Диаграмма Венна

Диаграмма, показывающая все возможные логические связи между наборами множеств.

Диаграмма Венна, показывающая заглавные буквы, общие для греческого (вверху слева), латинского (вверху справа) и русского кириллического (внизу) алфавитов.

Диаграмма Венна — широко используемый стиль диаграмм , показывающий логическую связь между множествами , популяризированный Джоном Венном (1834–1923) в 1880-х годах. Диаграммы используются для обучения элементарной теории множеств и для иллюстрации простых отношений множеств в теории вероятностей , логике , статистике , лингвистике и информатике . Диаграмма Венна использует простые замкнутые кривые, нарисованные на плоскости, для представления множеств. Очень часто эти кривые представляют собой окружности или эллипсы.

Похожие идеи предлагались и до Веннона, например, Христианом Вайзе в 1712 году ( Nucleus Logicoe Wiesianoe ) и Леонардом Эйлером ( Письма к немецкой принцессе ) в 1768 году. Эта идея была популяризирована Венном в «Символической логике» , глава V «Диаграммное представление», опубликованной в 1881 году.

Подробности

Диаграмма Венна, также называемая диаграммой множеств или логической диаграммой , показывает все возможные логические отношения между конечным набором различных множеств. Эти диаграммы изображают элементы как точки на плоскости, а множества как области внутри замкнутых кривых. Диаграмма Венна состоит из нескольких перекрывающихся замкнутых кривых, обычно кругов, каждая из которых представляет множество. Точки внутри кривой, обозначенной S, представляют элементы множества S , в то время как точки за пределами границы представляют элементы, не входящие в множество S. Это поддается интуитивной визуализации; например, множество всех элементов, которые являются членами обоих множеств S и T , обозначаемое S  ∩  T и читаемое как «пересечение S и T », визуально представлено областью перекрытия областей S и T. [ ^1]

В диаграммах Венна кривые перекрываются всеми возможными способами, показывая все возможные отношения между множествами. Таким образом, они являются особым случаем диаграмм Эйлера , которые не обязательно показывают все отношения. Диаграммы Венна были придуманы около 1880 года Джоном Венном. Они используются для обучения элементарной теории множеств, а также для иллюстрации простых отношений множеств в теории вероятности, логике, статистике, лингвистике и информатике.

Диаграмма Венна, в которой площадь каждой фигуры пропорциональна числу содержащихся в ней элементов, называется пропорциональной площади (или масштабированной ) диаграммой Венна .

Пример

Множество существ с двумя ногами и существ, которые летают

В этом примере задействованы два набора существ, представленных здесь в виде цветных кругов. Оранжевый круг представляет все типы существ, у которых есть две ноги. Синий круг представляет существа, которые могут летать. Каждый отдельный тип существ можно представить как точку где-то на диаграмме. Живые существа, у которых есть две ноги и которые могут летать, например, попугаи, находятся в обоих наборах, поэтому они соответствуют точкам в области, где пересекаются синий и оранжевый круги. Эта перекрывающаяся область будет содержать только те элементы (в этом примере существа), которые являются членами как оранжевого набора (двуногие существа), так и синего набора (летающие существа).

Люди и пингвины двуногие, поэтому находятся в оранжевом круге, но поскольку они не умеют летать, они появляются в левой части оранжевого круга, где он не пересекается с синим кругом. Комары умеют летать, но у них шесть, а не две ноги, поэтому точка для комаров находится в той части синего круга, которая не пересекается с оранжевым. Существа, которые не являются ни двуногими, ни умеют летать (например, киты и пауки), будут представлены точками за пределами обоих кругов.

Объединенная область двух множеств называется их объединением , обозначаемым как A ∪ B , где A — оранжевый круг, а B — синий. Объединение в этом случае содержит всех живых существ, которые либо двуногие, либо умеют летать (или и то, и другое). Область, входящая в оба множества A и B, где эти два множества перекрываются, называется пересечением A и B , обозначаемым как A ∩ B.

