Тип (теория модели)

Концепция теории моделей

В теории моделей и смежных областях математики тип — это объект , который описывает, как может вести себя (реальный или возможный) элемент или конечный набор элементов в математической структуре . Точнее, это набор формул первого порядка языка L со свободными переменными x ₁ , x ₂ ,..., x _n , которые верны для набора из n -кортежей L -структуры . В зависимости от контекста типы могут быть полными или частичными и могут использовать фиксированный набор констант A из структуры . Вопрос о том, какие типы представляют собой фактические элементы, приводит к идеям насыщенных моделей и исключения типов . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Формальное определение

Рассмотрим структуру языка L.​ ​Пусть M будет вселенной структуры. Для каждого A  ⊆  M пусть L ( A ) — язык, полученный из _L добавлением константы ca для каждого a  ∈  A. Другими словами, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle L(A)=L\cup \{c_{a}:a\in A\}.}$

1 -тип (из ) над ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ A — это множество p ( x ) формул в L ( A ) с не более чем одной свободной переменной x (следовательно, 1-тип), такое что для любого конечного подмножества p ₀ ( x ) ⊆  p ( x ) существует некоторый b  ∈  M , зависящий от p ₀ ( x ), причем (т.е. все формулы из p ₀ ( x ) истинны, когда x заменяется на b ). ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models p_{0}(b)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Аналогично n -тип (of ) над ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ A определяется как набор p ( x ₁ ,..., x _n ) =  p ( x ) формул в L ( A ), каждая из которых имеет свои свободные переменные, встречающиеся только среди дано n свободных переменных x ₁ ,..., x _n , таких что для каждого конечного подмножества p ₀ ( x ) ⊆  p ( x ) существуют некоторые элементы b ₁ ,..., b _n  ∈  M с . ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models p_{0}(b_{1},\ldots ,b_{n})}$

Полный тип над A — это тип , максимальный по включению . Эквивалентно, для каждого или или . Любой неполный тип называется частичным типом . Итак, тип слова в целом относится к любому n -типу, частичному или полному, по любому выбранному набору параметров (возможно, пустому набору). ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})\in L(A,{\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})\in p({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle \lnot \phi ({\boldsymbol {x}})\in p({\boldsymbol {x}})}$

Говорят, что p ( x ) n - типареализуется в том случае ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ , если существует элемент b  ∈  M ⁿ такой, что . Существование такой реализации гарантируется для любого типа теоремой компактности , хотя реализация может иметь место в некотором элементарном расширении , а не в себе. Если полный тип реализуется b in , то тип обычно обозначается и упоминается как полный тип b над A . ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models p({\boldsymbol {b}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle tp_{n}^{\mathcal {M}}({\boldsymbol {b}}/A)}$

Тип p ( x ) называется изолированным по ${\displaystyle \varphi }$ , for , если для всех мы имеем . Поскольку конечные подмножества типа всегда реализуются в , всегда существует элемент b  ∈  Mn такой, что ^φ ( b ) истинно в ; т.е. , таким образом, b реализует весь изолированный тип. Таким образом, изолированные типы будут реализованы в каждой элементарной подструктуре или расширении. По этой причине изолированные типы никогда не могут быть опущены (см. ниже). ${\displaystyle \varphi \in p(x)}$ ${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}})\in p({\boldsymbol {x}}),}$ ${\displaystyle \operatorname {Th} ({\mathcal {M}})\models \varphi ({\boldsymbol {x}})\rightarrow \psi ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models \varphi ({\boldsymbol {b}})}$

Модель, реализующая максимально возможное разнообразие типов, называется насыщенной моделью , а сверхмощная конструкция обеспечивает один из способов создания насыщенных моделей.

