Интегралы Уоллиса

Семейство математических интегралов

В математике , а точнее в анализе , интегралы Уоллиса представляют собой семейство интегралов, введенных Джоном Уоллисом .

Определение, основные свойства

Интегралы Уоллиса — это члены последовательности, определяемой формулой ${\displaystyle (W_{n})_{n\geq 0}}$

${\displaystyle W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx,}$

или эквивалентно,

${\displaystyle W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx.}$

Первые несколько членов этой последовательности:

Последовательность убывающая и имеет положительные члены. Фактически, для всех ${\displaystyle (W_{n})}$ ${\displaystyle n\geq 0:}$

• ${\displaystyle W_{n}>0,}$потому что это интеграл неотрицательной непрерывной функции, которая не равна тождественно нулю;
• ${\displaystyle W_{n}-W_{n+1}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n+1}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin ^{n}x)(1-\sin x)\,dx>0,}$еще раз потому, что последний интеграл представляет собой неотрицательную непрерывную функцию.

Поскольку последовательность убывает и ограничена снизу 0, она сходится к неотрицательному пределу. Действительно, предел равен нулю (см. ниже). ${\displaystyle (W_{n})}$

Рекуррентное соотношение

С помощью интегрирования по частям можно получить формулу редукции . Используя тождество , для всех имеем , ${\displaystyle \sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin ^{n-2}x)(1-\cos ^{2}x)\,dx\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x\,dx-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x\cos ^{2}x\,dx.\qquad {\text{Equation (1)}}\end{aligned}}}$

Интегрируем второй интеграл по частям, при этом:

• ${\displaystyle v'(x)=\cos(x)\sin ^{n-2}(x)}$, чьей первообразной является ${\displaystyle v(x)={\frac {1}{n-1}}\sin ^{n-1}(x)}$
• ${\displaystyle u(x)=\cos(x)}$, производная которой равна ${\displaystyle u'(x)=-\sin(x),}$

у нас есть:

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x\cos ^{2}x\,dx=\left[{\frac {\sin ^{n-1}x}{n-1}}\cos x\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{n-1}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-1}x\sin x\,dx=0+{\frac {1}{n-1}}W_{n}.}$

Подстановка этого результата в уравнение (1) дает

${\displaystyle W_{n}=W_{n-2}-{\frac {1}{n-1}}W_{n},}$

и таким образом

${\displaystyle W_{n}={\frac {n-1}{n}}W_{n-2},\qquad {\text{Equation (2)}}}$

для всех ${\displaystyle n\geq 2.}$

Это рекуррентное соотношение, выраженное в терминах . Это, вместе со значениями и дает нам два набора формул для членов последовательности , в зависимости от того, является ли четным или нечетным: ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle W_{n-2}}$ ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle W_{1},}$ ${\displaystyle (W_{n})}$ ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle W_{2p}={\frac {2p-1}{2p}}\cdot {\frac {2p-3}{2p-2}}\cdots {\frac {1}{2}}W_{0}={\frac {(2p-1)!!}{(2p)!!}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {(2p)!}{2^{2p}(p!)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}},}$
• ${\displaystyle W_{2p+1}={\frac {2p}{2p+1}}\cdot {\frac {2p-2}{2p-1}}\cdots {\frac {2}{3}}W_{1}={\frac {(2p)!!}{(2p+1)!!}}={\frac {2^{2p}(p!)^{2}}{(2p+1)!}}.}$

Еще одно соотношение для оценки интегралов Уоллиса

Интегралы Уоллиса можно вычислить с помощью интегралов Эйлера :

1. Интеграл Эйлера первого рода : бета-функция :

   ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$для Re( x ), Re( y ) > 0

2. Интеграл Эйлера второго рода : Гамма-функция :

   ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$для Re( z ) > 0 .

