Постоянная времени

Константа в физике и технике

В физике и технике постоянная времени , обычно обозначаемая греческой буквой τ (тау), является параметром, характеризующим реакцию на ступенчатый входной сигнал линейной стационарной ( LTI) системы первого порядка. ^{[1] [примечание 1]} Постоянная времени является основной характерной единицей LTI системы первого порядка. Она определяет скорость реакции.

Во временной области обычным выбором для исследования временного отклика является переходный отклик на ступенчатый входной сигнал или импульсный отклик на входную дельта-функцию Дирака . ^[2] В частотной области (например, рассматривая преобразование Фурье переходного отклика или используя входной сигнал, который является простой синусоидальной функцией времени) постоянная времени также определяет полосу пропускания системы первого порядка, инвариантной во времени, то есть частоту, на которой мощность выходного сигнала падает до половины значения, которое она имеет на низких частотах.

Постоянная времени также используется для характеристики частотной характеристики различных систем обработки сигналов — магнитных лент , радиопередатчиков и приемников , оборудования для резки и воспроизведения записей, а также цифровых фильтров — которые могут быть смоделированы или аппроксимированы системами LTI первого порядка. Другие примеры включают постоянную времени, используемую в системах управления для интегральных и производных контроллеров действия, которые часто являются пневматическими , а не электрическими.

Постоянные времени являются особенностью анализа сосредоточенных систем (метод анализа сосредоточенной емкости) для тепловых систем, используемых, когда объекты охлаждаются или нагреваются равномерно под воздействием конвективного охлаждения или нагревания. ^[3]

Физически постоянная времени представляет собой прошедшее время, необходимое для того, чтобы реакция системы распалась до нуля, если бы система продолжала распадаться с начальной скоростью, из-за постепенного изменения скорости распада отклик фактически уменьшился бы в значении до 1 /  e ≈ 36,8% за это время (например, от ступенчатого уменьшения). В увеличивающейся системе постоянная времени представляет собой время, за которое реакция системы на скачок достигает 1 − 1 /  e ≈ 63,2% от ее конечного (асимптотического) значения (например, от ступенчатого увеличения). При радиоактивном распаде постоянная времени связана с постоянной распада ( λ ) и представляет собой как среднее время жизни распадающейся системы (например, атома) до ее распада, так и время, которое требуется для распада всех, кроме 36,8% атомов. По этой причине постоянная времени больше, чем период полураспада , который является временем распада только 50% атомов.

Дифференциальное уравнение

Системы LTI первого порядка характеризуются дифференциальным уравнением $${\displaystyle \tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)}$$

где τ представляет собой константу экспоненциального затухания , а V является функцией времени t. Правая часть — это функция принуждения f ( t ), описывающая внешнюю движущую функцию времени, которую можно рассматривать как вход системы , на который V ( t ) является ответом или выходом системы. Классическими примерами для f ( t ) являются: $${\displaystyle V=V(t).}$$

Ступенчатая функция Хевисайда , часто обозначаемая как u ( t ) : импульсная функция , часто обозначаемая как δ ( t ) , а также синусоидальная входная функция: или где A — амплитуда вынуждающей функции, f — частота в герцах, а ω = 2 π f — частота в радианах в секунду. $${\displaystyle u(t)={\begin{cases}0,&t<0\\1,&t\geq 0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle f(t)=A\sin(2\pi ft)}$$ $${\displaystyle f(t)=Ae^{j\omega t},}$$

Пример решения

Пример решения дифференциального уравнения с начальным значением V ₀ и без вынуждающей функции: $${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }}$$

где $${\displaystyle V_{0}=V(t=0)}$$

— начальное значение V. Таким образом, отклик представляет собой экспоненциальный спад с постоянной времени τ .

Обсуждение

Предполагать $${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }.}$$

Такое поведение называется «затухающей» экспоненциальной функцией. Время τ (тау) называется «постоянной времени» и может использоваться (как в этом случае) для указания того, насколько быстро затухает экспоненциальная функция.

Здесь:

• t — время (обычно t > 0 в технике управления)
• V ₀ — начальное значение (см. «конкретные случаи» ниже).

