В геометрии вершинная фигура , в широком смысле, — это фигура, которая получается при отрезании угла многогранника или политопа .
Возьмите какой-нибудь угол или вершину многогранника . Отметьте точку где-нибудь вдоль каждого связанного ребра. Проведите линии через связанные грани, соединяя соседние точки вокруг грани. Когда закончите, эти линии образуют полную цепь, т . е. многоугольник, вокруг вершины. Этот многоугольник является вершинной фигурой.
Более точные формальные определения могут варьироваться довольно широко, в зависимости от обстоятельств. Например, Коксетер (например, 1948, 1954) изменяет свое определение в зависимости от текущей области обсуждения. Большинство из следующих определений вершинной фигуры одинаково хорошо применимы к бесконечным мозаикам или, в более широком смысле, к заполняющей пространство мозаике с ячейками многогранников и другими многогранниками более высокой размерности .
Сделайте разрез через угол многогранника, разрезая все ребра, соединенные с вершиной. Поверхность разреза — это вершинная фигура ( плоская фигура ). Это, пожалуй, самый распространенный подход и самый простой для понимания. Разные авторы делают разрез в разных местах. Веннингер (2003) разрезает каждое ребро на единичном расстоянии от вершины, как и Коксетер (1948). Для однородных многогранников конструкция Дормана Люка разрезает каждое соединенное ребро в его средней точке. Другие авторы делают разрез через вершину на другом конце каждого ребра. [1] [2]
Для неправильного многогранника разрезание всех ребер, инцидентных данной вершине на равных расстояниях от вершины, может дать фигуру, которая не лежит в плоскости. Более общий подход, действительный для произвольных выпуклых многогранников, состоит в том, чтобы сделать разрез вдоль любой плоскости, которая отделяет данную вершину от всех других вершин, но в остальном является произвольным. Эта конструкция определяет комбинаторную структуру вершинной фигуры, похожую на набор связанных вершин (см. ниже), но не ее точную геометрию; ее можно обобщить на выпуклые многогранники в любой размерности. Однако для невыпуклых многогранников может не существовать плоскости вблизи вершины, которая разрезает все грани, инцидентные вершине.
Кромвель (1999) формирует вершинную фигуру, пересекая многогранник сферой с центром в вершине, достаточно малой, чтобы пересекать только ребра и грани, инцидентные вершине. Это можно визуализировать как создание сферического разреза или черпака с центром в вершине. Таким образом, поверхность разреза или вершинная фигура представляет собой сферический многоугольник, отмеченный на этой сфере. Одним из преимуществ этого метода является то, что форма вершинной фигуры фиксирована (вплоть до масштаба сферы), тогда как метод пересечения с плоскостью может создавать различные формы в зависимости от угла плоскости. Кроме того, этот метод работает для невыпуклых многогранников.
Многие комбинаторные и вычислительные подходы (например, Скиллинг, 1975) рассматривают вершинную фигуру как упорядоченный (или частично упорядоченный) набор точек всех соседних (соединенных ребром) вершин с данной вершиной.
В теории абстрактных многогранников вершинная фигура в данной вершине V включает в себя все элементы, инцидентные вершине: ребра, грани и т. д. Более формально это ( n −1)-сечение F n / V , где F n — наибольшая грань.
Этот набор элементов в другом месте известен как вершинная звезда . Геометрическая вершинная фигура и вершинная звезда могут пониматься как различные реализации одного и того же абстрактного сечения.
Вершинная фигура n -политопа — это ( n −1)-политоп. Например, вершинная фигура многогранника — это многоугольник , а вершинная фигура 4-политопа — это многогранник.
В общем случае вершинная фигура не обязательно должна быть плоской.
Для невыпуклых многогранников вершинная фигура также может быть невыпуклой. Например, однородные многогранники могут иметь звездчатые многоугольники для граней и/или для вершинных фигур.
Вершинные фигуры особенно важны для однородных и других изогональных (вершинно-транзитивных) многогранников, поскольку одна вершинная фигура может определять весь многогранник.
Для многогранников с правильными гранями вершинная фигура может быть представлена в нотации конфигурации вершины , перечислив грани в последовательности вокруг вершины. Например, 3.4.4.4 — это вершина с одним треугольником и тремя квадратами, и она определяет однородный ромбокубооктаэдр .
Если многогранник изогональный, вершинная фигура будет существовать на гиперплоской поверхности n -пространства.
Рассматривая связность этих соседних вершин, можно построить вершинную фигуру для каждой вершины многогранника:
Для однородного многогранника грань двойственного многогранника может быть найдена из вершинной фигуры исходного многогранника с помощью построения « Дормана-Люка ».
Если многогранник правильный, его можно представить символом Шлефли , и ячейка и вершинная фигура могут быть тривиально извлечены из этой записи.
В общем случае правильный многогранник с символом Шлефли { a , b , c ,..., y , z } имеет ячейки как { a , b , c ,..., y } и вершинные фигуры как { b , c ,..., y , z }.
Поскольку двойственный многогранник правильного многогранника также является правильным и представлен перевернутыми индексами символов Шлефли, легко видеть, что двойственная вершинной фигура является ячейкой двойственного многогранника. Для правильных многогранников это частный случай конструкции Дормана-Люка .
Вершинная фигура усеченных кубических сот — неоднородная квадратная пирамида . Один октаэдр и четыре усеченных куба встречаются в каждой вершине, образуя заполняющую пространство мозаику .
Связанная с вершинной фигурой , реберная фигура является вершинной фигурой вершинной фигуры . [3] Реберные фигуры полезны для выражения отношений между элементами внутри правильных и однородных многогранников.
Реберная фигура будет ( n −2)-политопом, представляющим расположение граней вокруг данного ребра. Регулярные и однородные многогранники диаграммы Коксетера с одним кольцом будут иметь один тип ребра. В общем случае однородный многогранник может иметь столько типов ребер, сколько активных зеркал в конструкции, поскольку каждое активное зеркало создает одно ребро в фундаментальной области.
Правильные многогранники (и соты) имеют одну рёберную фигуру , которая также является правильной. Для правильного многогранника { p , q , r , s ,..., z } рёберная фигура — это { r , s ,..., z }.
В четырех измерениях фигура ребра 4-политопа или 3-соты — это многоугольник, представляющий расположение набора граней вокруг ребра. Например, фигура ребра для правильной кубической соты {4,3,4} — это квадрат , а для правильного 4-политопа { p , q , r } — это многоугольник { r }.
Менее тривиально, усеченные кубические соты t 0,1 {4,3,4}, имеют вершинную фигуру квадратной пирамиды с ячейками усеченного куба и октаэдра . Здесь есть два типа фигур ребер . Одна из них — фигура квадратного ребра на вершине пирамиды. Она представляет собой четыре усеченных куба вокруг ребра. Другие четыре фигуры ребра — равнобедренные треугольники на вершинах основания пирамиды. Они представляют собой расположение двух усеченных кубов и одного октаэдра вокруг других ребер.