История

Витраж с диаграммой Венна в колледже Гонвилля и Кая, Кембридж

Диаграммы Венна были введены в 1880 году Джоном Венном в статье под названием «О диаграммном и механическом представлении предложений и рассуждений» ^[2] в Philosophical Magazine and Journal of Science ^[3] , посвященной различным способам представления предложений с помощью диаграмм. ^{[4] [5] [6]} Использование этих типов диаграмм в формальной логике , по мнению Фрэнка Раски и Марка Уэстона, предшествовало Венну, но «по праву ассоциируется» с ним, поскольку он «всесторонне обследовал и формализовал их использование и был первым, кто обобщил их». ^[7]

Диаграммы перекрывающихся окружностей, представляющих объединения и пересечения, были введены каталонским философом Рамоном Луллием (ок. 1232–1315/1316) в 13 веке, который использовал их для иллюстрации комбинаций основных принципов. ^[8] Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) создал похожие диаграммы в 17 веке (хотя большая часть этой работы не была опубликована), как и Иоганн Христиан Ланге в работе 1712 года, описывающей вклад Кристиана Вайзе в логику. ^{[9] [8]} Диаграммы Эйлера , которые похожи на диаграммы Венна, но не обязательно содержат все возможные объединения и пересечения, впервые стали известны математику Леонарду Эйлеру в 18 веке. ^{[примечание 1] [10] [11]}

Венн не использовал термин «диаграмма Венна» и называл эту концепцию «кругами Эйлера». ^[6] Он познакомился с диаграммами Эйлера в 1862 году и писал, что диаграммы Венна не приходили ему в голову «гораздо позже», когда он пытался адаптировать диаграммы Эйлера к булевой логике . ^[12] В первом предложении своей статьи 1880 года Венн писал, что диаграммы Эйлера были единственным схематическим представлением логики, получившим «какое-либо общее признание». ^{[4] [5]}

Венн рассматривал свои диаграммы как педагогический инструмент, аналогичный проверке физических концепций посредством эксперимента. В качестве примера их применения он отметил, что диаграмма из трех множеств может показать силлогизм : «Все A есть некоторое B. Ни одно B не есть никакое C. Следовательно, ни одно A не есть никакое C ». ^[12]

Чарльз Л. Доджсон (Льюис Кэрролл) включает «Метод диаграмм Венна», а также «Метод диаграмм Эйлера» в «Приложение, адресованное учителям» своей книги «Символическая логика» (4-е издание, опубликовано в 1896 году). Термин «диаграмма Венна» позже был использован Кларенсом Ирвингом Льюисом в 1918 году в его книге «Обзор символической логики» . ^{[7] [13]}

В 20 веке диаграммы Венна получили дальнейшее развитие. Дэвид Уилсон Хендерсон показал в 1963 году, что существование n -диаграммы Венна с n -кратной вращательной симметрией подразумевает, что n является простым числом . ^[14] Он также показал, что такие симметричные диаграммы Венна существуют, когда n равно пяти или семи. В 2002 году Питер Гамбургер нашел симметричные диаграммы Венна для n = 11, а в 2003 году Григгс, Киллиан и Сэвидж показали, что симметричные диаграммы Венна существуют для всех остальных простых чисел. Эти объединенные результаты показывают, что вращательно-симметричные диаграммы Венна существуют, если и только если n является простым числом. ^[15]

Диаграммы Венна и Эйлера были включены в обучение теории множеств как часть нового математического движения в 1960-х годах. С тех пор они также были приняты в учебную программу других областей, таких как чтение. ^[16]

Массовая культура

Диаграммы Венна широко использовались в мемах . ^[17] По крайней мере один политик был высмеян за неправильное использование диаграмм Венна. ^[18]

Обзор

• 
  Пересечение двух множеств ${\displaystyle ~A\cap B}$
• 
  Объединение двух множеств ${\displaystyle ~A\cup B}$
• 
  Симметричная разность двух множеств ${\displaystyle A~\triangle ~B}$
• 
  Относительное дополнение A ( слева) к B (справа) ${\displaystyle A^{c}\cap B~=~B\setminus A}$
• 
  Абсолютное дополнение A в U ${\displaystyle A^{c}~=~U\setminus A}$