Если мы сделаем следующую замену внутри бета-функции, то получим: ${\displaystyle \quad \left\{{\begin{matrix}t=\sin ^{2}u\\1-t=\cos ^{2}u\\dt=2\sin u\cos udu\end{matrix}}\right.,}$

${\displaystyle \mathrm {B} (a,b)=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2a-1}u\cos ^{2b-1}u\,du,}$

Итак, это дает нам следующее соотношение для вычисления интегралов Уоллиса:

${\displaystyle W_{n}={\frac {1}{2}}\mathrm {B} \left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma \left({\tfrac {n+1}{2}}\right)\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)}{2\,\Gamma \left({\tfrac {n}{2}}+1\right)}}.}$

Итак, для нечетного , записывающего , имеем: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2p+1}$

${\displaystyle W_{2p+1}={\frac {\Gamma \left(p+1\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{2\,\Gamma \left(p+1+{\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {p!\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{(2p+1)\,\Gamma \left(p+{\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {2^{p}\;p!}{(2p+1)!!}}={\frac {2^{2\,p}\;(p!)^{2}}{(2p+1)!}},}$

тогда как для четных , записывая и зная это , получаем: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2p}$ ${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle W_{2p}={\frac {\Gamma \left(p+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{2\,\Gamma \left(p+1\right)}}={\frac {(2p-1)!!\;\pi }{2^{p+1}\;p!}}={\frac {(2p)!}{2^{2\,p}\;(p!)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}.}$

Эквивалентность

• Из приведенной выше рекуррентной формулы можно сделать вывод, что ${\displaystyle \mathbf {(2)} }$

${\displaystyle \ W_{n+1}\sim W_{n}}$(эквивалентность двух последовательностей).

Действительно, для всех  : ${\displaystyle n\in \,\mathbb {N} }$

${\displaystyle \ W_{n+2}\leqslant W_{n+1}\leqslant W_{n}}$(так как последовательность убывающая)

${\displaystyle {\frac {W_{n+2}}{W_{n}}}\leqslant {\frac {W_{n+1}}{W_{n}}}\leqslant 1}$(с ) ${\displaystyle \ W_{n}>0}$

${\displaystyle {\frac {n+1}{n+2}}\leqslant {\frac {W_{n+1}}{W_{n}}}\leqslant 1}$(по уравнению ). ${\displaystyle \mathbf {(2)} }$

По теореме о сэндвиче заключаем, что , и, следовательно , . ${\displaystyle {\frac {W_{n+1}}{W_{n}}}\to 1}$ ${\displaystyle \ W_{n+1}\sim W_{n}}$

• Рассматривая , получаем следующую эквивалентность: ${\displaystyle W_{n}W_{n+1}}$

${\displaystyle W_{n}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2\,n}}}\quad }$(и, следовательно, ). ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt {n}}\,W_{n}={\sqrt {\pi /2}}}$

Доказательство

Для всех , пусть . ${\displaystyle n\in \,\mathbb {N} }$ ${\displaystyle u_{n}=(n+1)\,W_{n}\,W_{n+1}}$

Оказывается, что из-за уравнения . Другими словами — константа. ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\,u_{n+1}=u_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {(2)} }$ ${\displaystyle \ (u_{n})}$

Отсюда следует, что для всех , . ${\displaystyle n\in \,\mathbb {N} }$ ${\displaystyle u_{n}=u_{0}=W_{0}\,W_{1}={\frac {\pi }{2}}}$

Теперь, поскольку и , то по правилам произведения эквивалентов имеем . ${\displaystyle \ n+1\sim n}$ ${\displaystyle \ W_{n+1}\sim W_{n}}$ ${\displaystyle \ u_{n}\sim n\,W_{n}^{2}}$

Таким образом, , откуда и следует желаемый результат (с учетом того, что ). ${\displaystyle \ n\,W_{n}^{2}\sim {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \ W_{n}>0}$

Вывод формулы Стирлинга

Предположим, что у нас есть следующая эквивалентность (известная как формула Стирлинга ):

${\displaystyle n!\sim C{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n},}$

для некоторой константы , которую мы хотим определить. Из вышесказанного, мы имеем ${\displaystyle C}$

${\displaystyle W_{2p}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{4p}}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {p}}}}}$(уравнение (3))

