Поверхность текучести

Поверхности, на которых инварианты , , постоянны. Построено в пространстве главных напряжений. ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle J_{3}}$

Поверхность текучести — это пятимерная поверхность в шестимерном пространстве напряжений . Поверхность текучести обычно выпуклая , а напряженное состояние внутри поверхности текучести является упругим. Когда напряженное состояние лежит на поверхности, говорят, что материал достиг предела текучести и стал пластичным . Дальнейшая деформация материала приводит к тому, что напряженное состояние сохраняется на поверхности текучести, хотя форма и размер поверхности могут меняться по мере развития пластической деформации. Это связано с тем, что напряженные состояния, лежащие за пределами поверхности текучести, недопустимы для пластичности, не зависящей от скорости , но не в некоторых моделях вязкопластичности . ^[1]

Поверхность текучести обычно выражается (и визуализируется) через трехмерное пространство главных напряжений ( ), двух- или трехмерное пространство, охватываемое инвариантами напряжений ( ) или версию трехмерного напряжения Хейга – Вестергора. космос . Таким образом, мы можем записать уравнение поверхности текучести (то есть функции доходности) в виде: ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle I_{1},J_{2},J_{3}}$

• ${\displaystyle f(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=0\,}$где находятся главные напряжения. ${\displaystyle \sigma _{i}}$
• ${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0\,}$где – первый главный инвариант напряжения Коши, – второй и третий главные инварианты девиаторной части напряжения Коши. ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$
• ${\displaystyle f(p,q,r)=0\,}$где масштабированные версии и и является функцией . ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$
• ${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0\,}$где — масштабированные версии и — угол напряжения ^[2] или угол Лоде ^[3] ${\displaystyle \xi ,\rho }$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle \theta }$

Инварианты, используемые для описания поверхностей текучести

Поверхности, на которых инварианты , , постоянны. Построено в пространстве главных напряжений. ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \theta }$

Первый главный инвариант ( ) напряжения Коши ( ), а также второй и третий главные инварианты ( ) девиаторной части ( ) напряжения Коши определяются как: ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&={\text{Tr}}({\boldsymbol {\sigma }})=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\J_{2}&={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {s}}:{\boldsymbol {s}}={\tfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\J_{3}&=\det({\boldsymbol {s}})={\tfrac {1}{3}}({\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}):{\boldsymbol {s}}=s_{1}s_{2}s_{3}\end{aligned}}}$

где ( ) — главные значения , ( ) — главные значения , и ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {s}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\tfrac {I_{1}}{3}}\,{\boldsymbol {I}}}$

где единичная матрица. ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$

Соответствующий набор величин ( ) обычно используется для описания поверхностей текучести когезионных фрикционных материалов, таких как камни, почвы и керамика. Они определяются как ${\displaystyle p,q,r\,}$

${\displaystyle p={\tfrac {1}{3}}~I_{1}~:~~q={\sqrt {3~J_{2}}}=\sigma _{\mathrm {eq} }~;~~r=3\left({\tfrac {1}{2}}\,J_{3}\right)^{1/3}}$

где – эквивалентное напряжение . Однако возможность отрицательных значений и результирующей мнимой делает использование этих величин проблематичным на практике. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }}$ ${\displaystyle J_{3}}$ ${\displaystyle r}$

Другой родственный набор широко используемых инвариантов - это ( ), которые описывают цилиндрическую систему координат ( координаты Хейга – Вестергора ). Они определяются как: ${\displaystyle \xi ,\rho ,\theta \,}$

${\displaystyle \xi ={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}~I_{1}={\sqrt {3}}~p~;~~\rho ={\sqrt {2J_{2}}}={\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~q~;~~\cos(3\theta )=\left({\tfrac {r}{q}}\right)^{3}={\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}}$

Эту плоскость еще называют плоскостью Рендулича . Угол называется углом напряжения, его значение иногда называют параметром Лоде ^{[4] [5] [6]} , а связь между и впервые была указана Новожиловым В.В. в 1951 году, ^[7] см. также ^[8] ${\displaystyle \xi -\rho \,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \cos(3\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$