Диаграмма Венна строится с помощью набора простых замкнутых кривых, нарисованных на плоскости. Согласно Льюису, ^[13] «принцип этих диаграмм заключается в том, что классы [или множества ] должны быть представлены областями в таком отношении друг к другу, что все возможные логические отношения этих классов могут быть указаны на одной и той же диаграмме. То есть, диаграмма изначально оставляет место для любого возможного отношения классов, а фактическое или заданное отношение затем может быть указано путем указания того, что некоторая конкретная область является нулевой или ненулевой». ^{[13] : 157}

Диаграммы Венна обычно состоят из перекрывающихся кругов . Внутренняя часть круга символически представляет элементы множества, в то время как внешняя часть представляет элементы, которые не являются членами множества. Например, в двухмножественной диаграмме Венна один круг может представлять группу всех деревянных предметов, в то время как другой круг может представлять набор всех столов. Перекрывающаяся область, или пересечение , тогда будет представлять набор всех деревянных столов. Формы, отличные от кругов, могут использоваться, как показано ниже, собственными высшими диаграммами множеств Венна. Диаграммы Венна, как правило, не содержат информации об относительных или абсолютных размерах ( мощности ) множеств. То есть, они представляют собой схематические диаграммы, как правило, нарисованные не в масштабе.

Диаграммы Венна похожи на диаграммы Эйлера. Однако диаграмма Венна для n наборов компонентов должна содержать все 2 ⁿ гипотетически возможных зон, которые соответствуют некоторой комбинации включения или исключения в каждом из наборов компонентов. ^[19] Диаграммы Эйлера содержат только фактически возможные зоны в данном контексте. В диаграммах Венна заштрихованная зона может представлять пустую зону, тогда как в диаграмме Эйлера соответствующая зона отсутствует на диаграмме. Например, если один набор представляет молочные продукты , а другой — сыры , диаграмма Венна содержит зону для сыров, которые не являются молочными продуктами. Предполагая, что в контексте сыр означает некоторый тип молочного продукта, диаграмма Эйлера имеет сырную зону, полностью содержащуюся в зоне молочных продуктов — нет зоны для (несуществующего) немолочного сыра. Это означает, что по мере увеличения числа контуров диаграммы Эйлера, как правило, визуально менее сложны, чем эквивалентная диаграмма Венна, особенно если число непустых пересечений мало. ^[20]

Разницу между диаграммами Эйлера и Венна можно увидеть в следующем примере. Возьмем три набора:

• ${\displaystyle A=\{1,\,2,\,5\}}$
• ${\displaystyle B=\{1,\,6\}}$
• ${\displaystyle C=\{4,\,7\}}$

Диаграммы Эйлера и Венна этих множеств следующие:

• 
  Диаграмма Эйлера
• 
  Диаграмма Венна

Расширения для большего количества наборов

Диаграммы Венна обычно представляют два или три множества, но существуют формы, которые допускают большее число. Показанные ниже четыре пересекающиеся сферы образуют диаграмму Венна наивысшего порядка, которая имеет симметрию симплекса и может быть визуально представлена. 16 пересечений соответствуют вершинам тессеракта ( или ячейкам 16-ячеечного , соответственно).

Для большего числа множеств неизбежна некоторая потеря симметрии в диаграммах. Венн стремился найти «симметричные фигуры... элегантные сами по себе» ^[10] , которые представляли бы большее число множеств, и он разработал элегантную диаграмму из четырех множеств с использованием эллипсов (см. ниже). Он также дал конструкцию для диаграмм Венна для любого числа множеств, где каждая последующая кривая, ограничивающая множество, перемежается с предыдущими кривыми, начиная с диаграммы из трех кругов.