Примеры типов

Рассмотрим язык L с одним символом бинарного отношения , который мы обозначим как . Позвольте быть структурой этого языка, которая является порядковой с ее стандартной упорядоченностью . Пусть обозначает теорию первого порядка . ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \langle \omega ,\in _{\omega }\rangle }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Рассмотрим множество L (ω)-формул . Во-первых, мы утверждаем, что это тип. Позвольте быть конечным подмножеством . Нам нужно найти удовлетворяющее всем формулам . Ну, мы можем просто взять наследника самого большого порядкового номера, упомянутого в наборе формул . Тогда это явно будет содержать все порядковые номера, упомянутые в . Таким образом, мы имеем это тип. Далее отметим, что не реализовано в . Ибо если бы это было так, то были бы такие , которые содержали бы каждый элемент . Если бы мы хотели реализовать тип, у нас могло бы возникнуть искушение рассмотреть структуру , которая на самом деле является расширением структуры, реализующей тип. К сожалению, это расширение не элементарно, например, оно не удовлетворяет . В частности, предложение удовлетворяется этой структурой, а не . ${\displaystyle p(x):=\{n\in _{\omega }x\mid n\in \omega \}}$ ${\displaystyle p_{0}(x)\subseteq p(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle b\in \omega }$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p_{0}(x)}$ ${\displaystyle p_{0}(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle n\in \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \langle \omega +1,\in _{\omega +1}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \exists x\forall y(y\in x\lor y=x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Итак, мы хотим реализовать тип в элементарном расширении. Мы можем сделать это, определив новую L -структуру, которую обозначим . Областью определения структуры будет где - набор целых чисел, оформленный таким образом, что . Пусть обозначает обычный порядок . Мы интерпретируем символ в нашей новой структуре как . Идея состоит в том, что мы добавляем « -цепочку» или копию целых чисел поверх всех конечных порядковых номеров. Очевидно, что любой элемент реализует тип . Более того, можно проверить, что это расширение элементарно. ${\displaystyle {\mathcal {M}}'}$ ${\displaystyle \omega \cup \mathbb {Z} '}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} '}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} '\cap \omega =\emptyset }$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} '}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \in _{{\mathcal {M}}'}=\in _{\omega }\cup <\cup \,(\omega \times \mathbb {Z} ')}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} '}$ ${\displaystyle p(x)}$

Другой пример: полный тип числа 2 над пустым множеством, рассматриваемый как член натуральных чисел, будет набором всех операторов первого порядка (на языке арифметики Пеано ), описывающих переменную x , которые true, когда x  = 2. Этот набор будет включать такие формулы , как , и . Это пример изолированного типа, поскольку, работая над теорией натуральных чисел, из формулы следует все остальные формулы, истинные относительно числа 2. ${\displaystyle \,\!x\neq 1+1+1}$ ${\displaystyle x\leq 1+1+1+1+1}$ ${\displaystyle \exists y(y<x)}$ ${\displaystyle x=1+1}$

В качестве еще одного примера можно привести утверждения

${\displaystyle \forall y(y^{2}<2\implies y<x)}$

и

${\displaystyle \forall y((y>0\land y^{2}>2)\implies y>x)}$

описывающие квадратный корень из 2, согласуются с аксиомами упорядоченных полей и могут быть расширены до полного типа. Этот тип не реализуется в упорядоченном поле рациональных чисел, но реализуется в упорядоченном поле действительных чисел. Аналогично, бесконечное множество формул (над пустым множеством) {x>1, x>1+1, x>1+1+1, ...} не реализуется в упорядоченном поле действительных чисел, а реализуется в упорядоченном поле гиперреальности . Аналогичным образом мы можем указать тип , который реализуется бесконечно малой гиперреальностью, нарушающей архимедово свойство . ${\displaystyle \{0<x<1/n\mid n\in \mathbb {N} \}}$

Причина, по которой полезно ограничить параметры определенным подмножеством модели, заключается в том, что это помогает отличить типы, которые могут быть удовлетворены, от тех, которые не могут быть удовлетворены. Например, используя весь набор действительных чисел в качестве параметров, можно сгенерировать неисчисляемый бесконечный набор формул, таких как , , ..., которые явно исключали бы все возможные действительные значения для x и, следовательно, никогда не могли бы быть реализованы в действительных числах. ${\displaystyle x\neq 1}$ ${\displaystyle x\neq \pi }$