Главные напряжения и координаты Хейга – Вестергора связаны соотношением

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~\rho ~{\begin{bmatrix}\cos \theta \\\cos \left(\theta -{\tfrac {2\pi }{3}}\right)\\\cos \left(\theta +{\tfrac {2\pi }{3}}\right)\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~\rho ~{\begin{bmatrix}\cos \theta \\-\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}-\theta \right)\\-\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}+\theta \right)\end{bmatrix}}\,.}$

В литературе можно найти и другое определение угла Лоде: ^[9]

${\displaystyle \sin(3\theta )=~{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}}$

в этом случае упорядоченные главные напряжения (где ) связаны соотношением ^[10] ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\tfrac {\rho }{\sqrt {2}}}~{\begin{bmatrix}\cos \theta -{\tfrac {\sin \theta }{\sqrt {3}}}\\{\tfrac {2\sin \theta }{\sqrt {3}}}\\-{\tfrac {\sin \theta }{\sqrt {3}}}-\cos \theta \end{bmatrix}}\,.}$

Примеры поверхностей текучести

В технике известно несколько различных поверхностей текучести, наиболее популярные из них перечислены ниже.

Поверхность текучести Tresca

Критерий доходности Треска считается работой Анри Треска . ^[11] Он также известен как теория максимального напряжения сдвига (MSST) и критерий Треска-Геста ^[12] (TG). В терминах главных напряжений критерий Треска выражается как

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\max(|\sigma _{1}-\sigma _{2}|,|\sigma _{2}-\sigma _{3}|,|\sigma _{3}-\sigma _{1}|)=S_{sy}={\tfrac {1}{2}}S_{y}}\!}$

Где предел текучести при сдвиге, а предел текучести при растяжении. ${\displaystyle S_{sy}}$ ${\displaystyle S_{y}}$

На рис. 1 показана поверхность текучести Трески–Геста в трехмерном пространстве главных напряжений. Это призма с шестью сторонами и бесконечной длиной. Это означает, что материал остается эластичным, когда все три главных напряжения примерно эквивалентны ( гидростатическое давление ), независимо от того, насколько сильно он сжимается или растягивается. Однако когда одно из главных напряжений становится меньше (или больше), чем другие, материал подвергается сдвигу. В таких ситуациях, если напряжение сдвига достигает предела текучести, материал переходит в пластическую область. На рис. 2 показана поверхность текучести Трески–Геста в двумерном пространстве напряжений, она представляет собой сечение призмы по плоскости . ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Рисунок 1: Вид поверхности текучести Трески – Гостя в трехмерном пространстве главных напряжений.

Рисунок 2: Поверхность текучести Трески – Гостя в 2D-пространстве ( ) ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

поверхность текучести фон Мизеса

Критерий текучести фон Мизеса выражается в главных напряжениях как

${\displaystyle {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}=2{S_{y}}^{2}}\!}$

где – предел текучести при одноосном растяжении. ${\displaystyle S_{y}}$

На рис. 3 показана поверхность текучести фон Мизеса в трехмерном пространстве главных напряжений. Это круглый цилиндр бесконечной длины, ось которого наклонена под равными углами к трем главным напряжениям. На рис. 4 показана поверхность текучести фон Мизеса в двумерном пространстве в сравнении с критерием Трески-Геста. Поперечное сечение цилиндра фон Мизеса плоскостью дает эллиптическую форму поверхности текучести. ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Рисунок 3: Вид поверхности текучести Хубера – Мизеса – Хенки в трехмерном пространстве главных напряжений.

Рисунок 4: Сравнение критериев Трески-Геста и Хубера-Мизеса-Хенки в 2D-пространстве ( ) ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Критерий Буржинского-Ягна

Этот критерий ^{[13] [14]}

${\displaystyle 3I_{2}'={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

представляет собой общее уравнение поверхности вращения второго порядка вокруг гидростатической оси. Некоторые особые случаи: ^[15]

