Обратные величины простых чисел

Последовательность чисел

Обратные величины простых чисел интересовали математиков по разным причинам. Они не имеют конечной суммы , как доказал Леонард Эйлер в 1737 году.

Подобно рациональным числам , обратные простым числам имеют повторяющиеся десятичные представления. В последние годы своей жизни Джордж Салмон (1819–1904) интересовался повторяющимися периодами этих десятичных представлений обратных простым числам. ^[1]

В то же время Уильям Шэнкс (1812–1882) вычислил многочисленные обратные величины простых чисел и их повторяющиеся периоды и опубликовал две статьи «О периодах обратных величин простых чисел» в 1873 ^[2] и 1874 годах. ^[3] В 1874 году он также опубликовал таблицу простых чисел и периодов их обратных величин до 20 000 (с помощью и «сообщением преподобного Джорджа Салмона») и указал на ошибки в предыдущих таблицах трех других авторов. ^[4]

Последняя часть таблицы простых чисел и их повторяющихся периодов Шэнкса 1874 года. В верхней строке 6952 должно быть 6592 (ошибку легко найти, так как период для простого числа p должен делить p − 1 ). В своем отчете о расширении таблицы до 30 000 в том же году Шэнкс не сообщил об этой ошибке, но сообщил, что в том же столбце, напротив 19841, 1984 должно быть 64. *Еще одна ошибка, которая могла быть исправлена ​​после публикации его работы, находится напротив 19423, обратная величина повторяется каждые 6474 цифры, а не каждые 3237.

Правила вычисления периодов повторяющихся десятичных дробей из рациональных дробей были даны Джеймсом Уитбредом Ли Глейшером в 1878 году. ^[5] Для простого числа p период его обратной дроби делит p − 1. [ ^6]

Последовательность периодов повторения обратных простых чисел (последовательность A002371 в OEIS ) представлена ​​в «Справочнике по целочисленным последовательностям» 1973 года.

Список обратных величин простых чисел

* Полные повторяющиеся простые числа выделены курсивом.
† Уникальные простые числа выделены.

Полные повторные простые числа

Полное повторное простое число , полное повторное простое число , собственное простое число ^{[7] : 166} или длинное простое число в системе счисления с основанием b — это нечетное простое число p, такое что частное Ферма

${\displaystyle q_{p}(b)={\frac {b^{p-1}-1}{p}}}$

(где p не делит b ) дает циклическое число с p − ​​1 цифрами. Следовательно, расширение  основания b повторяет цифры соответствующего циклического числа бесконечно. ${\displaystyle 1/p}$

Уникальные простые числа

Простое число p (где p ≠ 2, 5 при работе в десятичной системе счисления) называется уникальным, если не существует другого простого числа q такого, что длина периода десятичного разложения его обратной величины , 1/ p , равна длине периода обратной величины q , 1/ q . ^[8] Например, 3 — единственное простое число с периодом 1, 11 — единственное простое число с периодом 2, 37 — единственное простое число с периодом 3, 101 — единственное простое число с периодом 4, поэтому они являются уникальными простыми числами. Следующее по величине уникальное простое число — 9091 с периодом 10, хотя следующим по величине периодом является 9 (его простое число равно 333667). Уникальные простые числа были описаны Сэмюэлем Йейтсом в 1980 году. ^[9] Простое число p уникально тогда и только тогда, когда существует n такое, что

${\displaystyle {\frac {\Phi _{n}(10)}{\gcd(\Phi _{n}(10),n)}}}$

является степенью p , где обозначает циклотомический полином th , оцененный в . Значение n тогда является периодом десятичного разложения 1/ p . ^[10] ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$

В настоящее время известно более пятидесяти уникальных простых чисел или вероятных простых чисел . Однако существует только двадцать три уникальных простых числа ниже 10 ¹⁰⁰ .

Десятичные уникальные простые числа:

3, 11, 37, 101, 9091, 9901, 333667, 909091, ... (последовательность A040017 в OEIS ).

Ссылки

1. "Некрологи – Джордж Салмон". Труды Лондонского математического общества . Вторая серия. 1 : xxii–xxviii. 1904. Получено 27 марта 2022 г. ... была одна отрасль вычислений, которая его очень увлекала. Это было определение количества цифр в повторяющихся периодах в числах, обратных простым числам.
2. Шэнкс, Уильям (1873). «О периодах обратных чисел простых чисел». Вестник математики . II : 41–43 . Получено 27 марта 2022 г.
3. Шэнкс, Уильям (1874). «О периодах обратных чисел простых чисел». Вестник математики . III : 52–55 . Получено 27 марта 2022 г.
4. Шэнкс, Уильям (1874). «О числе фигур в периоде обратного числа каждого простого числа ниже 20 000». Труды Лондонского королевского общества . 22 : 200–210 . Получено 27 марта 2022 г.
5. Глейшер, Дж. У. Л. (1878). «О циркулирующих десятичных дробях с особой ссылкой на «Таблицу окружностей» Генри Гудвина и «Табличную серию десятичных частных». Труды Кембриджского философского общества: Математические и физические науки . 3 (V): 185–206 . Получено 27 марта 2022 г.
6. Кук, Джон Д. «Числа, обратные простым». johndcook.com . Получено 6 апреля 2022 г. .
7. Диксон, Леонард Э., 1952, История теории чисел, том 1 , Chelsea Public. Co.
8. Колдуэлл, Крис. "Уникальное простое число". The Prime Pages . Получено 11 апреля 2014 г.
9. Йейтс, Сэмюэл (1980). «Периоды уникальных простых чисел». Math. Mag . 53 : 314. Zbl  0445.10009.
10. "Обобщенный уникальный". Prime Pages . Получено 9 декабря 2023 г.

Внешние ссылки

• Паркер, Мэтт (14 марта 2022 г.). «Величины, обратные простым — Numberphile». YouTube .