Раскрывая и используя приведенную выше формулу для факториалов, получаем ${\displaystyle W_{2p}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{2p}&={\frac {(2p)!}{2^{2p}(p!)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\\&\sim {\frac {C\left({\frac {2p}{e}}\right)^{2p}{\sqrt {2p}}}{2^{2p}C^{2}\left({\frac {p}{e}}\right)^{2p}\left({\sqrt {p}}\right)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\\&={\frac {\pi }{C{\sqrt {2p}}}}.{\text{ (equation (4))}}\end{aligned}}}$

Из (3) и (4) по транзитивности получаем:

${\displaystyle {\frac {\pi }{C{\sqrt {2p}}}}\sim {\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {p}}}}.}$

Решение дает Другими словами, ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C={\sqrt {2\pi }}.}$

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$

Вывод двойного факториального отношения

Аналогично, из вышесказанного, имеем:

${\displaystyle W_{2p}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{4p}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{p}}}.}$

Раскрывая и используя приведенную выше формулу для двойных факториалов, получаем: ${\displaystyle W_{2p}}$

${\displaystyle W_{2p}={\frac {(2p-1)!!}{(2p)!!}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\sim {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{p}}}.}$

Упрощая, получаем:

${\displaystyle {\frac {(2p-1)!!}{(2p)!!}}\sim {\frac {1}{\sqrt {\pi \,p}}},}$

или

${\displaystyle {\frac {(2p)!!}{(2p-1)!!}}\sim {\sqrt {\pi \,p}}.}$

Оценка гауссовского интеграла

Гауссовский интеграл можно оценить с помощью интегралов Уоллиса.

Сначала докажем следующие неравенства:

• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \forall u\in \mathbb {R} _{+}\quad u\leqslant n\quad \Rightarrow \quad (1-u/n)^{n}\leqslant e^{-u}}$
• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \forall u\in \mathbb {R} _{+}\qquad e^{-u}\leqslant (1+u/n)^{-n}}$

В самом деле, если предположить , что первое неравенство (в котором ) эквивалентно ; тогда как второе неравенство сводится к , что становится . Эти два последних неравенства следуют из выпуклости показательной функции (или из анализа функции ). ${\displaystyle u/n=t}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle 1-t\leqslant e^{-t}}$ ${\displaystyle e^{-t}\leqslant (1+t)^{-1}}$ ${\displaystyle e^{t}\geqslant 1+t}$ ${\displaystyle t\mapsto e^{t}-1-t}$

Опуская и используя основные свойства несобственных интегралов (сходимость интегралов очевидна), получаем неравенства: ${\displaystyle u=x^{2}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\sqrt {n}}(1-x^{2}/n)^{n}dx\leqslant \int _{0}^{\sqrt {n}}e^{-x^{2}}dx\leqslant \int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx\leqslant \int _{0}^{+\infty }(1+x^{2}/n)^{-n}dx}$для использования с теоремой о сэндвиче (как ). ${\displaystyle n\to \infty }$

Первый и последний интегралы можно легко вычислить с помощью интегралов Уоллиса. Для первого пусть (t изменяется от 0 до ). Тогда интеграл становится . Для последнего интеграла пусть (t изменяется от до ). Тогда интеграл становится . ${\displaystyle x={\sqrt {n}}\,\sin \,t}$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}\,W_{2n+1}}$ ${\displaystyle x={\sqrt {n}}\,\tan \,t}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}\,W_{2n-2}}$

Как мы уже показали ранее, . Итак, следует, что . ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt {n}}\;W_{n}={\sqrt {\pi /2}}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}/2}$

Замечание: Существуют и другие методы вычисления гауссовского интеграла. Некоторые из них более прямые.

Примечание

Те же свойства приводят к произведению Уоллиса , которое выражается (см . ) в виде бесконечного произведения . ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\,}$ ${\displaystyle \pi }$

Внешние ссылки

• Паскаль Себах и Ксавье Гурдон. Введение в гамма-функцию . В форматах PostScript и HTML.