• 
  Конструкция Венна для четырех множеств (для вычисления используется код Грея , цифра 1 означает, что элемент входит в множество, а цифра 0 означает, что элемент не входит в множество)
• 
  Конструкция Венна для пяти сетов
• 
  Конструкция Венна для шести сетов
• 
  Диаграмма Венна с четырьмя множествами, использующая эллипсы
• 
  Непример: эта диаграмма Эйлера не является диаграммой Венна для четырех множеств, поскольку она имеет только 14 областей, а не 2 ⁴ = 16 областей (включая белую область); нет области, где встречаются только желтый и синий или только красный и зеленый круги.
• 
  Пятимножественная диаграмма Венна, использующая конгруэнтные эллипсы в пятикратном вращательно-симметричном расположении, разработанная Бранко Грюнбаумом . Метки были упрощены для большей читабельности; например, A обозначает A ∩ B ^c ∩ C ^c ∩ D ^c ∩ E ^c , в то время как BCE обозначает A ^c ∩ B ∩ C ∩ D ^c ∩ E .
• 
  Диаграмма Венна из шести множеств, состоящая только из треугольников (интерактивная версия)

Диаграммы Эдвардса–Венна

• 
  Три комплекта
• 
  Четыре комплекта
• 
  Пять комплектов
• 
  Шесть сетов

Энтони Уильям Фэрбэнк Эдвардс построил ряд диаграмм Венна для большего числа множеств, сегментируя поверхность сферы, которые стали известны как диаграммы Эдвардса–Венна. ^[21] Например, три множества можно легко представить, взяв три полушария сферы под прямым углом ( x  = 0, y  = 0 и z  = 0). Четвертый набор можно добавить к представлению, взяв кривую, похожую на шов на теннисном мяче, который закручивается вверх и вниз вокруг экватора, и так далее. Полученные множества затем можно спроецировать обратно на плоскость, чтобы получить диаграммы зубчатого колеса с увеличивающимся числом зубцов — как показано здесь. Эти диаграммы были придуманы во время проектирования витража в память о Венне. ^[21]

Другие диаграммы

Диаграммы Эдвардса–Венна топологически эквивалентны диаграммам, разработанным Бранко Грюнбаумом , которые были основаны на пересекающихся многоугольниках с увеличивающимся числом сторон. Они также являются двумерными представлениями гиперкубов .

Генри Джон Стивен Смит разработал аналогичные диаграммы n -множеств, используя синусоидальные кривые ^[21] с рядом уравнений $${\displaystyle y_{i}={\frac {\sin \left(2^{i}x\right)}{2^{i}}}{\text{ where }}0\leq i\leq n-1{\text{ and }}i\in \mathbb {N} .}$$

Чарльз Лютвидж Доджсон (также известный как Льюис Кэрролл) разработал диаграмму из пяти множеств, известную как квадрат Кэрролла . Хоакин и Бойлс, с другой стороны, предложили дополнительные правила для стандартной диаграммы Венна, чтобы учесть некоторые проблемные случаи. Например, относительно вопроса представления единичных утверждений, они предлагают рассматривать круг диаграммы Венна как представление множества вещей и использовать логику первого порядка и теорию множеств для обработки категорических утверждений как утверждений о множествах. Кроме того, они предлагают обрабатывать единичные утверждения как утверждения о принадлежности множеству . Так, например, чтобы представить утверждение «a is F» в этой переоснащенной диаграмме Венна, маленькая буква «a» может быть помещена внутри круга, который представляет множество F. ^[22]

Связанные концепции

Диаграмма Венна как таблица истинности

Диаграммы Венна соответствуют таблицам истинности для предложений , и т.д., в том смысле, что каждая область диаграммы Венна соответствует одной строке таблицы истинности. ^{[23] [24] Этот тип также известен как диаграмма Джонстона. Другой способ представления множеств — с помощью} R-диаграмм Джона Ф. Рэндольфа . ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x\in B}$