• цилиндр (Максвелл (1865 г.), Хубер (1904 г.), фон Мизес (1913 г.), Хенки (1924 г.)), ${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}=0}$
• конус (Боткин (1940), Друкер-Прагер (1952), Миролюбов (1953)), ${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}\in ]0,1[}$
• параболоид (Буржинский (1928), Баландин (1937), Торре (1947)), ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}=0}$
• эллипсоид с центром в плоскости симметрии (Бельтрами (1885)) , ${\displaystyle I_{1}=0}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}\in ]0,1[}$
• эллипсоид с центром в плоскости симметрии ( Шлейхер (1926)), ${\displaystyle I_{1}={\frac {1}{2}}\,{\bigg (}{\frac {1}{\gamma _{1}}}+{\frac {1}{\gamma _{2}}}{\bigg )}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}<0}$
• двухлистный гиперболоид (Буржинский (1928), Ягн (1931)), ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}\in ]0,\gamma _{1}[}$
• однолистный гиперболоид с центром в плоскости симметрии , , (Кун (1980)) ${\displaystyle I_{1}=0}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}=a\,i}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$
• однолистный гиперболоид ( Филоненко-Бородич (1960), Гольденблат-Копнов (1968), Филин (1975)). ${\displaystyle \gamma _{1,2}=b\pm a\,i}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

Отношения сжатия-растяжения и кручения-растяжения можно вычислить как

${\displaystyle {\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}},\qquad {\bigg (}{\sqrt {3}}\,{\frac {\tau _{*}}{\sigma _{+}}}{\bigg )}^{2}={\frac {1}{(1-\gamma _{1})(1-\gamma _{2})}}}$

Коэффициенты Пуассона при растяжении и сжатии получают с помощью

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }={\frac {-1+2(\gamma _{1}+\gamma _{2})-3\gamma _{1}\gamma _{2}}{-2+\gamma _{1}+\gamma _{2}}}}$

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}}$

Для пластичных материалов ограничение

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in {\bigg [}\,0.48,\,{\frac {1}{2}}\,{\bigg ]}}$

это важно. Применение вращательно-симметричных критериев хрупкого разрушения с

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in ]-1,~\nu _{+}^{\mathrm {el} }\,]}$

изучено недостаточно. ^[16]

Критерий Бурзинского-Ягна хорошо подходит для академических целей. Для практических приложений в уравнение следует ввести третий инвариант девиатора в нечетной и четной степени, например: ^[17]

${\displaystyle 3I_{2}'{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

критерий Губера

Критерий Хубера состоит из эллипсоида Бельтрами и масштабированного цилиндра фон Мизеса в пространстве главных напряжений, ^{[18] [19] [20] [21]} см. также ^{[22] [23]}

${\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }+\gamma _{1}\,I_{1}}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}>0\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}\leq 0\end{array}}\right.}$

с . Переход между поверхностями в сечении непрерывно дифференцируем. Критерий представляет собой «классический взгляд» на поведение неупругого материала: ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$ ${\displaystyle I_{1}=0}$

• поведение материала, чувствительного к давлению, для с и ${\displaystyle I_{1}>0}$ ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in \left]-1,\,1/2\right]}$
• поведение материала, нечувствительного к давлению, для с ${\displaystyle I_{1}<0}$ ${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=1/2}$

Критерий Хубера можно использовать в качестве поверхности текучести с эмпирическим ограничением на коэффициент Пуассона при растяжении , что приводит к . ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in [0.48,1/2]}$ ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,0.1155]}$

Критерий Хубера с модифицированным критерием Губера на плоскости Бурзинского и в ней: настройка в соответствии с гипотезой нормального напряжения ( ). Для сравнения показан критерий фон Мизеса ( ). ${\displaystyle \gamma _{1}=1/{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=(1+{\sqrt {5}})/6}$ ${\displaystyle \gamma _{2}=(1-{\sqrt {5}})/6}$ ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }=0}$ ${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=\nu _{+}^{\mathrm {in} }=1/2}$

Модифицированный критерий Хубера, ^{[24] [23]} см. также ^[25] , ср. ^[26]

${\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}},&I_{1}>-d\,\sigma _{\mathrm {+} }\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }^{2}}{(1-\gamma _{1}-\gamma _{2})^{2}}},&I_{1}\leq -d\,\sigma _{\mathrm {+} }\end{array}}\right.}$

состоит из эллипсоида Шлейхера с ограничением коэффициента Пуассона при сжатии

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}={\frac {1}{2}}}$

и цилиндр с -переходом в сечении . Вторая настройка параметров и следует за соотношением сжатия/растяжения. ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle I_{1}=-d\,\sigma _{\mathrm {+} }}$ ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$ ${\displaystyle \gamma _{2}<0}$

${\displaystyle d={\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}}\geq 1}$

Модифицированный критерий Хубера может лучше соответствовать измеренным данным, чем критерий Хубера. Для установки следует и . ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }=0.48}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=0.0880}$ ${\displaystyle \gamma _{2}=-0.0747}$

