Тангенциальный угол

Касательный угол φ для произвольной кривой A в P .

В геометрии касательный угол кривой в декартовой плоскости в определенной точке — это угол между касательной линией к кривой в данной точке и осью x . ^[1] (Некоторые авторы определяют угол как отклонение от направления кривой в некоторой фиксированной начальной точке. Это эквивалентно определению, данному здесь, путем добавления константы к углу или поворота кривой. ^[2] )

Уравнения

Если кривая задана параметрически ( x ( t ) , y ( t )) , то касательный угол φ в точке t определяется (вплоть до кратного 2π ) по ^[3]

${\displaystyle {\frac {{\big (}x'(t),\ y'(t){\big )}}{{\big |}x'(t),\ y'(t){\big |}}}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).}$

Здесь штрих обозначает производную по t . Таким образом, тангенциальный угол задает направление вектора скорости ( x ( t ), y ( t )) , а скорость задает его величину. Вектор

${\displaystyle {\frac {{\big (}x'(t),\ y'(t){\big )}}{{\big |}x'(t),\ y'(t){\big |}}}}$

называется единичным касательным вектором , поэтому эквивалентное определение состоит в том, что касательный угол в точке t — это угол φ, такой что (cos φ , sin φ ) — единичный касательный вектор в точке t .

Если кривая параметризована длиной дуги s , то | Икс ′( s ), y ′( s ) | = 1 , то определение упрощается до

${\displaystyle {\big (}x'(s),\ y'(s){\big )}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).}$

В этом случае кривизна κ определяется как φ ′( s ) , где κ считается положительным, если кривая изгибается влево, и отрицательным, если кривая изгибается вправо. ^[1] И наоборот, касательный угол в данной точке равен определенному интегралу кривизны до этой точки: ^{[4] [1]}

${\displaystyle \varphi (s)=\int _{0}^{s}\kappa (s)ds+\varphi _{0}}$

${\displaystyle \varphi (t)=\int _{0}^{t}\kappa (t)s'(t)dt+\varphi _{0}}$

Если кривая представлена ​​графиком функции y = f ( x ) , то мы можем взять ( x , f ( x )) в качестве параметризации и можем предположить, что φ находится между − ⁠π/2⁠ и ⁠π/2⁠ . Это дает явное выражение

${\displaystyle \varphi =\arctan f'(x).}$

Полярный тангенциальный угол[5]

В полярных координатах полярный тангенциальный угол определяется как угол между касательной к кривой в данной точке и лучом от начала координат до точки. ^[6] Если ψ обозначает полярный тангенциальный угол, то ψ = φ − θ , где φ такой же, как указано выше, а θ — это, как обычно, полярный угол.

Если кривая определяется в полярных координатах как r = f ( θ ) , то полярный касательный угол ψ в точке θ определяется (до кратного 2π ) выражением

${\displaystyle {\frac {{\big (}f'(\theta ),\ f(\theta ){\big )}}{{\big |}f'(\theta ),\ f(\theta ){\big |}}}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )}$.

Если кривая параметризована длиной дуги s как r = r ( s ) , θ = θ ( s ) , поэтому | ( р ′( s ), rθ ′ ( s )) | = 1 , то определение становится

${\displaystyle {\big (}r'(s),\ r\theta '(s){\big )}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )}$.

Логарифмическую спираль можно определить как кривую, полярный касательный угол которой постоянен. ^{[5] [6]}

Смотрите также

• Дифференциальная геометрия кривых
• Уравнение Уэвелла
• Подкасательная

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Естественное уравнение». Математический мир .
2. Например: Уэвелл, В. (1849). «О внутреннем уравнении кривой и его применении». Кембриджские философские труды . 8 : 659–671.В этой статье φ используется для обозначения угла между касательной и касательной в начале координат. В этой статье представлено уравнение Уэвелла — приложение тангенциального угла.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Касательный угол». Математический мир .
4. Суражский, Татьяна; Суражский, Виталий (2004). Выборка плоских кривых с использованием анализа формы на основе кривизны . Математические методы для кривых и поверхностей. Тромсё. CiteSeerX 10.1.1.125.2191 . ISBN  978-0-9728482-4-4.
5. Уильямсон, Бенджамин (1899). «Угол между касательной и вектором радиуса». Элементарный трактат по дифференциальному исчислению (9-е изд.). п. 222.
6. Логарифмическая спираль в PlanetMath .

дальнейшее чтение

• «Нотации». Энциклопедия математических форм Remarquables (на французском языке).
• Йейтс, RC (1952). Справочник по кривым и их свойствам . Анн-Арбор, Мичиган: Дж. В. Эдвардс. стр. 123–126.