Конечная скорость — это максимальная скорость (скорость), которую достигает объект при падении через жидкость ( наиболее распространенный пример — воздух ). Это происходит, когда сумма силы сопротивления ( F d ) и плавучести равна нисходящей силе тяжести ( F G ), действующей на объект. Поскольку результирующая сила, действующая на объект, равна нулю, объект имеет нулевое ускорение . [1] Для объектов, падающих в обычном воздухе, выталкивающая сила обычно не учитывается и не принимается во внимание, поскольку ее влияние незначительно. [ нужна цитата ]
В гидродинамике объект движется со своей конечной скоростью, если его скорость постоянна из-за сдерживающей силы, оказываемой жидкостью, через которую он движется. [2]
По мере увеличения скорости объекта увеличивается и действующая на него сила сопротивления, которая также зависит от вещества, через которое он проходит (например, воздуха или воды). На некоторой скорости сопротивление или сила сопротивления будет равна гравитационному притяжению объекта. В этот момент объект перестает ускоряться и продолжает падать с постоянной скоростью, называемой конечной скоростью (также называемой скоростью стабилизации ). Объект, движущийся вниз со скоростью, превышающей предельную скорость (например, из-за того, что его бросили вниз, он упал из более тонкой части атмосферы или изменил форму), будет замедляться до тех пор, пока не достигнет конечной скорости. Перетаскивание зависит от проецируемой области , которая здесь представлена поперечным сечением или силуэтом объекта в горизонтальной плоскости. Объект с большой проекционной площадью относительно его массы, например парашют, имеет более низкую конечную скорость, чем объект с небольшой проекционной площадью относительно его массы, например дротик. В общем, для одной и той же формы и материала конечная скорость объекта увеличивается с размером. Это связано с тем, что направленная вниз сила (вес) пропорциональна кубу линейного размера, а сопротивление воздуха примерно пропорционально площади поперечного сечения, которая увеличивается только пропорционально квадрату линейного размера. Для очень маленьких объектов, таких как пыль и туман, конечная скорость легко преодолевается конвекционными потоками, которые могут вообще помешать им достичь земли, и, следовательно, они могут оставаться в воздухе в течение неопределенного времени. Примерами являются загрязнение воздуха и туман.
Например, исходя из сопротивления воздуха, конечная скорость парашютиста в положении свободного падения животом к земле (т. е. лицом вниз) составляет около 55 м/с (180 футов/с). [3] Эта скорость является асимптотическим предельным значением скорости, и силы, действующие на тело, все более и более уравновешивают друг друга по мере приближения к конечной скорости. В этом примере скорость в 50 % от скорости терминала достигается всего примерно за 3 секунды, тогда как для достижения 90 % требуется 8 секунд, для достижения 99 % — 15 секунд и так далее.
Более высоких скоростей можно достичь, если парашютист подтянет конечности (см. Также свободный полет ). В этом случае конечная скорость увеличивается примерно до 90 м/с (300 футов/с), [3] что почти соответствует конечной скорости сапсана, пикирующего на свою добычу. [4] Согласно исследованию артиллерийского вооружения армии США 1920 года, такая же конечная скорость достигается для типичной пули .30-06, падающей вниз — когда она возвращается на землю после выстрела вверх или сбрасывается с башни. [5]
Парашютисты, участвующие в соревнованиях по скорости , летают с опущенной головой и могут достигать скорости 150 м/с (490 футов/с). [ нужна цитата ] Текущий рекорд принадлежит Феликсу Баумгартнеру , который прыгнул с высоты 38 887 м (127 582 фута) и достиг скорости 380 м/с (1200 фут/с), хотя он достиг этой скорости на большой высоте, где плотность воздух находится намного ниже, чем на поверхности Земли, что создает соответственно меньшую силу сопротивления. [6]
Биолог Дж.Б.С. Холдейн писал:
Для мыши и любого более мелкого животного [гравитация] практически не представляет опасности. Вы можете бросить мышь в шахту длиной в тысячу ярдов; и, достигнув дна, он испытывает легкий шок и уходит. Крыса убита, человек сломан, лошадь забрызгана. Ибо сопротивление, оказываемое движению воздуха, пропорционально поверхности движущегося объекта. Разделите длину, ширину и высоту животного на десять; вес его уменьшен на тысячную долю, а поверхность лишь на сотую. Таким образом, сопротивление падению маленького животного относительно в десять раз превышает движущую силу. [7]
Используя математические термины, конечная скорость - без учета эффектов плавучести - определяется выражением
В действительности объект приближается к своей конечной скорости асимптотически .