Критерий Хубера и модифицированный критерий Хубера следует отдать предпочтение критерию фон Мизеса, поскольку они позволяют получить более безопасные результаты в данной области . Для практических приложений в этих критериях следует учитывать третий инвариант девиатора . ^[23] ${\displaystyle I_{1}>\sigma _{\mathrm {+} }}$ ${\displaystyle I_{3}'}$

Поверхность текучести Мора – Кулона

Критерий текучести (разрушения) Мора-Кулона аналогичен критерию Треска с дополнительными положениями для материалов с различным пределом текучести при растяжении и сжатии. Эта модель часто используется для моделирования бетона , грунта или сыпучих материалов . Критерий текучести Мора – Кулона можно выразить как:

${\displaystyle {\frac {m+1}{2}}\max {\Big (}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{2})~,~~|\sigma _{1}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{3})~,~~|\sigma _{2}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{2}+\sigma _{3}){\Big )}=S_{yc}}$

где

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}};K={\frac {m-1}{m+1}}}$

параметры и – напряжения текучести (разрушения) материала при одноосном сжатии и растяжении соответственно. Формула сводится к критерию Треска, если . ${\displaystyle S_{yc}}$ ${\displaystyle S_{yt}}$ ${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$

На рис. 5 показана поверхность текучести Мора–кулона в трехмерном пространстве главных напряжений. Это коническая призма, определяющая угол наклона конической поверхности. На рис. 6 показана поверхность текучести Мора – Кулона в двумерном пространстве напряжений. На рисунке 6 и используется в формуле для и соответственно. Это сечение этой конической призмы в плоскости . На рисунке 6 Rr и Rc используются в формуле для Syc и Syt соответственно. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R_{r}}$ ${\displaystyle R_{c}}$ ${\displaystyle S_{yt}}$ ${\displaystyle S_{yc}}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Рисунок 5: Вид поверхности текучести Мора – Кулона в трехмерном пространстве главных напряжений.

Рисунок 6: Поверхность текучести Мора – Кулона в двумерном пространстве ( ) ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Поверхность текучести Друкера – Прагера

Критерий текучести Друкера-Прагера аналогичен критерию текучести фон Мизеса, но допускает работу с материалами с различным пределом текучести при растяжении и сжатии. Этот критерий чаще всего используется для бетона , где разрушение могут определять как нормальные, так и сдвиговые напряжения. Критерий доходности Друкера-Прагера можно выразить как

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {m-1}{2}}{\bigg )}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})+{\bigg (}{\frac {m+1}{2}}{\bigg )}{\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}=S_{yc}}$

где

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}}}$

и , – одноосные напряжения текучести при сжатии и растяжении соответственно. Формула сводится к уравнению фон Мизеса, если . ${\displaystyle S_{yc}}$ ${\displaystyle S_{yt}}$ ${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$

На рис. 7 показана поверхность текучести Друкера–Прагера в трехмерном пространстве главных напряжений. Это обычный конус . На рисунке 8 показана поверхность текучести Друкера-Прагера в двумерном пространстве. Эллиптическая упругая область представляет собой сечение конуса на плоскости ; его можно выбрать так, чтобы оно пересекало поверхность текучести Мора – Кулона в разном количестве вершин. Один из вариантов состоит в том, чтобы пересечь поверхность текучести Мора-Кулона в трех вершинах по обе стороны от линии, но обычно по соглашению выбираются вершины, находящиеся в режиме сжатия. ^[27] Другой вариант — пересечение поверхности текучести Мора-Кулона в четырех вершинах по обеим осям (одноосная посадка) или в двух вершинах по диагонали (двуосная посадка). ^[28] Критерий текучести Друкера-Прагера также обычно выражается через сцепление материала и угол трения . ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=-\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}}$

Рисунок 7: Вид поверхности текучести Друкера – Прагера в трехмерном пространстве главных напряжений.

Рисунок 8: Вид поверхности текучести Друкера-Прагера в двумерном пространстве главных напряжений.

