Температурная зависимость вязкости

Вязкость сильно зависит от температуры. В жидкостях она обычно уменьшается с ростом температуры, тогда как в большинстве газов вязкость увеличивается с ростом температуры. В этой статье рассматриваются несколько моделей этой зависимости, начиная от строгих расчетов из первых принципов для одноатомных газов и заканчивая эмпирическими корреляциями для жидкостей.

Понимание температурной зависимости вязкости важно для многих приложений, например, для инженерных смазочных материалов , которые хорошо работают в условиях изменяющихся температур (например, в автомобильном двигателе), поскольку эксплуатационные характеристики смазочного материала частично зависят от его вязкости. Инженерные проблемы такого типа относятся к сфере трибологии .

Здесь динамическая вязкость обозначается как , а кинематическая вязкость как . Приведенные формулы справедливы только для абсолютной шкалы температур ; поэтому, если не указано иное, температуры указаны в градусах Кельвина . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

Физические причины

Вязкость в газах возникает из-за того, что молекулы пересекают слои потока и передают импульс между слоями. Эту передачу импульса можно рассматривать как силу трения между слоями потока. Поскольку передача импульса вызвана свободным движением молекул газа между столкновениями, увеличение теплового движения молекул приводит к большей вязкости. Следовательно, газовая вязкость увеличивается с температурой.

В жидкостях вязкие силы вызваны молекулами, оказывающими силы притяжения друг на друга через слои потока. Повышение температуры приводит к снижению вязкости, поскольку большая температура означает, что частицы имеют большую тепловую энергию и им легче преодолевать силы притяжения, связывающие их вместе. Повседневным примером такого снижения вязкости является растительное масло, которое движется более текуче на горячей сковороде, чем на холодной.

Газы

Кинетическая теория газов позволяет точно рассчитать температурное изменение вязкости газа. Теоретическая основа кинетической теории дана уравнением Больцмана и теорией Чепмена-Энскога , которые позволяют точное статистическое моделирование молекулярных траекторий. В частности, имея модель межмолекулярных взаимодействий, можно с высокой точностью рассчитать вязкость одноатомных и других простых газов (для более сложных газов, таких как те, которые состоят из полярных молекул , необходимо ввести дополнительные предположения, которые снижают точность теории). ^[1]

Ниже обсуждаются прогнозы вязкости для четырех молекулярных моделей. Прогнозы первых трех моделей (жесткой сферы, степенного закона и модели Сазерленда) можно просто выразить в терминах элементарных функций. Модель Леннарда–Джонса предсказывает более сложную -зависимость, но она точнее трех других моделей и широко используется в инженерной практике. ${\displaystyle T}$

Кинетическая теория твердых сфер

Если моделировать молекулы газа как упругие твердые сферы (с массой и диаметром ), то элементарная кинетическая теория предсказывает, что вязкость увеличивается с квадратным корнем абсолютной температуры : ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \mu =1.016\cdot {\frac {5}{16\sigma ^{2}}}\left({\frac {k_{\rm {B}}mT}{\pi }}\right)^{1/2}}$

где — постоянная Больцмана . Хотя верно предсказывается увеличение вязкости газа с температурой, тенденция не точна; вязкость реальных газов увеличивается быстрее, чем эта. Для определения фактической зависимости требуются более реалистичные модели молекулярных взаимодействий, в частности, включение притягивающих взаимодействий, которые присутствуют во всех реальных газах. ^[2] ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle T^{1/2}}$ ${\displaystyle T}$

Сила степенного закона

Скромным улучшением по сравнению с моделью твердых сфер является отталкивающая обратная степенная сила, где сила между двумя молекулами, разделенными расстоянием, пропорциональна , где — эмпирический параметр. ^[3] Это не реалистичная модель для реальных газов (за исключением, возможно, высокой температуры), но она дает простую иллюстрацию того, как изменение межмолекулярных взаимодействий влияет на прогнозируемую температурную зависимость вязкости. В этом случае кинетическая теория предсказывает увеличение температуры как , где . Точнее, если — известная вязкость при температуре , то ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1/r^{\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle T^{s}}$ ${\displaystyle s=(1/2)+2/(\nu -1)}$ ${\displaystyle \mu '}$ ${\displaystyle T'}$

${\displaystyle \mu =\mu '(T/T')^{s}}$

Принимая восстанавливает результат для твердой сферы, . Для конечного , соответствующего более мягкому отталкиванию, больше , что приводит к более быстрому увеличению вязкости по сравнению с моделью твердой сферы. Подгонка к экспериментальным данным для водорода и гелия дает предсказания для и , показанные в таблице. Модель умеренно точна для этих двух газов, но неточна для других газов. ${\displaystyle \nu \rightarrow \infty }$ ${\displaystyle s=1/2}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \nu }$