Смотрите также

• Экзистенциальный граф ( Чарльз Сандерс Пирс )
• Логические связки
• Информационная диаграмма
• Диаграмма Маркванда (и как ее дальнейший вывод диаграмма Вейтча и карта Карно )
• Сферический октаэдр – стереографическая проекция правильного октаэдра создает трехмерную диаграмму Венна в виде трех ортогональных больших окружностей, каждая из которых делит пространство на две половины.
• Демонстратор Стэнхоупа
• Модель трех кругов
• Трикветра
• Vesica piscis
• Расстроенный сюжет

Примечания

1. В «Письмах Эйлера к принцессе d'Allemagne sur divers sujets de Physique et de philosophie» [Письма немецкой принцессе на различные физические и философские темы] (Санкт-Петербург, Россия: l'Academie Impériale des Sciences, 1768), том 2, страницы 95-126. Однако в статье Венна он предполагает, что схематическая идея возникла раньше Эйлера и принадлежит Кристиану Вайзе или Иоганну Кристиану Ланге (в книге Ланге Nucleus Logicae Weisianae (1712)).

Ссылки

1. "Пересечение множеств". web.mnstate.edu . Архивировано из оригинала 2020-08-04 . Получено 2020-09-05 .
2. Венн, Джон. «О диаграммном и механическом представлении предложений и рассуждений» (PDF) . Penn Engineering .
3. "The Philosophical Magazine: A Journal of Theoretical Experimental and Applied Physics". Тейлор и Фрэнсис . Получено 2021-08-06 .
4. Venn, John (июль 1880 г.). "I. On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings" (PDF) . The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science . 5. 10 (59): 1–18. doi :10.1080/14786448008626877. Архивировано (PDF) из оригинала 2017-05-16.[1] [2]
5. Венн, Джон (1880). «Об использовании геометрических диаграмм для разумных представлений логических предложений». Труды Кембриджского философского общества . 4 : 47–59.
6. Sandifer, Ed (2003). "How Euler Did It" (PDF) . MAA Online . Математическая ассоциация Америки (MAA) . Получено 26.10.2009 .
7. Ruskey, Frank ; Weston, Mark (2005-06-18). "Обзор диаграмм Венна". Электронный журнал комбинаторики .
8. Baron, Margaret E. (май 1969). «Заметка об историческом развитии логических диаграмм». The Mathematical Gazette . 53 (384): 113–125. doi :10.2307/3614533. JSTOR  3614533. S2CID  125364002.
9. Лейбниц, Готфрид Вильгельм (1903) [ок. 1690]. «De Formae Logicae per Linearum ductus». В Кутюра, Луи (ред.). Opuscules et фрагменты inedits де Лейбница (на латыни). стр. 292–321.
10. Венн, Джон (1881). Символическая логика. Macmillan . стр. 108. Получено 2013-04-09 .
11. Mac Queen, Gailand (октябрь 1967). Логическая диаграмма (PDF) (диссертация). Университет Макмастера . Архивировано из оригинала (PDF) 2017-04-14 . Получено 2017-04-14 .(Примечание. Содержит подробную историю эволюции логических диаграмм, включая, помимо прочего, диаграмму Венна.)
12. Verburgt, Lukas M. (апрель 2023 г.). «Венн за диаграммой». Mathematics Today . Vol. 59, no. 2. Institute of Mathematics and its Applications . pp. 53–55.
13. Льюис, Кларенс Ирвинг (1918). Обзор символической логики. Беркли: Издательство Калифорнийского университета .
14. Хендерсон, Дэвид Уилсон (апрель 1963 г.). «Диаграммы Венна для более чем четырех классов». American Mathematical Monthly . 70 (4): 424–426. doi :10.2307/2311865. JSTOR  2311865.
15. Раски, Фрэнк ; Сэвидж, Карла Д.; Вагон , Стэн (декабрь 2006 г.). «Поиск простых симметричных диаграмм Венна» (PDF) . Уведомления AMS . 53 (11): 1304–1311.
16. "Стратегии понимания прочитанного с помощью диаграмм Венна". Архивировано из оригинала 29-04-2009 . Получено 20-06-2009 .
17. Лео, Алекс (2010-03-18). «Иисус, караоке и серийные убийцы: самые смешные диаграммы Венна, которые может предложить Интернет». Huffpost . Получено 2024-10-02 .
18. Моран, Ли (15.12.2018). «Скотт Уокер подвергается беспощадным насмешкам со стороны пользователей Twitter из-за провала диаграммы Венна». HuffPost . Получено 02.10.2024 .
19. Вайсштейн, Эрик В. «Диаграмма Венна». mathworld.wolfram.com . Проверено 05 сентября 2020 г.
20. "Диаграммы Эйлера 2004: Брайтон, Великобритания: 22–23 сентября". Проект Reasoning with Diagrams, Университет Кента. 2004. Получено 13 августа 2008 г.
21. Edwards, Anthony William Fairbank (2004). Шестеренки разума: История диаграмм Венна. Балтимор, Мэриленд, США: Johns Hopkins University Press . стр. 65. ISBN 978-0-8018-7434-5..
22. Хоакин, Джеремайя Ховен; Бойлз, Роберт Джеймс М. (июнь 2017 г.). «Обучение силлогистической логике с помощью переработанной техники диаграмм Венна». Teaching Philosophy . 40 (2): 161–180. doi :10.5840/teachphil201771767. Архивировано из оригинала 21.11.2018 . Получено 12.05.2020 .
23. Гримальди, Ральф П. (2004). Дискретная и комбинаторная математика . Бостон: Addison-Wesley . С. 143. ISBN 978-0-201-72634-3.
24. Джонсон, Дэвид Л. (2001). "3.3 Законы". Элементы логики через числа и множества. Springer Undergraduate Mathematics Series. Берлин, Германия: Springer-Verlag . стр. 62. ISBN 978-3-540-76123-5.