Эффекты плавучести, возникающие из-за направленной вверх силы на объект со стороны окружающей жидкости, можно учесть, используя принцип Архимеда : масса должна уменьшаться на массу вытесненной жидкости вместе с объемом объекта. Поэтому вместо использования приведенной массы в этой и последующих формулах.
Конечная скорость объекта изменяется в зависимости от свойств жидкости, массы объекта и площади его проекционной поверхности поперечного сечения .
Плотность воздуха увеличивается с уменьшением высоты примерно на 1% на 80 метров (260 футов) (см. барометрическую формулу ). Для объектов, падающих в атмосфере, на каждые 160 метров (520 футов) падения конечная скорость уменьшается на 1%. После достижения локальной конечной скорости, продолжая падение, скорость уменьшается и изменяется вместе с локальной конечной скоростью.
Используя математические термины, определяя положительную величину, результирующая сила, действующая на объект, падающий вблизи поверхности Земли, равна (согласно уравнению сопротивления ):
где v ( t ) скорость объекта как функция времени t .
В состоянии равновесия результирующая сила равна нулю ( F net = 0) [9] и скорость становится конечной скоростью lim t →∞ v ( t ) = V t :
Решение для V t дает:
Уравнение сопротивления, предполагая, что ρ , g и Cd являются постоянными, имеет следующий вид:
Хотя это уравнение Риккати , которое можно решить путем сведения к линейному дифференциальному уравнению второго порядка, в нем легче разделить переменные .
Более практичную форму этого уравнения можно получить, сделав замену α 2 =ρAC д/2 мг.
Разделив обе части на m , получим
Уравнение можно переписать в
Взяв интеграл от обеих частей, получим
После интеграции это становится
или в более простой форме
Альтернативно,
Использование формулы для конечной скорости
Поскольку время стремится к бесконечности ( t → ∞), гиперболический тангенс стремится к 1, что приводит к конечной скорости.
При очень медленном движении жидкости силы инерции жидкости незначительны (допущение безмассовой жидкости) по сравнению с другими силами. Такие течения называются ползучими или потоками Стокса , а условием, при котором эти течения являются ползучими, является число Рейнольдса , . Уравнение движения ползущего потока (упрощенное уравнение Навье – Стокса ) имеет вид:
где:
Аналитическое решение для ползущего потока вокруг сферы было впервые дано Стоксом в 1851 году. [10] Из решения Стокса сила сопротивления, действующая на сферу диаметром, может быть получена как
где число Рейнольдса, . Выражение для силы сопротивления, заданное уравнением ( 6 ), называется законом Стокса .
Подставив значение в уравнение ( 5 ), получим выражение для конечной скорости сферического объекта, движущегося в условиях ползущего потока: [11]
Результаты ползучего течения могут быть применены для изучения оседания осадков у дна океана и падения капель влаги в атмосфере. Этот принцип также применяется в вискозиметре с падающей сферой — экспериментальном устройстве, используемом для измерения вязкости высоковязких жидкостей, например нефти, парафина, дегтя и т. д.
Если принять во внимание эффекты плавучести, объект, падающий в жидкости под собственным весом, может достичь конечной скорости (скорости стабилизации), если результирующая сила, действующая на объект, становится равной нулю. Когда достигается конечная скорость, вес объекта точно уравновешивается восходящей силой плавучести и силой сопротивления. То есть
где
Если падающий объект имеет сферическую форму, выражения для трех сил приведены ниже:
где
Подставив уравнения ( 2 – 4 ) в уравнение ( 1 ) и найдя конечную скорость, получим следующее выражение
В уравнении ( 1 ) предполагается, что объект плотнее жидкости. В противном случае знак силы сопротивления следует сделать отрицательным, поскольку объект будет двигаться вверх против силы тяжести. Примерами могут служить пузырьки, образующиеся на дне бокала для шампанского, и гелиевые шары. Конечная скорость в таких случаях будет иметь отрицательное значение, соответствующее скорости подъема вверх.