Двустороннее преобразование Лапласа

Математическая операция

В математике двустороннее преобразование Лапласа или двустороннее преобразование Лапласа является интегральным преобразованием, эквивалентным функции генерации моментов вероятности . Двусторонние преобразования Лапласа тесно связаны с преобразованием Фурье , преобразованием Меллина , Z-преобразованием и обычным или односторонним преобразованием Лапласа . Если f ( t ) является действительной или комплексной функцией действительной переменной t, определенной для всех действительных чисел, то двустороннее преобразование Лапласа определяется интегралом

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}(s)=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

Интеграл чаще всего понимается как несобственный интеграл , который сходится тогда и только тогда, когда оба интеграла

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt,\quad \int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt}$

существуют. Кажется, нет общепринятой нотации для двустороннего преобразования; используемое здесь напоминает «двусторонний». Двустороннее преобразование, используемое некоторыми авторами, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}\{f\}(s)=s{\mathcal {B}}\{f\}(s)=sF(s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

В чистой математике аргумент t может быть любой переменной, а преобразования Лапласа используются для изучения того, как дифференциальные операторы преобразуют функцию.

В научных и инженерных приложениях аргумент t часто представляет время (в секундах), а функция f ( t ) часто представляет сигнал или форму волны, которая меняется со временем. В этих случаях сигналы преобразуются фильтрами , которые работают как математический оператор, но с ограничением. Они должны быть причинно-следственными, что означает, что выход в заданное время t не может зависеть от выхода, который является более высоким значением t . В популяционной экологии аргумент t часто представляет пространственное смещение в ядре рассеивания.

При работе с функциями времени f ( t ) называется представлением сигнала во временной области , тогда как F ( s ) называется представлением в s-области (или области Лапласа ). Обратное преобразование тогда представляет собой синтез сигнала как сумму его частотных компонентов, взятых по всем частотам, тогда как прямое преобразование представляет собой анализ сигнала на его частотные компоненты.

Связь с преобразованием Фурье

Преобразование Фурье можно определить через двустороннее преобразование Лапласа:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(s=i\omega )=F(\omega ).}$

Обратите внимание, что определения преобразования Фурье различаются, и в частности

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(s=i\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\mathcal {B}}\{f(t)\}(s)}$

часто используется вместо этого. В терминах преобразования Фурье мы также можем получить двустороннее преобразование Лапласа, как

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f(t)\}(s)={\mathcal {F}}\{f(t)\}(-is).}$

Преобразование Фурье обычно определяется таким образом, чтобы оно существовало для действительных значений; приведенное выше определение определяет изображение в полосе , которая может не включать действительную ось, где должно сходиться преобразование Фурье. ${\displaystyle a<\Im (s)<b}$

Вот почему преобразования Лапласа сохраняют свою ценность в теории управления и обработке сигналов: сходимость интеграла преобразования Фурье в пределах его области определения означает только то, что линейная, инвариантная к сдвигу система, описываемая им, является стабильной или критической. С другой стороны, преобразование Лапласа будет сходиться где-то для каждого импульсного отклика, который не более чем экспоненциально растет, поскольку оно включает в себя дополнительный член, который можно принять в качестве экспоненциального регулятора. Поскольку не существует суперэкспоненциально растущих линейных сетей обратной связи, анализ и решение линейных, инвариантных к сдвигу систем на основе преобразования Лапласа принимает свою наиболее общую форму в контексте преобразований Лапласа, а не Фурье.

В то же время, в настоящее время теория преобразования Лапласа попадает в сферу более общих интегральных преобразований или даже общего гармонического анализа . В этой структуре и номенклатуре преобразования Лапласа являются просто другой формой анализа Фурье, даже если и более общей в ретроспективе.

Связь с другими интегральными преобразованиями

Если u — ступенчатая функция Хевисайда , равная нулю, когда ее аргумент меньше нуля, половине, когда ее аргумент равен нулю, и единице, когда ее аргумент больше нуля, то преобразование Лапласа можно определить в терминах двустороннего преобразования Лапласа следующим образом: ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}={\mathcal {B}}\{fu\}.}$

С другой стороны, у нас также есть

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}={\mathcal {L}}\{f\}+{\mathcal {L}}\{f\circ m\}\circ m,}$

где — функция, которая умножает на минус один ( ), поэтому любую версию преобразования Лапласа можно определить через другую. ${\displaystyle m:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m(x)=-x}$

Преобразование Меллина можно определить в терминах двустороннего преобразования Лапласа следующим образом:

${\displaystyle {\mathcal {M}}\{f\}={\mathcal {B}}\{f\circ {\exp }\circ m\},}$

с тем же, что и выше, и наоборот, мы можем получить двустороннее преобразование из преобразования Меллина с помощью ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}={\mathcal {M}}\{f\circ m\circ \log \}.}$

Функция , производящая моменты непрерывной функции плотности вероятности ƒ ( x ), может быть выражена как . ${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}(-s)}$

Характеристики

Следующие свойства можно найти в работах Bracewell (2000) и Oppenheim & Willsky (1997)

Большинство свойств двустороннего преобразования Лапласа очень похожи на свойства одностороннего преобразования Лапласа, но есть и некоторые важные отличия:

Теорема Парсеваля и теорема Планшереля

Пусть и — функции с двусторонними преобразованиями Лапласа и в полосах сходимости . Пусть с . Тогда справедлива теорема Парсеваля : ^[1] ${\displaystyle f_{1}(t)}$ ${\displaystyle f_{2}(t)}$ ${\displaystyle F_{1}(s)}$ ${\displaystyle F_{2}(s)}$ ${\displaystyle \alpha _{1,2}<\Re s<\beta _{1,2}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \max(-\beta _{1},\alpha _{2})<c<\min(-\alpha _{1},\beta _{2})}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f_{1}(t)}}\,f_{2}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\overline {F_{1}(-{\overline {s}})}}\,F_{2}(s)\,ds}$

Эта теорема доказывается путем применения обратного преобразования Лапласа к теореме о свертке в форме взаимной корреляции.