Каменные пространства

Множество полных n -типов над A полезно рассматривать как топологическое пространство . Рассмотрим следующее отношение эквивалентности формул в свободных переменных x ₁ ,..., x _n с параметрами из A :

${\displaystyle \psi \equiv \phi \Leftrightarrow {\mathcal {M}}\models \forall x_{1},\ldots ,x_{n}(\psi (x_{1},\ldots ,x_{n})\leftrightarrow \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})).}$

Можно показать это тогда и только тогда, когда они содержатся в одних и тех же полных типах. ${\displaystyle \psi \equiv \phi }$

Множество формул в свободных переменных x ₁ ,..., x _n над A с точностью до этого отношения эквивалентности является булевой алгеброй (и канонически изоморфно множеству A -определимых подмножеств M ⁿ ). Полные n -типы соответствуют ультрафильтрам этой булевой алгебры. Совокупность полных n -типов можно превратить в топологическое пространство, взяв за основу открытых множеств наборы типов, содержащие данную формулу . Это создает пространство Стоуна , связанное с булевой алгеброй, которое является компактным , Хаусдорфовым и полностью несвязным пространством.

Пример . Полная теория алгебраически замкнутых полей характеристики 0 имеет устранение кванторов , что позволяет показать, что возможные полные 1-типы (над пустым множеством) соответствуют:

• Корни данного неприводимого непостоянного многочлена над рациональными числами со старшим коэффициентом 1. Например, тип квадратных корней из 2. Каждый из этих типов является изолированной точкой пространства Стоуна.
• Трансцендентные элементы , которые не являются корнями какого-либо ненулевого многочлена. Этот тип представляет собой точку в пространстве Стоуна, которая является замкнутой, но не изолированной.

Другими словами, 1-типы в точности соответствуют простым идеалам кольца полиномов Q [ x ] над рациональными числами Q : если r — элемент модели типа p , то идеал, соответствующий p , — это множество многочленов с r в качестве корня (который является нулевым полиномом только в том случае, если r трансцендентный). В более общем смысле, полные n -типы соответствуют простым идеалам кольца полиномов Q [ x ₁ ,..., x _n ], другими словами, точкам простого спектра этого кольца. (Топологию пространства Стоуна на самом деле можно рассматривать как топологию Зариского булевого кольца, естественным образом индуцированную из булевой алгебры. Хотя топология Зариского в общем случае не является хаусдорфовой, она такова в случае булевых колец.) Например, , если q ( x , y ) является неприводимым полиномом от двух переменных, существует 2-тип, реализации которого представляют собой (неформально) пары ( x , y ) элементов с q ( x , y ) = 0.

Теорема об исключении типов

Учитывая полный n -тип p, можно задаться вопросом, существует ли модель теории, которая опускает p , другими словами , в модели нет n -кортежа, который реализует p . Если p — изолированная точка в пространстве Стоуна, т. е. если { p } — открытое множество, легко увидеть, что каждая модель реализует p (по крайней мере, если теория полна). Теорема об исключении типов гласит, что, наоборот, если p не изолирован, то существует счетная модель, опускающая p (при условии, что язык счетен).

Пример : В теории алгебраически замкнутых полей характеристики 0 существует 1-тип, представленный элементами, трансцендентными над простым полем Q. Это неизолированная точка пространства Стоуна (фактически единственная неизолированная точка). Поле алгебраических чисел — это модель, исключающая этот тип, а алгебраическое замыкание любого трансцендентного расширения рациональных чисел — это модель, реализующая этот тип.

Все остальные типы являются «алгебраическими числами» (точнее, наборами утверждений первого порядка, которым удовлетворяет некоторое заданное алгебраическое число), и все такие типы реализуются во всех алгебраически замкнутых полях характеристики 0.

Рекомендации

• Ходжес, Уилфрид (1997). Более короткая модель теории . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-58713-1.
• Чанг, CC ; Кейслер, Х. Джером (1989). Теория моделей (3-е изд.). Эльзевир . ISBN 0-7204-0692-7.
• Маркер, Дэвид (2002). Теория моделей: Введение . Тексты для аспирантов по математике . Том. 217. Спрингер. ISBN 0-387-98760-6.