы применить ваш аргумент к черному и белому . «Тот факт, что определения очень похожи», можно увидеть на их вики-страницах: «переход от одного определения к другому» путем замены «полного отсутствия видимого света» на «полное присутствие всех длин волн видимого света». Так что, как наличие или отсутствие 0 является незначительной несущественной деталью, «гораздо яснее» иметь одну статью Grey , в которой четко говорится, что существует два экстремистских определения цвета. Недостатки этого аргумента должны быть очевидны. Mathnerd314159 ( обсуждение ) 17:46, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Нет, это не то, что утверждает теорема Банаха–Тарского . Изоморфны части, а не сами шары. -- Шмуэль (Сеймур Дж.) Метц Имя пользователя: Chatul ( обсуждение ) 16:32, 5 июня 2024 (UTC) [ ответ ]

Банах-Тарский доказывает существование биективного отображения, которое отображает каждую точку одной сферы в соответствующую точку одной из двух сфер. И тогда оно является «естественным» в том смысле, что состоит только из вращений и переносов и сохраняет почти всю локальную структуру.

Это похоже на то, что я предлагаю здесь, разделяя статью на две отдельные концепции, в первую очередь с помощью копирования и вставки, таким образом, чтобы сохранить поток текста. Mathnerd314159 ( обсуждение ) 18:00, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

• Oppose Это всего лишь одна концепция с двумя слегка различающимися определениями. Мы можем (и делаем это) легко охватить два определения в одной статье. Здесь нет необходимости в двух статьях, как нет необходимости разделять простое число на три статьи, чтобы охватить другие исторические определения, которые включали 1 как простое число или не включали 2 как простое число. Meters ( обсуждение ) 02:48, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]
• Категорически против Призыв к прекращению дискуссии, которая, похоже, достигла своего логического завершения. Рик Норвуд ( обсуждение ) 10:07, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

  Есть WP:STRONG , который указывает на то, что «[Слово «сильный»] на самом деле не укрепляет вашу позицию и не влияет на консенсус, который возникает в результате обсуждения, особенно если это все, что вы можете сказать. Четкое и логичное изложение вашей позиции, с предшествующим ей выделенным жирным шрифтом комментарием или без него, — вот что делает ваш аргумент сильным».

  Что касается продолжительности обсуждения, то обычно неделя — это минимум, но я думал, что это скорее два месяца, основываясь на предыдущей теме #Является ли 0 натуральным числом?. Думаю, недели будет достаточно, если не появится других сторонников. Mathnerd314159 ( обсуждение ) 18:05, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

• Strong Oppose с a side of touch grass . Это предложение не имеет под собой оснований в руководящих принципах, политике или здравом смысле. Здесь нет двух тем; есть одна тема с двумя альтернативными соглашениями. Нет разделительной линии, по которой можно было бы разделить материал. Разделение не внесет ясности и затруднит как поддержку, так и улучшения. Разделение нарушит NPOV, сделав выбор соглашения более важным, чем он есть на самом деле. Я попробовал закрыть SNOW, потому что было шесть редакторов, выступающих против предложения в этом разделе, и еще два в предыдущем, что указывает на то, что был пресловутый снежный ком, шанс на то, что консенсус действительно сформируется в пользу него. Но я был отозван предложившим и единственным сторонником разделения. XOR'easter ( обсуждение ) 23:18, 5 июня 2024 (UTC) [ ответ ]

  Вот предлагаемое разделение: https://ibb.co/3hgLRTS. Желтый, чтобы остаться здесь, красный, чтобы перейти к неотрицательному целому числу , синий, чтобы перейти к положительному целому числу . Довольно неискренне говорить, что нет разделительной линии, когда это так очевидно. И, конечно, положительное целое число немного коротковато, но я уверен, что его можно расширить, например, обсуждением того, как положительные целые числа изучаются в раннем детстве. Mathnerd314159 ( обсуждение ) 23:38, 5 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

  Спасибо за то, что вы показали, насколько мало смысла в разделении, да еще и в цвете. Желтый включает обсуждение обоих соглашений. Следовательно, оба соглашения должны быть на одной странице, как это уже сделано. Длинная красная полоса также указывает на то, что большую часть раздела «Свойства» придется дублировать между страницами «положительное целое число» и «неотрицательное целое число». Вы выступаете за разделение без оснований. XOR'easter ( обсуждение ) 23:56, 5 июня 2024 (UTC) [ ответ ]

  Вот, вы сказали, что не прошло и 24 часов . Да, прошло. Вы внесли свое предложение о разделении в 05:23 утра 4-го числа (UTC). Спустя день после этого предложение уже набрало 5 голосов «против» в этом разделе и еще два голоса «против» чуть выше. XOR'easter ( обсуждение ) 00:24, 6 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