Конкретные случаи

1. Пусть ; тогда , и так ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle V=V_{0}e^{0}}$ ${\displaystyle V=V_{0}}$
2. Пусть ; тогда ${\displaystyle t=\tau }$ ${\displaystyle V=V_{0}e^{-1}\approx 0.37V_{0}}$
3. Пусть , и так ${\displaystyle V=f(t)=V_{0}e^{-t/\tau }}$ ${\textstyle \lim _{t\to \infty }f(t)=0}$
4. Пусть ; тогда ${\displaystyle t=5\tau }$ ${\displaystyle V=V_{0}e^{-5}\approx 0.0067V_{0}}$

После периода в одну постоянную времени функция достигает e ⁻¹ = приблизительно 37% от своего начального значения. В случае 4 после пяти постоянных времени функция достигает значения менее 1% от своего исходного значения. В большинстве случаев этот порог в 1% считается достаточным, чтобы предположить, что функция затухла до нуля – как правило, в технике управления устойчивая система – это та, которая демонстрирует такое общее затухающее поведение.

Связь постоянной времени с полосой пропускания

Пример реакции системы на функцию воздействия синусоидальной волны. Ось времени в единицах постоянной времени τ . Реакция затухает, становясь простой синусоидальной волной.

Частотная характеристика системы в зависимости от частоты в единицах полосы пропускания f _3dB . Отклик нормализован к нулевому значению частоты, равному единице, и падает до 1/√2 в полосе пропускания.

Предположим, что функция воздействия выбрана синусоидальной:

$${\displaystyle \tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)=Ae^{j\omega t}.}$$

(Отклик на действительный косинусоидальный или синусоидальный входной сигнал можно получить, взяв действительную или мнимую часть конечного результата с помощью формулы Эйлера .) Общее решение этого уравнения для времени t ≥ 0 с , предполагая, что V ( t = 0) = V _0, имеет вид:

$${\displaystyle {\begin{aligned}V(t)&=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {Ae^{-t/\tau }}{\tau }}\int _{0}^{t}\,dt'\ e^{t'/\tau }e^{j\omega t'}\\[1ex]&=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {\frac {1}{\tau }}{j\omega +{\frac {1}{\tau }}}}A\left(e^{j\omega t}-e^{-t/\tau }\right).\end{aligned}}}$$

При длительном времени затухающие экспоненты становятся незначительными, и стационарное решение или долговременное решение имеет вид:

$${\displaystyle V_{\infty }(t)={\frac {1/\tau }{j\omega +1/\tau }}Ae^{j\omega t}.}$$

Величина этого отклика: По соглашению, полоса пропускания этой системы — это частота, на которой | V _∞ | ² падает до половины значения, или где ωτ = 1. Это обычное соглашение о полосе пропускания , определяемое как диапазон частот, в котором мощность падает менее чем на половину (максимум −3 дБ). Используя частоту в герцах, а не радианах/с ( ω = 2 πf ): $${\displaystyle |V_{\infty }(t)|=A{\frac {1}{\tau \left(\omega ^{2}+(1/\tau )^{2}\right)^{1/2}}}=A{\frac {1}{\sqrt {1+(\omega \tau )^{2}}}}.}$$

$${\displaystyle f_{\mathrm {3dB} }={\frac {1}{2\pi \tau }}.}$$

Обозначение f _3dB происходит от выражения мощности в децибелах и наблюдения, что половинная мощность соответствует падению значения | V _∞ | в 1/2 раза или на 3 децибела.

Таким образом, постоянная времени определяет пропускную способность этой системы.

Переходная характеристика с произвольными начальными условиями

Реакция системы на скачок для двух различных начальных значений V ₀ , одно выше конечного значения и одно на нуле. Долговременная реакция является константой, V _∞ . Ось времени в единицах постоянной времени . ${\displaystyle \tau }$

Предположим, что функция принуждения выбрана в качестве ступенчатого входного сигнала:

$${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}V=f(t)=Au(t),}$$

где u ( t ) — единичная ступенчатая функция . Общее решение этого уравнения для времен t ≥ 0 с , предполагая, что V ( t = 0) = V _0, имеет вид:

$${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }+A\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right).}$$

(Можно заметить, что этот ответ является пределом ω → 0 приведенного выше ответа на синусоидальный входной сигнал.)

Долгосрочное решение не зависит от времени и начальных условий: $${\displaystyle V_{\infty }=A\tau .}$$

Постоянная времени остается одинаковой для одной и той же системы независимо от начальных условий. Проще говоря, система приближается к своему конечному, устойчивому состоянию с постоянной скоростью, независимо от того, насколько она близка к этому значению в любой произвольной начальной точке.

