Самореферентная формула Таппера

Формула, которая визуально представляет себя в виде графика

Самореферентная формула Таппера — это формула , которая визуально представляет себя при отображении на графике в определенном месте на плоскости ( x , y ).

История

Формула была определена Джеффом Таппером и приводится в качестве примера в статье Таппера SIGGRAPH 2001 года о надежных алгоритмах двумерного компьютерного построения графиков. ^[1] В этой статье обсуждаются методы, связанные с программой построения графиков формул GrafEq, разработанной Таппером. ^[2]

Хотя формула называется « самореферентной », Таппер не назвал ее таковой. ^[3]

Формула

Формула представляет собой неравенство, определяемое как:

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}<\left\lfloor \mathrm {mod} \left(\left\lfloor {\frac {y}{17}}\right\rfloor 2^{-17\lfloor x\rfloor -\mathrm {mod} \left(\lfloor y\rfloor ,17\right)},2\right)\right\rfloor }$$где обозначает функцию пола , а mod — операцию по модулю . ${\displaystyle \lfloor \dots \rfloor }$

Участки

Пусть равно следующему 543-значному целому числу: ${\displaystyle k}$

960  939  379  918  958  884  971  672  962  127  852  754  715  004  339  660  129  306  651  505  519  271  702  802  395  266  424  689  642  842  17 4

350  718  121  267  153  782  770  623  355  993  237  280  874  144  307  891  325 963 941  337  723  487  857 735 749 823 926 629 715 517 17 3          

716  995  165  232  890  538  221  612  403  238  855  866  184  013  235  585  136  048  828  693  337  902  491  454  229  288  667  081  096  184  49 6

091  705  183  454  067  827  731  551  705  405  381  627  380  967  602  565  625  016  981  482  083  418  783  163  849  115  590  225  610  003  2

351  370  343  874  461  848  378  737  238  198  224  849  863  465  033  159  410  054  974  700  593  138  339  226  497  249  461  751  545  728  6

702  369  745  461  014  655  997  933  798  537  483  143  786  841  806  593  422  227  898  388  722  980  000  748  404  719

Вывод k

Построение графика набора точек , удовлетворяющих формуле, приводит к следующему графику: ^{[примечание 1]} ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle 0\leq x<106}$ ${\displaystyle k\leq y<k+17}$

Формула представляет собой универсальный метод декодирования растрового изображения, хранящегося в константе , и ее можно использовать для рисования любого другого изображения. При применении к неограниченному положительному диапазону формула замостит вертикальную полосу плоскости узором, содержащим все возможные растровые изображения высотой 17 пикселей. Один горизонтальный фрагмент этого бесконечного растрового изображения отображает саму формулу рисования, но это не примечательно, поскольку другие фрагменты отображают все другие возможные формулы, которые могут поместиться в растровое изображение высотой 17 пикселей. Таппер создал расширенные версии своей оригинальной формулы, исключающие все части, кроме одного. ^[4] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0\leq y}$

Константа представляет собой простое монохромное растровое изображение формулы, рассматриваемое как двоичное число и умноженное на 17. При делении на 17 младший бит кодирует верхний правый угол ; 17 младших битов кодируют самый правый столбец пикселей; следующие 17 младших битов кодируют второй правый столбец и так далее. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k,0)}$

По сути, он описывает способ нанесения точек на двумерную поверхность. Значение — это число, двоичные цифры которого образуют график. Следующий график демонстрирует сложение различных значений . В четвертом подграфике значение k «AFGP» и «График эстетической функции» добавляется, чтобы получить результирующий график, на котором оба текста можно увидеть с некоторым искажением из-за эффектов двоичного сложения. Информация о форме графика хранится в файлах . ^[5] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Сложение различных значений k

Смотрите также

• Растровое изображение  – вычислительный термин
• Элементарная функция  – Математическая функция
• Quine (вычисления)  - Самовоспроизводящаяся программа
• Рекурсия  - процесс повторения элементов самоподобным образом.
• Странная петля  - циклическая структура, проходящая через несколько уровней иерархической системы.

Рекомендации

Сноски

1. Оси на этом графике поменялись местами, иначе изображение было бы перевернутым и зеркальным.

Примечания

1. * Таппер, Джефф. «Надежные методы двумерного построения графиков для математических формул с двумя свободными переменными». Архивировано 13 июля 2019 г. на Wayback Machine.
2. «Педагогическое программное обеспечение: GrafEq». www.peda.com . Архивировано из оригинала 24 февраля 2021 г. Проверено 9 сентября 2007 г.
3. Нараянан, Арвинд. «Разоблаченная формула самоссылки Таппера». Архивировано из оригинала 24 апреля 2015 года . Проверено 20 февраля 2015 г.
4. "Каталог самостоятельного построения" . Педагогическое программное обеспечение . Проверено 15 января 2022 г.
5. "Функция Таппера" . Гитхаб . Графпостинг эстетических функций. 13 июня 2019 г. Проверено 7 июля 2019 г.

Источники

• Вайсштейн, Эрик В. «Формула самореференции Таппера». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. Архивировано 5 февраля 2021 г. в Wayback Machine.
• Бейли, Д.Х.; Борвейн, Дж. М.; Калкин, Нью-Джерси; Гиргенсон, Р.; Люк, доктор медицинских наук; и Молл, В.Х. Экспериментальная математика в действии. Натик, Массачусетс: А.К. Петерс, с. 289, 2006. Архивировано 21 декабря 2016 г. в Wayback Machine.
• «Задачи самоответа». Математика. Горизонты 13, № 4, 19 апреля 2006 г.
• Вагон, С. Проблема 14 на сайте stanwagon.com. Архивировано 2 февраля 2007 г. на Wayback Machine.

Внешние ссылки

• Официальный сайт Джеффа Таппера
• Расширение оригинальной самореферентной формулы Таппера
• Самореферентная формула Таппера в Rosetta Code, реализация на нескольких языках программирования.
• TupperPlot, реализация на JavaScript
• Формула самоссылки Таппера, реализация на Python
• Функция Вавилонской библиотеки, подробное объяснение работы самореферентной формулы Таппера.
• Инструменты формул Таппера, реализация на JavaScript
• Формула Травника, близкая к первоисточнику
• Видео, поясняющее формулу