Дальнейшее чтение

• Mahmoodian, Ebadollah S. ; Rezaie, M.; Vatan, F. (март 1987 г.). "Обобщение диаграммы Венна" (PDF) . Восемнадцатая ежегодная иранская математическая конференция . Тегеран и Исфахан, Иран. Архивировано из оригинала (PDF) 2017-05-01 . Получено 2017-05-01 .
• Эдвардс, Энтони Уильям Фэрбэнк (1989-01-07). «Диаграммы Венна для многих множеств». New Scientist . 121 (1646): 51–56.
• Уоткинсон, Джон (1990). "4.10. Расстояние Хэмминга". Кодирование для цифровой записи . Стоунхэм, Массачусетс, США: Focal Press . стр. 94–99, раскладушка в обложке. ISBN 978-0-240-51293-8.(Примечание. В книгу включен трехстраничный разворот семибитной цилиндрической диаграммы Венна.)
• Стюарт, Ян (июнь 2003 г.) [1992 г.]. «Глава 4. Шестеренки разума». Another Fine Math You've Got Me Into (переиздание 1-го изд.). Минеола, Нью-Йорк, США: Dover Publications, Inc. ( WH Freeman ). стр. 51–64. ISBN 978-0-486-43181-9.
• Glassner, Andrew (2004). «Venn and Now». Морфы, кряквы и монтажи: компьютерное воображение . Уэллсли, Массачусетс, США: AK Peters . стр. 161–184. ISBN 978-1568812311.
• Mamakani, Khalegh; Ruskey, Frank (2012-07-27). "A New Rose: The First Simple Symmetric 11-Venn Diagram". стр. 6452. arXiv : 1207.6452 . Bibcode :2012arXiv1207.6452M. Архивировано из оригинала 2017-05-01 . Получено 2017-05-01 .

Внешние ссылки

• «Диаграмма Венна», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Логическая игра Льюиса Кэрролла – Венн против Эйлера в Cut-the-knot
• Шесть наборов диаграмм Венна, составленных из треугольников
• Интерактивная диаграмма Венна из семи множеств
• VBVenn — бесплатная программа с открытым исходным кодом для расчета и построения количественных двухкруговых диаграмм Венна.
• InteractiVenn — веб-инструмент для визуализации диаграмм Венна
• DeepVenn — инструмент для создания пропорциональных по площади диаграмм Венна