Ультраметрическое пространство

Тип метрического пространства

В математике ультраметрическое пространство — это метрическое пространство , в котором неравенство треугольника усилено до для всех , и . Иногда связанную метрику также называют неархимедовой метрикой или суперметрикой . ${\displaystyle d(x,z)\leq \max \left\{d(x,y),d(y,z)\right\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Формальное определение

Ультраметрика на множестве M — это вещественная функция .

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

(где ℝ обозначают действительные числа ), такие, что для всех x , y , z ∈ M :

1. d ( Икс , у ) ≥ 0 ;
2. d ( Икс , y ) знак равно d ( y , Икс ) ( симметрия );
3. d ( Икс , Икс ) знак равно 0 ;
4. если d ( x , y ) = 0 , то x = y ;
5. d ( x , z ) ≤ max { d ( x , y ), d ( y , z ) } ( сильное неравенство треугольника или ультраметрическое неравенство ).

Ультраметрическое пространство — это пара ( M , d ) , состоящая из множества M вместе с ультраметрикой d на M , которая называется связанной с пространством функцией расстояния (также называемой метрикой ).

Если d удовлетворяет всем условиям, кроме, возможно, условия 4, то d называется ультрапсевдометрическим на M . Ультрапсевдометрическое пространство — это пара ( M , d ) , состоящая из множества M и ультрапсевдометрического d на M. ^[1]

В случае, когда M является абелевой группой (записанной аддитивно), а d порождается функцией длины (так что ), последнее свойство можно усилить, используя усиление Крулла , чтобы: ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$

${\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$с равенством, если . ${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$

Мы хотим доказать, что если , то равенство имеет место, если . Без ограничения общности предположим, что . Это подразумевает, что . Но мы также можем вычислить . Теперь значение не может быть , поскольку в этом случае мы имеем противоположное исходному предположению. Таким образом, , и . Используя исходное неравенство, имеем и, следовательно , . ${\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$ ${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$ ${\displaystyle \|x\|>\|y\|}$ ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|}$ ${\displaystyle \|x\|=\|(x+y)-y\|\leq \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}}$ ${\displaystyle \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}}$ ${\displaystyle \|y\|}$ ${\displaystyle \|x\|\leq \|y\|}$ ${\displaystyle \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}=\|x+y\|}$ ${\displaystyle \|x\|\leq \|x+y\|}$ ${\displaystyle \|x\|\leq \|x+y\|\leq \|x\|}$ ${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|}$

Характеристики

В треугольнике справа две нижние точки x и y нарушают условие d ( x , y ) ≤ max { d ( x , z ), d ( y , z )}.

Из приведенного выше определения можно сделать вывод о нескольких типичных свойствах ультраметрик. Например, для всех выполняется хотя бы одно из трех равенств или или . То есть каждая тройка точек в пространстве образует равнобедренный треугольник , поэтому всё пространство представляет собой равнобедренное множество . ${\displaystyle x,y,z\in M}$ ${\displaystyle d(x,y)=d(y,z)}$ ${\displaystyle d(x,z)=d(y,z)}$ ${\displaystyle d(x,y)=d(z,x)}$

Определив (открытый) шар радиуса с центром как , мы имеем следующие свойства: ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle B(x;r):=\{y\in M\mid d(x,y)<r\}}$

• Каждая точка внутри шара является его центром, т.е. если то . ${\displaystyle d(x,y)<r}$ ${\displaystyle B(x;r)=B(y;r)}$
• Пересекающиеся шары содержатся друг в друге, т.е. если непусто , то либо или . ${\displaystyle B(x;r)\cap B(y;s)}$ ${\displaystyle B(x;r)\subseteq B(y;s)}$ ${\displaystyle B(y;s)\subseteq B(x;r)}$
• Все шары строго положительного радиуса являются одновременно открытыми и замкнутыми множествами в индуцированной топологии . То есть открытые шары тоже закрыты, а закрытые шары (заменить на ) тоже открыты. ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \leq }$
• Совокупность всех открытых шаров с радиусом и центром в закрытом шаре радиуса образует перегородку последнего, а взаимное расстояние двух различных открытых шаров (больше или) равно . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r}$

Доказательство этих утверждений является поучительным занятием. ^[2] Все они непосредственно вытекают из ультраметрического неравенства треугольника. Обратите внимание, что согласно второму утверждению шар может иметь несколько центральных точек, расстояние между которыми не равно нулю. Интуиция, лежащая в основе таких, казалось бы, странных эффектов, заключается в том, что из-за сильного неравенства треугольника расстояния в ультраметрике не складываются.

