Лемма Вейля (уравнение Лапласа)

Математическое уравнение

В математике лемма Вейля , названная в честь Германа Вейля , утверждает, что каждое слабое решение уравнения Лапласа является гладким решением. Это контрастирует , например, с волновым уравнением , которое имеет слабые решения, которые не являются гладкими решениями. Лемма Вейля представляет собой частный случай эллиптической или гипоэллиптической регулярности .

Утверждение леммы

Пусть – открытое подмножество в -мерном евклидовом пространстве , и пусть обозначает обычный оператор Лапласа . Лемма Вейля ^[1] утверждает, что если локально интегрируемая функция является слабым решением уравнения Лапласа в том смысле, что ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\,\Delta \varphi (x)\,dx=0}$

для всякой гладкой пробной функции с компактным носителем то (с точностью до переопределения на множестве меры нуль ) она является гладкой и поточечно удовлетворяет условиям в . ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ ${\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )}$ ${\displaystyle \Delta u=0}$ ${\displaystyle \Omega }$

Этот результат подразумевает внутреннюю регулярность гармонических функций в , но ничего не говорит об их регулярности на границе . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

Идея доказательства

Чтобы доказать лемму Вейля, нужно свернуть функцию с помощью подходящего смягчающего средства и показать, что смягчение удовлетворяет уравнению Лапласа, из которого следует, что оно обладает свойством среднего значения. Взяв предел как и используя свойства смягчающих факторов, можно обнаружить, что он также обладает свойством среднего значения, что означает, что это гладкое решение уравнения Лапласа. ^[2] Альтернативные доказательства используют гладкость фундаментального решения лапласиана или подходящие априорные эллиптические оценки. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }}$ ${\displaystyle u_{\varepsilon }=\varphi _{\varepsilon }\ast u}$ ${\displaystyle u_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle u}$

Обобщение на распределения

В более общем смысле, тот же результат справедлив для каждого распределительного решения уравнения Лапласа: Если удовлетворяет для каждого , то это регулярное распределение, связанное с гладким решением уравнения Лапласа. ^[3] ${\displaystyle T\in D'(\Omega )}$ ${\displaystyle \langle T,\Delta \varphi \rangle =0}$ ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ ${\displaystyle T=T_{u}}$ ${\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )}$

Связь с гипоэллиптичностью

Лемма Вейля следует из более общих результатов, касающихся свойств регулярности эллиптических или гипоэллиптических операторов. ^[4] Линейный оператор в частных производных с гладкими коэффициентами является гипоэллиптическим, если сингулярный носитель равен сингулярному носителю для каждого распределения . Оператор Лапласа является гипоэллиптическим, поэтому если , то сингулярный носитель пуст, поскольку сингулярный носитель пуст, а это означает, что . Фактически, поскольку лапласиан эллиптичен, верен более сильный результат, и решения являются вещественно-аналитическими . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Pu}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Delta u=0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )}$ ${\displaystyle \Delta u=0}$

Примечания

1. Герман Вейль , Метод ортогональных проекций в теории потенциала, Duke Math. Дж. , 7, 411–444 (1940). См. лемму 2, с. 415
2. Бернар Дакоронья, Введение в вариационное исчисление, 2-е изд., Imperial College Press (2009), стр. 148.
3. Ларс Гординг , Некоторые моменты анализа и их история , AMS (1997), с. 66.
4. Ларс Хёрмандер , Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I , 2-е изд., Springer-Verlag (1990), стр.110

Рекомендации

• Гилбарг, Дэвид; Нил С. Трудингер (1988). Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка . Спрингер. ISBN 3-540-41160-7.
• Штейн, Элиас (2005). Реальный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертовые пространства . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-11386-6.