Треугольная волна

Несинусоидальная форма волны

Образец звука треугольной волны

5 секунд треугольной волны на частоте 220 Гц

---

Проблемы с воспроизведением этого файла? Смотрите справку по медиа .

Звуковой образец аддитивной треугольной волны

Через каждую секунду к синусоидальной волне добавляется гармоника, создавая треугольную волну 220 Гц.

---

Проблемы с воспроизведением этого файла? Смотрите справку по медиа .

Треугольная волна или треугольная волна — это несинусоидальная форма волны, названная так из-за своей треугольной формы. Это периодическая , кусочно-линейная , непрерывная действительная функция .

Как и квадратная волна , треугольная волна содержит только нечетные гармоники . Однако высшие гармоники спадают гораздо быстрее, чем в квадратной волне (пропорционально обратному квадрату номера гармоники, а не просто обратно).

Определения

Синусоидальные , квадратные , треугольные и пилообразные формы волн

Определение

Треугольная волна периода p , охватывающая диапазон [0, 1], определяется как , где — функция пола . Можно увидеть, что это абсолютное значение смещенной пилообразной волны . $${\displaystyle x(t)=2\left|{\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right|,}$$ ${\displaystyle \lfloor \ \rfloor }$

Для треугольной волны, охватывающей диапазон [−1, 1], выражение становится $${\displaystyle x(t)=2\left|2\left({\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)\right|-1.}$$

Треугольная волна с амплитудой = 5, периодом = 4

Более общее уравнение для треугольной волны с амплитудой и периодом, использующее операцию по модулю и абсолютное значение , имеет вид ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle y(x)={\frac {4a}{p}}\left|\left(\left(x-{\frac {p}{4}}\right){\bmod {p}}\right)-{\frac {p}{2}}\right|-a.}$$

Например, для треугольной волны с амплитудой 5 и периодом 4: $${\displaystyle y(x)=5\left|{\bigl (}(x-1){\bmod {4}}{\bigr )}-2\right|-5.}$$

Фазовый сдвиг можно получить, изменяя значение члена , а вертикальное смещение можно отрегулировать, изменяя значение члена . ${\displaystyle -p/4}$ ${\displaystyle -a}$

Поскольку здесь используются только операция по модулю и абсолютное значение, ее можно использовать для простой реализации треугольной волны на аппаратном уровне электроники.

Обратите внимание, что во многих языках программирования %оператор является оператором остатка (с результатом того же знака, что и у делимого), а не оператором остатка ; операция остатка может быть получена путем использования ((x % p) + p) % pвместо x % p. Например, в JavaScript это приводит к уравнению вида 4*a/p * Math.abs((((x - p/4) % p) + p) % p - p/2) - a.

Отношение к прямоугольной волне

Треугольную волну можно также выразить как интеграл прямоугольной волны : $${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {u}{p}}\right)\,du.}$$

Выражение в тригонометрических функциях

Треугольная волна с периодом p и амплитудой a может быть выражена через синус и арксинус (чьи значения варьируются от − π /2 до π /2): Это тождество можно использовать для преобразования треугольной волны «синус» в треугольную волну «косинус». Эта сдвинутая по фазе треугольная волна также может быть выражена через косинус и арккосинус : $${\displaystyle y(x)={\frac {2a}{\pi }}\arcsin \left(\sin \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).}$$ ${\textstyle \cos {x}=\sin \left({\frac {p}{4}}-x\right)}$ $${\displaystyle y(x)=a-{\frac {2a}{\pi }}\arccos \left(\cos \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).}$$

Выражается как знакопеременные линейные функции

Другое определение треугольной волны с диапазоном от −1 до 1 и периодом p : $${\displaystyle x(t)={\frac {4}{p}}\left(t-{\frac {p}{2}}\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)(-1)^{\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }.}$$

Гармоники

Анимация аддитивного синтеза треугольной волны с увеличивающимся числом гармоник. Математическое описание см. в разделе Анализ Фурье .

Можно аппроксимировать треугольную волну с помощью аддитивного синтеза, суммируя нечетные гармоники основной гармоники, умножая каждую другую нечетную гармонику на −1 (или, что эквивалентно, изменяя ее фазу на π ) и умножая амплитуду гармоник на единицу, деленную на квадрат их номера моды n (что эквивалентно единице, деленной на квадрат их относительной частоты по отношению к основной гармонике ).

Вышеизложенное можно математически обобщить следующим образом: где N — число гармоник, включаемых в аппроксимацию, t — независимая переменная (например, время для звуковых волн), — основная частота, а i — метка гармоники, которая связана с ее номером моды соотношением . $${\displaystyle x_{\text{triangle}}(t)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{i=0}^{N-1}(-1)^{i}n^{-2}\sin(2\pi f_{0}nt),}$$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle n=2i+1}$

Этот бесконечный ряд Фурье быстро сходится к треугольной волне, когда N стремится к бесконечности, как показано на анимации.

Длина дуги

Длина дуги за период для треугольной волны, обозначаемая s , определяется через амплитуду a и длину периода p по формуле $${\displaystyle s={\sqrt {(4a)^{2}+p^{2}}}.}$$

Смотрите также

• Список периодических функций
• Синусоидальная волна
• Прямоугольная волна
• Пилообразная волна
• Пульсовая волна
• Звук
• Функция треугольника
• Волна
• Зигзаг

Ссылки

1. Крафт, Себастьян; Цёльцер, Удо (5 сентября 2017 г.). «LP-BLIT: синтез импульсных последовательностей с ограниченной полосой пропускания низкочастотных волн». Труды 20-й Международной конференции по цифровым аудиоэффектам (DAFx-17) . 20-я Международная конференция по цифровым аудиоэффектам (DAFx-17). Эдинбург. С. 255–259.

• Вайсштейн, Эрик В. "Ряд Фурье - Треугольная волна". MathWorld .