Пусть — функция с двусторонним преобразованием Лапласа в полосе сходимости . Пусть с . Тогда справедлива теорема Планшереля : ^[2] ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle \alpha <\Re s<\beta }$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha <c<\beta }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-2c\,t}\,|f(t)|^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|F(c+ir)|^{2}\,dr}$

Уникальность

Для любых двух функций , для которых существуют двусторонние преобразования Лапласа , если то есть для каждого значения , то почти всюду . ${\textstyle f,g}$ ${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\},{\mathcal {T}}\{g\}}$ ${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\}={\mathcal {T}}\{g\},}$ ${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\}(s)={\mathcal {T}}\{g\}(s)}$ ${\textstyle s\in \mathbb {R} ,}$ ${\textstyle f=g}$

Регион конвергенции

Требования к двусторонним преобразованиям для сходимости сложнее, чем к односторонним преобразованиям. Область сходимости обычно меньше.

Если f — локально интегрируемая функция (или, в более общем смысле, мера Бореля локально ограниченной вариации), то преобразование Лапласа F ( s ) функции f сходится при условии, что предел

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt}$

существует. Преобразование Лапласа сходится абсолютно, если интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt}$

существует (как собственный интеграл Лебега ). Преобразование Лапласа обычно понимается как условно сходящееся, то есть оно сходится в первом, а не во втором смысле.

Множество значений, для которых F ( s ) сходится абсолютно, имеет либо вид Re( s ) > a , либо Re( s ) ≥ a , где a — расширенная действительная константа , −∞ ≤ a ≤ ∞. (Это следует из теоремы о доминируемой сходимости .) Константа a известна как абсцисса абсолютной сходимости и зависит от поведения роста f ( t ). ^[3] Аналогично, двустороннее преобразование абсолютно сходится в полосе вида a < Re( s ) < b , и, возможно, включая линии Re( s ) = a или Re( s ) = b . ^[4] Подмножество значений s , для которых преобразование Лапласа сходится абсолютно, называется областью абсолютной сходимости или областью абсолютной сходимости. В двустороннем случае его иногда называют полосой абсолютной сходимости. Преобразование Лапласа является аналитическим в области абсолютной сходимости.

Аналогично, множество значений, для которых F ( s ) сходится (условно или абсолютно), известно как область условной сходимости, или просто область сходимости (ROC). Если преобразование Лапласа сходится (условно) при s = s ₀ , то оно автоматически сходится для всех s с Re( s ) > Re( s ₀ ). Следовательно, область сходимости представляет собой полуплоскость вида Re( s ) > a , возможно, включающую некоторые точки граничной линии Re( s ) = a . В области сходимости Re( s ) > Re( s ₀ ) преобразование Лапласа функции f можно выразить интегрированием по частям в виде интеграла

${\displaystyle F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.}$

То есть в области сходимости F ( s ) может быть эффективно выражена как абсолютно сходящееся преобразование Лапласа некоторой другой функции. В частности, она является аналитической.

Существует несколько теорем Пэли–Винера, касающихся связи между свойствами распада функции f и свойствами преобразования Лапласа в области сходимости.

В инженерных приложениях функция, соответствующая линейной системе, инвариантной во времени (LTI), является стабильной , если каждый ограниченный вход создает ограниченный выход.

Причинность

Двусторонние преобразования не учитывают причинность . Они имеют смысл, когда применяются к общим функциям, но при работе с функциями времени (сигналами) предпочтительны односторонние преобразования.

Таблица избранных двусторонних преобразований Лапласа

Следующий список интересных примеров двустороннего преобразования Лапласа можно вывести из соответствующих преобразований Фурье или односторонних преобразований Лапласа (см. также Брейсвелл (2000)):

Смотрите также

• Фильтр причин
• Акаузальная система
• Причинно-следственная система
• Sinc-фильтр – идеальный sinc-фильтр (он же прямоугольный фильтр) является акаузальным и имеет бесконечную задержку.

Ссылки

1. LePage 1980, Глава 11-3, стр.340
2. Виддер 1941, Глава VI, §8, стр.246
3. Виддер 1941, Глава II, §1
4. Виддер 1941, Глава VI, §2

• ЛеПейдж, Уилбур Р. (1980). Комплексные переменные и преобразование Лапласа для инженеров . Dover Publications.
• Ван дер Поль, Бальтазар и Бреммер, Х., Операционное исчисление на основе двустороннего интеграла Лапласа , Chelsea Pub. Co., 3-е изд., 1987.
• Виддер, Дэвид Вернон (1941), Преобразование Лапласа , Princeton Mathematical Series, т. 6, Princeton University Press , MR  0005923.
• Брейсвелл, Рональд Н. (2000). Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.).
• Оппенгейм, Алан В.; Вилски, Алан С. (1997). Сигналы и системы (2-е изд.).