модель Сазерленда

Другая простая модель для вязкости газа — это модель Сазерленда, которая добавляет слабое межмолекулярное притяжение к модели твердых сфер. ^[4] Если притяжение мало, его можно рассматривать пертурбативно , что приводит к

${\displaystyle \mu ={\frac {5}{16\sigma ^{2}}}\left({\frac {k_{\text{B}}mT}{\pi }}\right)^{1/2}\cdot \left(1+{\frac {S}{T}}\right)^{-1}}$

где , называемая константой Сазерленда, может быть выражена через параметры межмолекулярной силы притяжения. Эквивалентно, если - известная вязкость при температуре , то ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mu '}$ ${\displaystyle T'}$

${\displaystyle \mu =\mu '\left({\frac {T}{T'}}\right)^{3/2}{\frac {T'+S}{T+S}}}$

Значения , полученные в результате подгонки под экспериментальные данные, показаны в таблице ниже для нескольких газов. Модель умеренно точна для ряда газов ( азот , кислород , аргон , воздух и другие), но неточна для других газов, таких как водород и гелий . В целом утверждается, что модель Сазерленда на самом деле является плохой моделью межмолекулярных взаимодействий и полезна только как простая интерполяционная формула для ограниченного набора газов в ограниченном диапазоне температур. ${\displaystyle S}$

Леннард-Джонс

При достаточно общих условиях молекулярной модели предсказание кинетической теории можно записать в виде ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu ={\frac {5}{16\pi ^{1/2}}}{\frac {(mk_{\text{B}}T)^{1/2}}{\sigma ^{2}\Omega (T)}}}$

где называется интегралом столкновений и является функцией температуры, а также параметров межмолекулярного взаимодействия. ^[5] Он полностью определяется кинетической теорией, выражаясь через интегралы по траекториям столкновений пар молекул. В общем случае является сложной функцией как температуры, так и молекулярных параметров; степенная модель и модель Сазерленда необычны тем, что могут быть выражены через элементарные функции. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Модель Леннарда-Джонса предполагает межмолекулярный парный потенциал в виде

${\displaystyle V(r)=4\epsilon \left[\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{12}-\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{6}\right]}$

где и являются параметрами, а - расстояние, разделяющее центры масс молекул. Таким образом, модель разработана для сферически симметричных молекул. Тем не менее, она часто используется для несферически симметричных молекул, при условии, что они не обладают большим дипольным моментом . ^{[5] [6]} ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle r}$

Интеграл столкновений для модели Леннарда-Джонса не может быть выражен точно в терминах элементарных функций. Тем не менее, его можно рассчитать численно, и согласие с экспериментом хорошее — не только для сферически симметричных молекул, таких как благородные газы , но и для многих многоатомных газов. ^[6] Также была предложена приближенная форма : ^[7] ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega (T)=1.16145\left(T^{*}\right)^{-0.14874}+0.52487e^{-0.77320T^{*}}+2.16178e^{-2.43787T^{*}}}$

где . Это уравнение имеет среднее отклонение всего 0,064 процента от диапазона . ${\displaystyle T^{*}\equiv k_{\text{B}}T/\epsilon }$ ${\displaystyle 0.3<T^{*}<100}$

Значения и оценки по экспериментальным данным для нескольких распространенных газов приведены в таблице ниже. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \epsilon }$

Жидкости

В отличие от газов, для вязкости жидкости не существует систематической микроскопической теории. ^[9] Однако существует несколько эмпирических моделей, которые экстраполируют температурную зависимость на основе имеющихся экспериментальных вязкостей.

Двухпараметрическая экспоненциальная

Простая и широко распространенная эмпирическая корреляция для вязкости жидкости представляет собой двухпараметрическую экспоненциальную зависимость:

${\displaystyle \mu =Ae^{B/T}}$

Это уравнение было впервые предложено в 1913 году и широко известно как уравнение Андраде (названное в честь британского физика Эдварда Андраде ). Оно точно описывает многие жидкости в диапазоне температур. Его форма может быть мотивирована моделированием переноса импульса на молекулярном уровне как активированного процесса скорости, ^[10] хотя физические предположения, лежащие в основе таких моделей, были поставлены под сомнение. ^[11]

В таблице ниже приведены оценочные значения и для представительных жидкостей. Подробные таблицы этих параметров для сотен жидкостей можно найти в литературе. ^[12] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Трех- и четырехпараметрические экспоненты

Также можно найти табличные экспоненты с дополнительными параметрами, например

${\displaystyle \mu =A\exp {\left({\frac {B}{T-C}}\right)}}$

и

${\displaystyle \mu =A\exp {\left({\frac {B}{T}}+CT+DT^{2}\right)}}$

Репрезентативные значения приведены в таблицах ниже.