Например, рассмотрим электродвигатель, запуск которого хорошо моделируется системой LTI первого порядка. Предположим, что при запуске из состояния покоя двигатель принимает ⁠1/8⁠ секунды, чтобы достичь 63% от номинальной скорости 100 об/мин, или 63 об/мин — дефицит 37 об/мин. Затем будет обнаружено, что после следующего ⁠1/8⁠ секунды, двигатель ускорился еще на 23 об/мин, что составляет 63% от разницы в 37 об/мин. Это доводит его до 86 об/мин — все еще на 14 об/мин меньше. После третьего ⁠1/8⁠ секунды, двигатель увеличит частоту вращения на дополнительные 9 об/мин (63% от разницы в 14 об/мин), достигнув 95 об/мин.

Фактически, при любой начальной скорости s ≤ 100 об/мин, ⁠1/8⁠ секунды спустя этот конкретный двигатель приобретет дополнительные 0,63 × (100 − с ) об/мин.

Примеры

Постоянные времени в электрических цепях

Реакция конденсатора на скачок напряжения.

Реакция на скачок напряжения индуктора.

В RL-цепи, состоящей из одного резистора и катушки индуктивности, постоянная времени (в секундах ) равна ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle \tau ={\frac {L}{R}}}$$

где R — сопротивление (в Омах ), а L — индуктивность (в Генри ).

Аналогично, в RC-цепи, состоящей из одного резистора и конденсатора, постоянная времени (в секундах) равна: ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle \tau =RC}$$

где R — сопротивление (в Омах ), а C — емкость (в фарадах ).

Электрические цепи часто более сложны, чем эти примеры, и могут демонстрировать несколько постоянных времени (см. Step response и Pole splitting для некоторых примеров.) В случае, когда присутствует обратная связь , система может демонстрировать нестабильные, увеличивающиеся колебания. Кроме того, физические электрические цепи редко являются действительно линейными системами, за исключением возбуждений с очень низкой амплитудой; однако приближение линейности широко используется.

В цифровых электронных схемах часто используется другая мера, FO4 . Она может быть преобразована в единицы постоянной времени с помощью уравнения . ^[4] ${\displaystyle 5\tau ={\text{FO4}}}$

Тепловая постоянная времени

Постоянные времени являются особенностью анализа сосредоточенных систем (метод анализа сосредоточенной емкости) для тепловых систем, используемых, когда объекты охлаждаются или нагреваются равномерно под воздействием конвективного охлаждения или нагревания . В этом случае передача тепла от тела к окружающей среде в данный момент времени пропорциональна разнице температур между телом и окружающей средой: ^[5]

$${\displaystyle F=hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right),}$$

где h - коэффициент теплопередачи , и A _s - площадь поверхности, T - температурная функция, т. е. T ( t ) - температура тела в момент времени t , а T _a - постоянная температура окружающей среды. Положительный знак указывает на соглашение, что F положительно, когда тепло покидает тело, потому что его температура выше температуры окружающей среды ( F - внешний поток). Поскольку тепло теряется в окружающую среду, эта передача тепла приводит к падению температуры тела, определяемому как: ^[5]

$${\displaystyle \rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-F,}$$

где ρ = плотность, c _p = удельная теплоемкость , а V — объем тела. Отрицательный знак указывает на понижение температуры, когда теплопередача направлена ​​наружу от тела (то есть, когда F > 0). Приравнивая эти два выражения для теплопередачи,

$${\displaystyle \rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right).}$$

Очевидно, это система LTI первого порядка, которую можно представить в виде:

$${\displaystyle {\frac {dT}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}T={\frac {1}{\tau }}T_{a},}$$

с

$${\displaystyle \tau ={\frac {\rho c_{p}V}{hA_{s}}}.}$$

Другими словами, большие массы ρV с большими теплоемкостями c _p приводят к более медленным изменениям температуры (большая постоянная времени τ ), в то время как большие площади поверхности A _s с большей теплопередачей h приводят к более быстрому изменению температуры (меньшая постоянная времени τ ).

Сравнение с вводным дифференциальным уравнением предполагает возможное обобщение на изменяющиеся во времени температуры окружающей среды T _a . Однако, сохраняя простой пример постоянной окружающей среды, подставляя переменную Δ T ≡ ( T − T _a ), находим:

$${\displaystyle {\frac {d\Delta T}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}\Delta T=0.}$$

Системы, для которых охлаждение удовлетворяет приведенному выше экспоненциальному уравнению, считаются удовлетворяющими закону охлаждения Ньютона . Решение этого уравнения предполагает, что в таких системах разница между температурой системы и ее окружения Δ T как функция времени t определяется выражением:

${\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T_{0}e^{-t/\tau },}$

где Δ T ₀ — начальная разница температур в момент времени t = 0. Другими словами, тело принимает ту же температуру, что и окружающая среда, с экспоненциально медленной скоростью, определяемой постоянной времени.

