Преобразование Вигнера-Вейля

Отображение между функциями в квантовом фазовом пространстве

В квантовой механике преобразование Вигнера –Вейля или преобразование Вейля–Вигнера (в честь Германа Вейля и Юджина Вигнера ) представляет собой обратимое отображение между функциями в формулировке квантового фазового пространства и операторами гильбертова пространства в картине Шредингера .

Часто отображение функций на фазовом пространстве в операторы называется преобразованием Вейля или квантованием Вейля , тогда как обратное отображение, операторов в функции на фазовом пространстве, называется преобразованием Вигнера . Это отображение было первоначально разработано Германом Вейлем в 1927 году в попытке отобразить симметризованные классические функции фазового пространства в операторы, процедура, известная как квантование Вейля . ^[1] Теперь понятно, что квантование Вейля не удовлетворяет всем свойствам, которые требуются для последовательного квантования, и поэтому иногда дает нефизические ответы. С другой стороны, некоторые из хороших свойств, описанных ниже, предполагают, что если искать единую последовательную процедуру, отображающую функции на классическом фазовом пространстве в операторы, квантование Вейля является наилучшим вариантом: своего рода нормальные координаты таких отображений. ( Теорема Грёневольда утверждает, что ни одно такое отображение не может обладать всеми идеальными свойствами, которые хотелось бы.)

Независимо от этого, преобразование Вейля–Вигнера является четко определенным интегральным преобразованием между фазовым пространством и представлениями операторов и дает представление о работе квантовой механики. Самое важное, что распределение квазивероятности Вигнера является преобразованием Вигнера квантовой матрицы плотности , и, наоборот, матрица плотности является преобразованием Вейля функции Вигнера.

В отличие от первоначальных намерений Вейля в поиске последовательной схемы квантования, эта карта просто сводится к изменению представления в квантовой механике; она не должна связывать «классические» с «квантовыми» величинами. Например, функция фазового пространства может явно зависеть от приведенной постоянной Планка ħ , как это происходит в некоторых известных случаях, связанных с угловым моментом. Это обратимое изменение представления затем позволяет выразить квантовую механику в фазовом пространстве , как это было оценено в 1940-х годах Хильбрандом Дж. Гроенволдом ^[2] и Хосе Энрике Мойалом . ^{[3] [4]}

В более общем случае квантование Вейля изучается в случаях, когда фазовое пространство является симплектическим многообразием или, возможно, многообразием Пуассона . Связанные структуры включают группы Пуассона–Ли и алгебры Каца–Муди .

Определение квантования Вейля общей наблюдаемой

Ниже объясняется преобразование Вейля на простейшем двумерном евклидовом фазовом пространстве. Пусть координаты на фазовом пространстве будут (q,p) , а f — функция, определенная всюду на фазовом пространстве. В дальнейшем мы фиксируем операторы P и Q , удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям , таким как обычные операторы положения и импульса в представлении Шредингера. Мы предполагаем, что возведенные в степень операторы и составляют неприводимое представление соотношений Вейля , так что теорема Стоуна–фон Неймана (гарантирующая единственность канонических коммутационных соотношений) верна. ${\displaystyle e^{iaQ}}$ ${\displaystyle e^{ibP}}$

Основная формула

Преобразование Вейля (или квантование Вейля ) функции f задается следующим оператором в гильбертовом пространстве: ^{[5] [6]}

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint \!\!\!\iint f(q,p)\left(e^{i(a(Q-q)+b(P-p))}\right){\text{d}}q\,{\text{d}}p\,{\text{d}}a\,{\text{d}}b.}$

Везде ħ — приведенная постоянная Планка .

Поучительно сначала выполнить интегралы p и q в приведенной выше формуле, что приведет к вычислению обычного преобразования Фурье функции f , оставив при этом оператор . В этом случае преобразование Вейля можно записать как ^[7] ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle e^{i(aQ+bP)}}$

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint {\tilde {f}}(a,b)e^{iaQ+ibP}\,da\,db}$.

Поэтому мы можем рассматривать отображение Вейля следующим образом: мы берем обычное преобразование Фурье функции , но затем, применяя формулу обращения Фурье, мы заменяем квантовые операторы и на исходные классические переменные p и q , получая таким образом «квантовую версию f ». ${\displaystyle f(p,q)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Менее симметричная форма, но удобная для приложений, выглядит следующим образом:

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {2}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}\iint \!\!\!\iint \!\!dq\,dp\,d{\tilde {x}}\,d{\tilde {p}}\ e^{{\frac {i}{\hbar }}({\tilde {x}}{\tilde {p}}-2({\tilde {p}}-p)({\tilde {x}}-q))}~f(q,p)~|{\tilde {x}}\rangle \langle {\tilde {p}}|.}$

В должности представительства

Отображение Вейля может быть также выражено в терминах интегральных ядерных матричных элементов этого оператора, ^[8]

${\displaystyle \langle x|\Phi [f]|y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{{\text{d}}p \over h}~e^{ip(x-y)/\hbar }~f\left({x+y \over 2},p\right).}$

Обратная карта

Обратным отображением Вейля является отображение Вигнера (или преобразование Вигнера ), введенное Юджином Вигнером ^[9], которое возвращает оператор Φ к исходной функции ядра фазового пространства f ,

${\displaystyle f(q,p)=2\int _{-\infty }^{\infty }{\text{d}}y~e^{-2ipy/\hbar }~\langle q+y|\Phi [f]|q-y\rangle .}$

Например, карта Вигнера оператора распределения тепла осциллятора имеет вид ^[6] ${\displaystyle \exp(-\beta (P^{2}+Q^{2})/2)}$

${\displaystyle \exp _{\star }\left(-\beta (p^{2}+q^{2})/2\right)=\left(\cosh \left({\frac {\beta \hbar }{2}}\right)\right)^{-1}\exp \left({\frac {-2}{\hbar }}\tanh \left({\frac {\beta \hbar }{2}}\right)(p^{2}+q^{2})/2\right).}$

Если заменить в приведенном выше выражении произвольным оператором, то результирующая функция f может зависеть от приведенной постоянной Планка ħ и может хорошо описывать квантово-механические процессы, при условии, что она правильно составлена ​​через звездное произведение , ниже. ^[10] В свою очередь, отображение Вейля отображения Вигнера суммируется формулой Грёневольда , ^[6] ${\displaystyle \Phi [f]}$

${\displaystyle \Phi [f]=h\iint \,da\,db~e^{iaQ+ibP}\operatorname {Tr} (e^{-iaQ-ibP}\Phi ).}$

Квантование Вейля полиномиальных наблюдаемых

Хотя приведенные выше формулы дают хорошее понимание квантования Вейля очень общей наблюдаемой на фазовом пространстве, они не очень удобны для вычислений на простых наблюдаемых, таких как те, которые являются полиномами от и . В последующих разделах мы увидим, что на таких полиномах квантование Вейля представляет собой полностью симметричное упорядочение некоммутирующих операторов и . Например, отображение Вигнера квантового оператора квадрата углового момента L ² — это не просто классический квадрат углового момента, но оно также содержит смещенный член −3 ħ ² /2 , который учитывает неисчезающий угловой момент основного состояния орбиты Бора . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Характеристики

Квантование Вейля полиномов

Действие квантования Вейля на полиномиальные функции и полностью определяется следующей симметричной формулой: ^[11] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle (aq+bp)^{n}\longmapsto (aQ+bP)^{n}}$

для всех комплексных чисел и . Из этой формулы нетрудно показать, что квантование Вейля на функции вида дает среднее значение всех возможных упорядочений множителей и множителей : где , а — множество перестановок на N элементах . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle q^{k}p^{l}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle \prod _{j=1}^{N}\xi _{k_{j}}~~\longmapsto ~~{\frac {1}{N!}}\sum _{\sigma \in S_{N}}\prod _{j=1}^{N}\Xi _{k_{\sigma (j)}}}$$ ${\displaystyle \xi _{j}=q_{j},\xi _{n+j}=p_{j}}$ ${\displaystyle S_{N}}$

Например, у нас есть

${\displaystyle 6p^{2}q^{2}~~\longmapsto ~~P^{2}Q^{2}+Q^{2}P^{2}+PQPQ+PQ^{2}P+QPQP+QP^{2}Q.}$

Хотя этот результат концептуально естественен, он не удобен для вычислений, когда и велики. В таких случаях вместо этого можно использовать формулу Маккоя ^[12] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle p^{m}q^{n}~~\longmapsto ~~{1 \over 2^{n}}\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}Q^{r}P^{m}Q^{n-r}={1 \over 2^{m}}\sum _{s=0}^{m}{m \choose s}P^{s}Q^{n}P^{m-s}.}$

Это выражение дает, по-видимому, другой ответ для случая от полностью симметричного выражения выше. Однако противоречия нет, поскольку канонические коммутационные соотношения допускают более одного выражения для одного и того же оператора. (Читателю может быть полезно использовать коммутационные соотношения, чтобы переписать полностью симметричную формулу для случая в терминах операторов , , и и проверить первое выражение в формуле Маккоя с .) ${\displaystyle p^{2}q^{2}}$ ${\displaystyle p^{2}q^{2}}$ ${\displaystyle P^{2}Q^{2}}$ ${\displaystyle QP^{2}Q}$ ${\displaystyle Q^{2}P^{2}}$ ${\displaystyle m=n=2}$

Широко распространено мнение, что квантование Вейля, среди всех схем квантования, подходит максимально близко к отображению скобки Пуассона на классической стороне в коммутатор на квантовой стороне. (Точное соответствие невозможно в свете теоремы Грёневольда .) Например, Мойал показал, что

Теорема : Если — многочлен степени не выше 2 и — произвольный многочлен, то имеем . ${\displaystyle f(q,p)}$ ${\displaystyle g(q,p)}$ ${\displaystyle \Phi (\{f,g\})={\frac {1}{i\hbar }}[\Phi (f),\Phi (g)]}$

Квантование Вейля общих функций

• Если f — вещественная функция , то ее отображение Вейля Φ [ f ] является самосопряженным .
• Если f — элемент пространства Шварца , то Φ [ f ] — элемент трассового класса .
• В более общем случае Φ [ f ] — плотно определенный неограниченный оператор .
• Отображение Φ [ f ] является взаимно однозначным в пространстве Шварца (как подпространстве квадратично интегрируемых функций).

Смотрите также

• Каноническое коммутационное соотношение
• Квантование деформации
• Группа Гейзенберга
• Кронштейн Moyal
• алгебра Вейля
• Функтор
• Псевдодифференциальный оператор
• Распределение квазивероятности Вигнера
• Теорема Стоуна–фон Неймана
• Формулировка фазового пространства квантовой механики
• Формула квантования Концевича
• Преобразование Габора–Вигнера
• Представление осциллятора

Ссылки

1. Вейль, Х. (1927). «Квантенмеханика и групповая теория». Zeitschrift für Physik . 46 (1–2): 1–46. Бибкод : 1927ZPhy...46....1W. дои : 10.1007/BF02055756. S2CID  121036548.
2. Groenewold, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Physica . 12 (7): 405–446. Bibcode : 1946Phy....12..405G. doi : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
3. Moyal, JE; Bartlett, MS (1949). «Квантовая механика как статистическая теория». Математические труды Кембриджского философского общества . 45 (1): 99–124. Bibcode :1949PCPS...45...99M. doi :10.1017/S0305004100000487. S2CID  124183640.
4. Curtright, TL; Zachos, CK (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Asia Pacific Physics Newsletter . 1 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . doi : 10.1142/S2251158X12000069. S2CID  119230734.
5. Фолланд, Г. (1989). Гармонический анализ в фазовом пространстве . Анналы математических исследований. Том 122. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08528-9.
6. Curtright, TL; Fairlie, DB; Zachos, CK (2014). Краткий трактат по квантовой механике в фазовом пространстве (PDF) . World Scientific . ISBN 9789814520430.
7. Холл 2013 Раздел 13.3
8. Холл 2013 Определение 13.7
9. Вигнер, Э. (1932). «О квантовой поправке для термодинамического равновесия». Physical Review . 40 (5): 749–759. doi :10.1103/PhysRev.40.749.
10. Кубо, Р. (1964). «Представление Вигнера квантовых операторов и его применение к электронам в магнитном поле». Журнал Физического общества Японии . 19 (11): 2127–2139. Bibcode : 1964JPSJ...19.2127K. doi : 10.1143/JPSJ.19.2127.
11. Холл 2013 Предложение 13.3
12. Маккой, Нил (1932). «О функции в квантовой механике, которая соответствует заданной функции в классической механике», Proc Nat Acad Sci USA 19 674, онлайн.

• Холл, Брайан С. (2013), Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158

Дальнейшее чтение

• Кейс, Уильям Б. (октябрь 2008 г.). «Функции Вигнера и преобразования Вейля для пешеходов». American Journal of Physics . 76 (10): 937–946. Bibcode : 2008AmJPh..76..937C. doi : 10.1119/1.2957889.(В разделах I–IV данной статьи дается обзор преобразования Вигнера–Вейля , распределения квазивероятностей Вигнера , формулировки фазового пространства квантовой механики и примера квантового гармонического осциллятора .)
• «Квантование Вейля», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Заметки Теренса Тао 2012 года о упорядочении Вейля