Модели кинематической вязкости

Влияние температуры на кинематическую вязкость также описывается рядом эмпирических уравнений. ^[15] ${\displaystyle \nu }$

Формула Вальтера обычно записывается в виде

${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(\nu +\lambda ))=A-B\,\log _{10}T}$

где — константа сдвига, а и — эмпирические параметры. В спецификациях смазочных материалов обычно указываются только две температуры, в этом случае обычно принимается стандартное значение = 0,7. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \lambda }$

Модель Райта имеет вид

${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(\nu +\lambda +f(\nu )))=A-B\,\log _{10}T}$

где к формуле Вальтера была добавлена ​​дополнительная функция , часто представляющая собой полином, подогнанным под экспериментальные данные. ${\displaystyle f(v)}$

Модель Ситона основана на построении кривой зависимости вязкости многих жидкостей ( хладагентов , углеводородов и смазочных материалов) от температуры и применима в широком диапазоне температур и вязкости:

${\displaystyle \ln \left({\ln \left({\nu +0.7+e^{-\nu }K_{0}\left({\nu +1.244067}\right)}\right)}\right)=A-B\ln T}$

где — абсолютная температура в градусах Кельвина, — кинематическая вязкость в сантистоксах , — модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка , а и — эмпирические параметры, специфичные для каждой жидкости. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Для вязкости жидкого металла как функции температуры Ситон предложил:

${\displaystyle \ln \left({\ln \left({\nu +0.7+e^{-\nu }K_{0}\left({\nu +1.244067}\right)}\right)}\right)=A-{B \over T}}$

Смотрите также

• Индекс вязкости
• Трибология
• Явления переноса
• Молекулярное моделирование
• Межмолекулярная сила
• Силовое поле (химия)
• Метод Джобака

Примечания

1. Чепмен и Коулинг (1970)
2. Чепмен и Коулинг (1970), стр. 97–98, 226–230.
3. Chapman & Cowling (1970), стр. 230–232
4. Chapman & Cowling (1970), стр. 232–234
5. Reid, Prausnitz, & Poling (1987), стр. 391–392
6. Bird, Stewart, & Lightfoot (2007), стр. 26–27
7. Нойфельд, Янсен и Азиз (1972)
8. Берд, Стюарт и Лайтфут (2007), стр. 864–865.
9. Рид, Праусниц и Полинг (1987), стр. 433
10. Берд, Стюарт и Лайтфут (2007), стр. 29–31.
11. Хильдебранд (1977)
12. См. Viswanath & Natarajan (1989); Viswanath et al (2007); Reid, Prausnitz, & Poling (1987); и ссылки в них.
13. Reid, Prausnitz, & Poling (1987)
14. Вишванатх и Натараджан (1989)
15. Ситон (2006)

Ссылки

• Берд, Р. Байрон; Стюарт, Уоррен Э.; Лайтфут, Эдвин Н. (2007), Явления переноса (2-е изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-470-11539-8.
• Чепмен, Сидней; Коулинг, TG (1970), Математическая теория неоднородных газов (3-е изд.), Cambridge University Press
• Хильдебранд, Джоэл Генри (1977), Вязкость и диффузионная способность: прогностическое лечение , John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-03072-0
• Neufeld, Philip D.; Janzen, AR; Aziz, RA (1972). "Эмпирические уравнения для вычисления 16 транспортных интегралов столкновений Ω(l, s)* для потенциала Леннарда-Джонса (12–6)". Журнал химической физики . 57 (3): 1100–1102. Bibcode : 1972JChPh..57.1100N. doi : 10.1063/1.1678363. ISSN  0021-9606.
• Рид, Роберт К.; Праусниц, Джон М.; Полинг, Брюс Э. (1987), Свойства газов и жидкостей , McGraw-Hill Book Company, ISBN 0-07-051799-1
• Ситон, Кристофер Дж. (2006), «Корреляция вязкости и температуры для жидкостей», Tribology Letters , 22 : 67–78, doi :10.1007/s11249-006-9071-2, S2CID  97897211
• Вишванат, Д.С.; Натараджан, Г. (1989). Справочник по вязкости жидкостей . Hemisphere Publishing Corporation. ISBN 0-89116-778-1.