• Выступаю против по причинам, уже подробно изложенным выше. Walsh90210 ( обсуждение ) 00:30, 6 июня 2024 (UTC) [ ответить ]
• Авторы Oppose Book выбирают одну или другую конвенцию, но у них нет двух глав для натуральных и «более натуральных» чисел — почему? потому что это одна и та же концепция. У нас фактически была бы POV WP:CFORK с двумя статьями, повторяющими все одно и то же двумя немного разными способами. Это было бы запутанно для наших читателей и слишком запутанно для синхронизации и поддержки. Ponor ( talk ) 03:36, 6 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Обсуждение выше закрыто. Пожалуйста, не изменяйте его. Последующие комментарии должны быть сделаны на соответствующей странице обсуждения. Дальнейшие правки в это обсуждение не должны вноситься.

Разве не следует уделить больше внимания в этой статье использованию натуральных чисел?

Мне кажется, было бы полезно иметь раздел или разделы, в которых обсуждались бы способы использования натуральных чисел, а не только описывались бы их свойства.

Вероятно, нам следует обсудить, как натуральные числа используются в качестве основы для подсчета, сортировки, сравнения размеров конечных наборов и т. д. Есть ли какие-то особенно важные результаты, которые достаточно доступны и которые могли бы дать читателям представление о том, для чего нужны натуральные числа и о чем они? Мы могли бы, например, поговорить о размерности геометрического пространства, порядке группы, ранге матрицы, ... Мы могли бы кратко обсудить мощность натуральных чисел и то, как она соотносится с мощностями других множеств (в частности, рациональные числа являются перечислимыми, но не действительные числа).

Помимо натуральных чисел как таковых, их также можно использовать в качестве «строительного блока» для построения других видов чисел: например, целые числа можно определить как классы эквивалентности пар натуральных чисел, где две пары считаются эквивалентными, если пары находятся на одинаковом расстоянии друг от друга; рациональные числа можно определить как классы эквивалентности пар, построенных из целого числителя и положительного целого знаменателя; целые числа по модулю n можно считать классами эквивалентности натуральных чисел (или целых чисел), где числа, отстоящие друг от друга на n, считаются эквивалентными; целые числа Эйзенштейна можно определить как классы эквивалентности троек натуральных чисел, где тройки считаются эквивалентными, если добавление одного и того же числа к каждому элементу в одной тройке дает другую тройку. И т. д. и т. п.

– jacobolus  (t) 02:40, 6 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Конечно: добавьте все, что у вас есть в источниках для натуральных чисел. (но не углубляйтесь слишком глубоко - в этой статье) Ponor ( обсуждение ) 03:42, 6 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Статья, похоже, смешивает два разных понятия

Я не думаю, что имеет смысл обсуждать в одной статье как неотрицательные целые числа, так и положительные целые числа, когда целые числа получают свою собственную статью. Разница может заключаться только в одном элементе (а именно, в нуле) — но этот единственный член имеет большое значение, например, при обсуждении факторизации, поскольку, хотя это и аддитивное тождество, это также мультипликативный аннигилятор. Вы не хотите определять область определения функции и путать эти два.

Кроме того, в этой статье и в статье «Целое число» предполагается, что «целое число» и «натуральное число» являются синонимами, но существует множество литературы, в которой используются оба термина; в этих случаях они имеют различные определения, обычно «натуральное число», за исключением нуля.

Учитывая этот факт, Википедия не является словарем, предполагает, что когда можно выделить несколько отдельных понятий, они должны получить свою собственную статью. Единственным исключением является случай, когда статья «обсуждает этимологию, переводы, использование, склонения, несколько отдельных значений, синонимы, антонимы, омофоны, написание, произношение и т. д. слова или идиоматической фразы», ​​что явно не относится к данному случаю. Тот факт, что неспециалист иногда использует термины взаимозаменяемо, а не в значении, выделенном статьями, не является оправданием.

Эта статья не является обсуждением слова или термина, это обсуждение конкретной математической концепции. Тот факт, что исторически неотрицательные целые числа (или целые числа, или положительные целые числа) иногда назывались «целыми числами» и/или «натуральными числами», является фактом, который следует перечислить в соответствующей статье, каким бы ни было ее название; это не является оправданием для объединения двух концепций в одной статье.