Постоянные времени в биофизике

В возбудимой клетке, такой как мышца или нейрон , постоянная времени мембранного потенциала равна ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle \tau =r_{m}c_{m}}$$

где r _m — сопротивление мембраны, а c _m — емкость мембраны.

Сопротивление мембраны зависит от количества открытых ионных каналов , а емкость — от свойств липидного бислоя .

Постоянная времени используется для описания подъема и спада мембранного напряжения, где подъем описывается формулой $${\displaystyle V(t)=V_{\textrm {max}}\left(1-e^{-t/\tau }\right)}$$

и падение описывается $${\displaystyle V(t)=V_{\textrm {max}}e^{-t/\tau }}$$

где напряжение указано в милливольтах, время указано в секундах, а — в секундах. ${\displaystyle \tau }$

V _max определяется как максимальное изменение напряжения от потенциала покоя , где $${\displaystyle V_{\textrm {max}}=r_{m}I}$$

где r _m — сопротивление мембраны, а I — ток через мембрану.

Установка для t = для подъема устанавливает V ( t ) равным 0,63 V _max . Это означает, что постоянная времени - это время, прошедшее после достижения 63% от V _max ${\displaystyle \tau }$

Установка для t = для падения устанавливает V ( t ) равным 0,37 V _max , что означает, что постоянная времени представляет собой время, прошедшее после падения до 37% от V _max . ${\displaystyle \tau }$

Чем больше постоянная времени, тем медленнее нарастает или падает потенциал нейрона. Большая постоянная времени может привести к временному суммированию или алгебраическому суммированию повторяющихся потенциалов. Короткая постоянная времени скорее создает детектор совпадений посредством пространственного суммирования .

Экспоненциальный распад

При экспоненциальном распаде , например, радиоактивного изотопа, постоянную времени можно интерпретировать как среднее время жизни . Период полураспада T _HL или T _1/2 связан с экспоненциальной константой распада соотношением Обратная величина постоянной времени называется константой распада и обозначается . ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle T_{1/2}=T_{\text{HL}}=\tau \ln 2.}$$ ${\displaystyle \lambda =1/\tau }$

Метеорологические датчики

Постоянная времени — это количество времени, которое требуется метеорологическому датчику для реагирования на быстрое изменение показателя и до тех пор, пока измеряемые им значения не будут находиться в пределах допуска точности, обычно ожидаемого от датчика.

Чаще всего это касается измерений температуры, температуры точки росы, влажности и давления воздуха. Особенно страдают радиозонды из-за быстрого увеличения высоты.

Смотрите также

• Постоянная времени RC
• Частота среза
• Экспоненциальный распад
• Компенсатор опережения-запаздывания
• Константа длины
• Время подъема
• Осеннее время
• Частотная характеристика
• Импульсный ответ
• Реакция на шаг
• Время установления

Примечания

1. Конкретно, система LTI первого порядка — это система, которая может быть смоделирована одним дифференциальным уравнением первого порядка во времени. Примерами являются простейшие одноступенчатые электрические RC-цепи и RL-цепи .

Ссылки

1. Бела Г. Липтак (2003). Справочник инженера-изготовителя приборов: управление процессами и оптимизация (4-е изд.). CRC Press. стр. 100. ISBN 978-0-8493-1081-2.
2. Бонг Ви (1998). Динамика и управление космическим аппаратом . Американский институт аэронавтики и астронавтики. стр. 100. ISBN 978-1-56347-261-9.
3. GR North (1988). "Уроки моделей энергетического баланса". В Michael E. Schlesinger (ред.). Физически обоснованное моделирование и имитация климата и климатических изменений (Институт передовых исследований НАТО по физическому моделированию, ред.). Springer. стр. 627. ISBN 978-90-277-2789-3. {{cite book}}: Неизвестный параметр |agency=проигнорирован ( помощь )
4. Харрис, Д.; Сазерленд, И. (2003). «Логическое усилие сумматоров с переносом». Тридцать седьмая Асиломарская конференция по сигналам, системам и компьютерам, 2003. стр. 873–878. doi :10.1109/ACSSC.2003.1292037. ISBN 0-7803-8104-1. S2CID  7880203.
5. Roland Wynne Lewis; Perumal Nithiarasu; KN Seetharamu (2004). Основы метода конечных элементов для тепловых и жидкостных потоков. Wiley. стр. 151. ISBN 978-0-470-84789-3.

Внешние ссылки

• Преобразование постоянной времени τ в частоту среза fc и наоборот
• Все о схемах – Расчеты напряжения и тока
• Энергетическая и тепловая постоянная времени зданий