Поверхность текучести Бреслера – Пистера

Критерий текучести Бреслера-Пистера является расширением критерия текучести Друкера Прагера , который использует три параметра и имеет дополнительные условия для материалов, которые текучесть при гидростатическом сжатии. В терминах главных напряжений этот критерий текучести можно выразить как

${\displaystyle S_{yc}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}-c_{0}-c_{1}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-c_{2}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}}$

где - материальные константы. Дополнительный параметр придает поверхности текучести эллипсоидное поперечное сечение, если смотреть с направления, перпендикулярного ее оси. Если – предел текучести при одноосном сжатии, – предел текучести при одноосном растяжении и – предел текучести при двухосном сжатии, параметры можно выразить как ${\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{c}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{b}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}=&\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {4\sigma _{b}^{2}-\sigma _{b}(\sigma _{c}+\sigma _{t})+\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{2}=&\left({\cfrac {1}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {\sigma _{b}(3\sigma _{t}-\sigma _{c})-2\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{0}=&c_{1}\sigma _{c}-c_{2}\sigma _{c}^{2}\end{aligned}}}$

Рисунок 9: Вид поверхности текучести Бреслера-Пистера в трехмерном пространстве главных напряжений.

Рисунок 10: Поверхность текучести Бреслера-Пистера в двумерном пространстве ( ) ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Поверхность текучести Виллама – Варнке

Критерий текучести Виллама-Варнке представляет собой трехпараметрическую сглаженную версию критерия текучести Мора-Кулона , которая по форме похожа на критерии текучести Друкера-Прагера и Бреслера-Пистера .

Критерий доходности имеет функциональный вид

${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0~.}$

Однако чаще всего это выражается в координатах Хейга – Вестергора как

${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0~.}$

Поперечное сечение поверхности, если смотреть вдоль ее оси, представляет собой сглаженный треугольник (в отличие от Мора–Кулона). Поверхность текучести Виллама – Варнке выпукла и имеет уникальные и четко определенные первую и вторую производные в каждой точке своей поверхности. Таким образом, модель Уиллама-Варнке является вычислительно надежной и использовалась для различных когезионно-фрикционных материалов.

Рисунок 11: Вид поверхности текучести Виллама – Варнке в трехмерном пространстве главных напряжений.

Рисунок 12: Поверхность текучести Виллама – Варнке в -плоскости . ${\displaystyle \pi }$

Тригонометрические поверхности текучести Подгурского и Розендаля

Нормированный по одноосному растягивающему напряжению критерий Подгорского ^[29] в зависимости от угла напряжения имеет вид ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }=\sigma _{+}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})}{\Omega _{3}(0,\beta _{3},\chi _{3})}},}$

с формой-функцией тригональной симметрии на -плоскости ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(\pi \beta _{3}-\arccos[\,\sin(\chi _{3}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 3\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{3}\in [0,\,1],\quad \chi _{3}\in [-1,\,1].}$

Он содержит критерии фон Мизеса (окружность в -плоскости , , ), Трески (правильный шестиугольник, , ), Мариотта (правильный треугольник, , ), Ивлева ^[30] (правильный треугольник, , ), а также кубический критерий Сайра ^[31] (критерий Оттосена ^[32] ) с и изотоксальные (равносторонние) шестиугольники критерия Капурсо ^{[30] [31] [33]} с . Переход фон Мизеса-Трески ^[34] следует при , . Изогональные (равноугольные) шестиугольники критерия Хейторнтуэйта ^{[23] [35] [36]} , содержащие критерий Шмидта-Ишлинского (правильный шестиугольник), не могут быть описаны с помощью критерия Подгорского. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \beta _{3}=[0,\,1]}$ ${\displaystyle \chi _{3}=0}$ ${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$ ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{3}=\{1,0\}}$ ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$ ${\displaystyle \chi _{3}=[0,1]}$

Критерий Розендаля ^{[37] [38]} гласит:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})}{\Omega _{6}(0,\beta _{6},\chi _{6})}},}$

с формой-функцией гексагональной симметрии в -плоскости ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(\pi \beta _{6}-\arccos[\,\sin(\chi _{6}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 6\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{6}\in [0,\,1],\quad \chi _{6}\in [-1,\,1].}$