Я вижу два очевидных исправления: либо все три концепции должны совместно использовать Integer , который будет обсуждать связанные подмножества и то, как это влияет на их математические свойства; либо соответствующие части этой статьи должны быть перемещены в Whole number . В качестве альтернативы можно добавить соответствующие источники, чтобы показать, почему эти два множества на самом деле являются одним и тем же математическим понятием, заслуживающим одной статьи. Awwright ( talk ) 05:37, 17 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

<усталый вздох>

Смотрите, конечно, эти два множества не являются буквально одним и тем же. Дело не в этом. Дело в том, что мы мало что хотим сказать о натуральных числах, которые зависят от того, включен ли в них ноль.

Что касается «целого числа», то этот термин нечасто используется в исследовательской математике. -- Trovatore ( обс .) 05:57, 17 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Я уже упоминал об этом выше, на самом деле можно сказать довольно много. То, что вы называете «очень мало», — это больше, чем большинство статей, например, я просто нажал на случайную страницу и получил Usina do Gasômetro , это 3 абзаца. Там определенно по 3 абзаца информации о положительных и неотрицательных целых числах. И определенно есть масса надежных источников, поэтому они оба примечательны. Для меня очевидно, что это должны быть отдельные статьи. Но, по-видимому, 8 человек не согласны. 8 против 2 сейчас, возможно, пришло время для еще одного предложения о разделении. 😄 Mathnerd314159 ( обсуждение ) 06:30, 17 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

«Можно сказать» — это не то же самое, что «хочу сказать». Конечно, есть много потенциального материала, который можно было бы сказать об ошибках, связанных с отклонением на единицу, но это не очень уместно в статье о натуральных числах.

По сути, никто не изучает «натуральные числа с нулем» и «натуральные числа без нуля» как отдельные объекты изучения. Конечно, иногда вы найдете кого-то, у кого есть символы для обоих из них, но это не одно и то же. Натуральные числа — это невероятно богатая математическая структура, изучение которой было главной заботой всей профессиональной жизни многих и многих блестящих людей. Никто из этих людей ^[a] не делит это изучение на структуру с нулем или без него. Они выбирают одну для определенности, но признают, что все, что они говорят, будет переведено с небольшими изменениями в другую конвенцию. -- Trovatore ( talk ) 01:33, 18 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Ситуация здесь немного похожа на то, что вы описываете с офф-на-один, большая часть статьи посвящена неотрицательным целым числам, а затем есть кое-что о положительных целых числах, неестественно перемешанных. Это правда, что никто не изучает «натуральные числа с нулем» и «натуральные числа без нуля», но это потому, что это неестественные термины. Есть много учебников, которые определяют положительные целые числа и неотрицательные целые числа как отдельные объекты изучения и используют их точно.

Я не согласен, что натуральные числа являются математической структурой. Математическая структура имеет одно определение, но натуральные числа имеют два — ни одно множество не содержит и не содержит 0. И я бы сказал, что выбор определения в каждой статье разделяет литературу. Как только вы выходите за рамки основных аксиом Пеано, ничто не переводится без серьезных изменений или добавления уродливых условий, таких как «≠0» — например, возведение в степень положительных целых чисел четко определено, но 0^0 — нет. Если бы это действительно было полностью эквивалентно, не было бы дебатов, была бы теорема. Mathnerd314159 ( обсуждение ) 04:40, 18 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Ладно, вы снова скатываетесь до придирок, из-за которых мне трудно поверить, что вы воспринимаете это всерьёз. -- Trovatore ( обс. ) 05:18, 18 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Mathnerd, ты тратишь здесь свое время. Ты уже до тошноты повторяешь одни и те же несколько пунктов, при этом добавляя мешанину из нерелевантных сравнений яблок с апельсинами, нелогичных выводов и соломенных чучел, но это никого не убеждает. Если 8 человек, пытающихся объяснить, почему это кажется плохой идеей, оказалось слишком мало для тебя, чтобы понять суть, ты можешь обратиться к WT:WPM , где ты, вероятно, сможешь найти еще около 10 википедистов, которые выскажут свое несогласие с тобой. Или ты можешь перенести свое обсуждение в Twitter или куда-то еще. Хотя это ни к чему не приведет. – jacobolus  (t) 07:06, 18 июня 2024 (UTC) [ ответить ]

Тот факт, что некоторые вещи зависят от выбора соглашения, не означает, что существуют две отдельные концепции или что разделение объяснения на две страницы поможет кому-либо в обучении. XOR'easter ( обсуждение ) 16:56, 18 июня 2024 (UTC) [ ответ ]

1. Такого рода категоричные заявления всегда рискованны; я полагаю, что можно найти человека , который и проделал хорошую работу, и утверждает, что делает важные выводы, но такой человек будет, по крайней мере, исключением.