Примеры

• Дискретная метрика является ультраметрикой.
• p -адические числа образуют полное ультраметрическое пространство.
• Рассмотрим множество слов произвольной длины (конечной или бесконечной) Σ ^* в некотором алфавите Σ. Определите расстояние между двумя разными словами как 2 ^{− n} , где n — первое место, в котором слова различаются. Полученная метрика является ультраметрикой.
• Множество слов со склеенными концами длины n в некотором алфавите Σ является ультраметрическим пространством относительно p -близкого расстояния. Два слова x и y являются p -близкими, если любая подстрока из p последовательных букв ( p < n ) встречается одинаковое количество раз (которое также может быть равно нулю) как в x , так и в y . ^[3]
• Если r = ( r _n ) — последовательность действительных чисел, убывающая к нулю, то | х | _r  := lim sup _{n →∞} | х _п | ^{r _n} индуцирует ультраметрику в пространстве всех комплексных последовательностей, для которых она конечна. (Обратите внимание, что это не полунорма , поскольку ей не хватает однородности . Если r _n может быть равным нулю, здесь следует использовать довольно необычное соглашение, согласно которому 0 0  = 0.)
• Если G — неориентированный граф , взвешенный по ребрам , все веса ребер положительны, а d ( u , v ) — это вес минимаксного пути между u и v (то есть наибольший вес ребра на пути, выбранном для минимизируйте этот наибольший вес), то вершины графа с расстоянием, измеренным d , образуют ультраметрическое пространство, и все конечные ультраметрические пространства могут быть представлены таким образом. ^[4]

Приложения

• Тогда сжимающее отображение можно рассматривать как способ аппроксимации конечного результата вычисления (существование которого может быть гарантировано банаховой теоремой о неподвижной точке ). Подобные идеи можно найти в теории предметной области . p -адический анализ активно использует ультраметрическую природу p -адической метрики .
• В физике конденсированного состояния самоусредняющееся перекрытие между спинами в модели SK спиновых стекол демонстрирует ультраметрическую структуру, причем решение дается с помощью процедуры нарушения симметрии полной реплики, впервые описанной Джорджио Паризи и его коллегами. ^[5] Ультраметричность появляется и в теории апериодических твердых тел. ^[6]
• В таксономии и построении филогенетических деревьев ультраметрические расстояния также используются методами UPGMA и WPGMA . ^[7] Эти алгоритмы требуют предположения о постоянной скорости и создают деревья, в которых расстояния от корня до каждой вершины ветвей равны. Когда анализируются данные ДНК , РНК и белков , предположение об ультраметричности называется молекулярными часами .
• В моделях перемежаемости в трехмерной турбулентности жидкостей используются так называемые каскады, а в дискретных моделях - диадические каскады, имеющие ультраметрическую структуру. ^[8]
• В географии и ландшафтной экологии ультраметрические расстояния применялись для измерения сложности ландшафта и оценки того, насколько одна функция ландшафта важнее другой. ^[9]

Рекомендации

1. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 1–18.
2. «Ультраметрическое неравенство треугольника». Обмен стеками .
3. Осипов, Гуткин (2013), «Кластеризация периодических орбит в хаотических системах», Нелинейность , 26 (26): 177–200, Бибкод : 2013Nonli..26..177G, doi : 10.1088/0951-7715/26/1 /177.
4. Леклерк, Бруно (1981), «Комбинированное описание ультраметрических измерений», Centre de Mathématique Sociale. Практическая школа высоких исследований. Mathématiques et Sciences Humaines (на французском языке) (73): 5–37, 127, MR  0623034.
5. Мезар, М; Паризи, Дж; и Вирасоро, М.: ТЕОРИЯ СПИНОВОГО СТЕКЛА И ЗА ее пределами , World Scientific, 1986. ISBN 978-9971-5-0116-7. 
6. Раммал, Р.; Тулуза, Г.; Вирасоро, М. (1986). «Ультраметричность для физиков». Обзоры современной физики . 58 (3): 765–788. Бибкод : 1986РвМП...58..765Р. дои : 10.1103/RevModPhys.58.765 . Проверено 20 июня 2011 г.
7. Лежандр П. и Лежандр Л. 1998. Численная экология. Второе английское издание. Развитие экологического моделирования 20. Elsevier, Амстердам.
8. Бензи, Р.; Биферале, Л.; Трубадур, Э. (1997). «Ультраметрическая структура многомасштабных энергетических корреляций в турбулентных моделях». Письма о физических отзывах . 79 (9): 1670–1674. arXiv : чао-дин/9705018 . Бибкод : 1997PhRvL..79.1670B. doi :10.1103/PhysRevLett.79.1670. S2CID  53120932.
9. Пападимитриу, Фивос (2013). «Математическое моделирование землепользования и сложности ландшафта с ультраметрической топологией». Журнал науки о землепользовании . 8 (2): 234–254. дои : 10.1080/1747423x.2011.637136 . ISSN  1747-423X. S2CID  121927387.

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.

дальнейшее чтение

• Капланский, И. (1977), Теория множеств и метрические пространства , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2694-2.