Он содержит критерии фон Мизеса (окружность, , ), Трески (правильный шестиугольник, , ), Шмидта—Ишлинского (правильный шестиугольник, , ), Соколовского (правильный двенадцатиугольник, , ), а также бикубический критерий ^{[23] [37] [39] [40]} с или наравне с и изотоксальные додекагоны единого критерия текучести Ю ^[41] с . Изогональные двенадцатиугольники мультипликативного анзац-критерия гексагональной симметрии ^[23] , содержащего критерий Ишлинского-Ивлева (правильный двенадцатиугольник), не могут быть описаны критерием Розендаля. ${\displaystyle \beta _{6}=[0,\,1]}$ ${\displaystyle \chi _{6}=0}$ ${\displaystyle \beta _{6}=\{1,0\}}$ ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{6}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{6}=1/2}$ ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{6}=0}$ ${\displaystyle \beta _{6}=1}$ ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$

Критерии Подгорского и Розендаля описывают одиночные поверхности в пространстве главных напряжений без каких-либо дополнительных внешних контуров и пересечений плоскостей. Обратите внимание, что во избежание числовых проблем функция реальной части может быть введена в функцию формы: и . Обобщение в форме ^[37] актуально для теоретических исследований. ${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle Re(\Omega _{3})}$ ${\displaystyle Re(\Omega _{6})}$ ${\displaystyle \Omega _{3n}}$

Расширение критериев, чувствительное к давлению, можно получить с помощью линейной -замены ^[23] ${\displaystyle I_{1}}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }\rightarrow {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\qquad {\mbox{with}}\qquad \gamma _{1}\in [0,\,1[,}$

этого достаточно для многих применений, например, металлов, чугуна, сплавов, бетона, неармированных полимеров и т. д.

Основные сечения, описываемые окружностью и правильными многоугольниками тригональной или шестиугольной симметрии на -плоскости. ${\displaystyle \pi }$

Поверхность текучести Бигони – Пикколороаза

Критерий текучести Бигони-Пикколоаза [ ^{42] [43]} представляет собой семипараметрическую поверхность, определяемую формулой

${\displaystyle f(p,q,\theta )=F(p)+{\frac {q}{g(\theta )}}=0,}$

где находится функция «меридиан» ${\displaystyle F(p)}$

${\displaystyle F(p)=\left\{{\begin{array}{ll}-Mp_{c}{\sqrt {(\phi -\phi ^{m})[2(1-\alpha )\phi +\alpha ]}},&\phi \in [0,1],\\+\infty ,&\phi \notin [0,1],\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \phi ={\frac {p+c}{p_{c}+c}},}$

описывающую чувствительность к давлению и представляет собой «девиаторную» функцию ^[44] ${\displaystyle g(\theta )}$

${\displaystyle g(\theta )={\frac {1}{\cos[\beta {\frac {\pi }{6}}-{\frac {1}{3}}\cos ^{-1}(\gamma \cos 3\theta )]}},}$

описывающее зависимость текучести от Лоде. Семь неотрицательных материальных параметров:

${\displaystyle \underbrace {M>0,~p_{c}>0,~c\geq 0,~0<\alpha <2,~m>1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {F(p)}},~~~\underbrace {0\leq \beta \leq 2,~0\leq \gamma <1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {g(\theta )}},}$

определяют форму меридианного и девиаторного участков.

Этот критерий представляет собой гладкую и выпуклую поверхность, замкнутую как при гидростатическом растяжении, так и при сжатии, имеющую каплевидную форму, особенно подходящую для описания фрикционных и сыпучих материалов. Этот критерий был обобщен и на случай поверхностей с углами. ^[45]

Поверхность текучести Бигони-Пикколороаза

Косинусный анзац (Альтенбах-Болчоун-Колупаев)

Для формулировки критериев прочности угол напряжения

${\displaystyle \cos 3\theta ={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}{\frac {I_{3}'}{I_{2}'^{\frac {3}{2}}}}}$

может быть использован.

Следующий критерий изотропного поведения материала

${\displaystyle (3I_{2}')^{3}{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}=\displaystyle \left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\right)^{6-l-m}\,\left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}}\right)^{l}\,\sigma _{\mathrm {eq} }^{m}}$

содержит ряд других известных, менее общих критериев при условии выбора подходящих значений параметров.

Параметры и описывают геометрию поверхности в -плоскости . Они подчиняются ограничениям ${\displaystyle c_{3}}$ ${\displaystyle c_{6}}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle c_{6}={\frac {1}{4}}(2+c_{3}),\qquad c_{6}={\frac {1}{4}}(2-c_{3}),\qquad c_{6}\geq {\frac {5}{12}}\,c_{3}^{2}-{\frac {1}{3}},}$

которые следуют из условия выпуклости. Более точная формулировка третьего ограничения предложена в ^{[46] , [47] .}

Параметры и описывают положение точек пересечения поверхности текучести с гидростатической осью (диагональ пространства в пространстве главных напряжений). Эти точки пересечения называются гидростатическими узлами. В случае материалов, которые не разрушаются при гидростатическом давлении (сталь, латунь и т. д.), получают . В противном случае для материалов, которые разрушаются при гидростатическом давлении (твердые пенопласты, керамика, спеченные материалы и т. д.), следует следующее . ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,\,1[}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}\in [0,\,\gamma _{1}[}$ ${\displaystyle \gamma _{2}<0}$

Целые степени и описывают кривизну меридиана. Меридиан с – прямая, а с – парабола. ${\displaystyle l\geq 0}$ ${\displaystyle m\geq 0}$ ${\displaystyle l+m<6}$ ${\displaystyle l=m=0}$ ${\displaystyle l=0}$

Поверхность текучести Барлата

Для анизотропных материалов в зависимости от направления применяемого процесса (например, прокатки) механические свойства изменяются, и поэтому использование анизотропной функции текучести имеет решающее значение. С 1989 года Фредерик Барла разработал семейство функций текучести для материального моделирования пластической анизотропии. Среди них критерии текучести Yld2000-2D применялись для широкого спектра листового металла (например, алюминиевых сплавов и современных высокопрочных сталей). Модель Yld2000-2D представляет собой функцию текучести неквадратичного типа, основанную на двух линейных преобразованиях тензора напряжений:

${\displaystyle \Phi =\Phi '(X')+\Phi ''(X'')=2{{\bar {\sigma }}^{a}}}$ :

Локусы урожайности Yld2000-2D для листа AA6022 T4.

где находится эффективное напряжение. и и – преобразованные матрицы (линейным преобразованием C или L): ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X''}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}X'=C'.s=L'.\sigma \\X''=C''.s=L''.\sigma \end{array}}}$

где s — тензор девиаторных напряжений.

для главных значений X' и X», модель можно выразить следующим образом:

${\displaystyle {\begin{array}{l}\Phi '={\left|{{{X'}_{1}}+{{X'}_{2}}}\right|^{a}}\\\Phi ''={\left|{2{{X''}_{2}}+{{X''}_{1}}}\right|^{a}}+{\left|{2{{X''}_{1}}+{{X''}_{2}}}\right|^{a}}\end{array}}\ }$

и:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L'}_{11}}\\{{L'}_{12}}\\{{L'}_{21}}\\{{L'}_{22}}\\{{L'}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{2/3}&0&0\\{-1/3}&0&0\\0&{-1/3}&0\\0&{-2/3}&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{1}}\\{\alpha _{2}}\\{\alpha _{7}}\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L''}_{11}}\\{{L''}_{12}}\\{{L''}_{21}}\\{{L''}_{22}}\\{{L''}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{-2}&2&8&{-2}&0\\1&{-4}&{-4}&4&0\\4&{-4}&{-4}&4&0\\{-2}&8&2&{-2}&0\\0&0&0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{3}}\\{\alpha _{4}}\\{\alpha _{5}}\\{\alpha _{6}}\\{\alpha _{8}}\end{array}}\right]}$

где – восемь параметров модели Барлата Yld2000-2D, которые необходимо определить с помощью серии экспериментов. ${\displaystyle \alpha _{1}...\alpha _{8}}$

Смотрите также

• Выход (инжиниринг)
• Пластичность (физика)
• Стресс
• Анри Треска
• стресс фон Мизеса
• Теория Мора – Кулона
• Критерий урожайности на холме
• Критерий доходности Хосфорда
• Напряжение
• Тензор деформации
• Тензор энергии-напряжения
• Концентрация стресса
• 3-D эластичность
• Фредерик Барла

Рекомендации

1. Симо, Дж.С. и Хьюз, Т. JR, (1998), Вычислительная неэластичность, Springer.
2. Ю, М.-Х. (2004), Единая теория прочности и ее приложения . Шпрингер, Берлин
3. Зенкевич О.К., Панде, Г.Н. (1977), Некоторые полезные формы изотропных поверхностей текучести для механики грунтов и горных пород. В: Гудехус, Г. (ред.) Конечные элементы в геомеханике . Уайли, Нью-Йорк, стр. 179–198.
4. Лоде, В. (1925). Versuche über den Einfluß der Mittleren Hauptspannug auf die Fließgrenze. ЗАММ 5 (2), стр. 142–144.
5. Лоде, В. (1926). Versuche über den Einfuss der mittleren Hauptspannung auf das Fliessen der Metalle Eisen Kupfer und Nickel . Цайтунг Физ. , том. 36, стр. 913–939.
6. Лоде, В. (1928). Der Einfluß der mittleren Hauptspannung auf das Fließen der Metalle . Диссертация, Университет Геттингена. Forschungsarbeiten auf dem Gebiete des Ingenieurwesens, Heft 303, VDI, Берлин
7. Новожилов, В.В. (1951). О принципах статического анализа результатов экспериментов для изотропных материалов (О принципах обработки результатов статических испытаний изотропных материалов). Прикладная математика и механика , XV(6):709–722.
8. Наяк, GC и Зенкевич, OC (1972). Удобные формы инвариантов напряжений для пластичности . Труды журнала структурного отдела ASCE, том. 98, нет. ST4, стр. 949–954.
9. Чакрабарти, Дж., 2006, Теория пластичности: третье издание , Elsevier, Амстердам.
10. Брэннон, Р.М., 2009, КАЙЕНТА: Теория и руководство пользователя , Национальные лаборатории Сандии, Альбукерке, Нью-Мексико.
11. Треска, Х. (1864). Mémoire sur l'écoulement des Corps Solides Soumis à de Fortes Presses. ЧР акад. наук. Париж, том. 59, с. 754.
12. Гость
13. Буржинский, В. (1929). Über die Anstrengungshypothesen . Schweizerische Bauzeitung, 94 (21), стр. 259–262.
14. Ягнь, Ю. И. (1931). Новые методы прогноза прочности . Вестник инженеров и техники, 6, стр. 237–244.
15. Альтенбах, Х., Колупаев, В.А. (2014) Классические и неклассические критерии разрушения, в Альтенбах, Х., Садовский, Т., ред., Анализ отказов и повреждений современных материалов , в печати, Springer, Гейдельберг (2014). ), стр. 1–66.
16. Беляев, Н.М. (1979). Сопротивление материалов . Издательство «Мир», Москва
17. Больчоун А., Колупаев В.А., Альтенбах Х. (2011) Выпуклые и невыпуклые поверхности текучести (на немецком языке: Konvexe und nichtkonvexe Fließflächen), Forschung im Ingenieurwesen , 75 (2), стр. 73–92.
18. Хубер, MT (1904). Удельная нагрузка как мера материальных усилий (на польском языке: Właściwa praca odkształcenia jako miara wytęzenia materyału), Czasopismo Techniczne , Lwów, Organ Towarzystwa Poliznego we Lwowie, т. 22. С. 34–40, 49–50, 61–62. , 80-81
19. Фёппль, А., Фёппль, Л. (1920). Drang und Zwang: eine höhere Festigkeitslehre für Ingenieure . Р. Ольденбург, Мюнхен
20. Буржинский, В. (1929). Über die Anstrengungshypothesen. Schweizerische Bauzeitung 94 (21): 259–262.
21. Кун, П. (1980). Grundzüge einer allgemeinen Festigkeitshypothese , Auszug aus Antrittsvorlesung des Verfassers vom 11 июля 1980 г. Vom Konstrukteur und den Festigkeitshypothesen. Инст. для машиностроения, Карлсруэ
22. Колупаев В.А., Монеке М., Беккер Ф. (2004). Появление напряжений при ползучести. Расчет пластиковых деталей (на немецком языке: Spannungsausprägung beim Kriechen: Berechnung von Kunststoffbauteilen). Кунстштоффе 94 (11): 79–82.
23. Колупаев, В.А. (2018). Концепция эквивалентного напряжения для анализа предельного состояния , Springer, Cham.
24. Колупаев, В.А., (2006). Трехмерное поведение ползучести деталей из неармированных термопластов (на немецком языке: Dreisizedes Kriechverhalten von Bauteilen aus unverstärkten Thermoplasten) , Дисс., Университет Мартина-Лютера Галле-Виттенберг, Галле-Заале
25. