В квантовой теории поля и статистической механике индекс Виттена при обратной температуре β определяется как модификация стандартной статистической суммы :
Обратите внимание на оператор (-1) F , где F — оператор числа фермионов . Это то, что отличает ее от обычной функции разделения . Иногда ее называют спектральной асимметрией .
В суперсимметричной теории каждое собственное значение ненулевой энергии содержит равное количество бозонных и фермионных состояний. Из-за этого индекс Виттена не зависит от температуры и дает количество бозонных вакуумных состояний с нулевой энергией минус количество фермионных вакуумных состояний с нулевой энергией. В частности, если суперсимметрия спонтанно нарушается, то основных состояний с нулевой энергией нет, и поэтому индекс Виттена равен нулю.
Индекс Виттена суперсимметричной сигма-модели на многообразии задается эйлеровой характеристикой многообразия . [1]
Это пример квазитопологической величины, которая зависит только от F-членов , а не от D-членов в лагранжиане . Более усовершенствованный инвариант в двумерных теориях, построенный с использованием только правой части оператора числа фермионов вместе с двухпараметрическим семейством вариаций, представляет собой эллиптический род .
![{\displaystyle {\textrm {Tr}}[(-1)^{F}e^{-\beta H}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6787e085e9a4eab5949fb14c8dec9a724f68102e)
![{\displaystyle {\textrm {Tr}}[(-1)^{F}e^{-\beta H}]=\sum _{p\in \mathbb {Z} }(-1)^{p} b_{p}=\chi (M)\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49d9e5bc8a4ee8b43617df4c06b9f0b25849ee08)