Графики движения и производные

Зеленая линия показывает наклон графика скорости-времени в той точке, где две линии соприкасаются . Его наклон — это ускорение в этой точке.

В механике производная графика зависимости положения объекта от времени равна скорости объекта. В Международной системе единиц положение движущегося объекта измеряется в метрах относительно начала координат , а время измеряется в секундах . Поместив положение на ось Y и время на ось X , наклон кривой определяется следующим образом:

${\displaystyle v={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}.}$

Вот положение объекта и время. Следовательно, наклон кривой дает изменение положения, деленное на изменение во времени, что является определением средней скорости для этого интервала времени на графике. Если этот интервал сделать бесконечно малым, например, становится и становится , результатом будет мгновенная скорость в момент времени или производная положения по времени. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\Delta s}}$ ${\displaystyle {ds}}$ ${\displaystyle {\Delta t}}$ ${\displaystyle {dt}}$ ${\displaystyle t}$

Аналогичный факт справедлив и для графика зависимости скорости от времени. Наклон графика зависимости скорости от времени представляет собой ускорение , на этот раз скорость откладывается по оси Y, а время — по оси X. И снова наклон линии меняется по сравнению с изменением : ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}}$

где скорость, а время. Таким образом, этот наклон определяет среднее ускорение на интервале, а бесконечно малое сокращение интервала дает мгновенное ускорение в момент времени или производную скорости по времени (или вторую производную положения по времени). В системе СИ этот наклон или производная выражается в метрах в секунду в секунду ( обычно называемых «метрами в секунду в квадрате»). ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {dv}{dt}}\end{matrix}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathrm {m/s^{2}} }$

Поскольку скорость объекта является производной графика положения, площадь под линией на графике зависимости скорости от времени представляет собой смещение объекта. (Скорость отложена по оси Y, а время — по оси X. Умножая скорость на время, время сокращается, и остается только смещение.)

То же правило умножения справедливо и для графиков зависимости ускорения от времени. Когда ускорение умножается

Переменная скорость изменения

В этом примере желтая область представляет смещение объекта при его движении. ( Расстояние можно измерить, взяв абсолютное значение функции.) Три зеленые линии представляют значения ускорения в различных точках кривой.

Выражения, приведенные выше, применимы только тогда, когда скорость изменения постоянна или когда требуется только средняя ( средняя ) скорость изменения. Если скорость или положение изменяются со временем нелинейно , как в примере, показанном на рисунке, то дифференцирование дает правильное решение. Дифференциация уменьшает использованные выше промежутки времени до чрезвычайно малых ( бесконечно малых ) и дает скорость или ускорение в каждой точке графика, а не между начальной и конечной точкой. Производные формы приведенных выше уравнений:

${\displaystyle v={\frac {ds}{dt}},}$

${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}.}$

Поскольку ускорение отличает выражение, включающее положение, его можно переписать как вторую производную по времени:

${\displaystyle a={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}.}$

Поскольку для целей такой механики интегрирование противоположно дифференцированию, также возможно выразить положение как функцию скорости, а скорость как функцию ускорения. Процесс определения площади под кривой, как описано выше, может дать смещение и изменение скорости за определенные интервалы времени, используя определенные интегралы :

${\displaystyle s(t_{2})-s(t_{1})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{v}\,dt,}$

${\displaystyle v(t_{2})-v(t_{1})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{a}\,dt.}$

Смотрите также

• Смещение (вектор)
• Скорость
• Ускорение
• Кинематика

Рекомендации

• Вольфсон, Ричард; Джей М. Пасачофф (1999). Физика для ученых и инженеров (3-е изд.). Ридинг, Массачусетс : Аддисон-Уэсли . стр. 23–38. ISBN 0-321-03571-2.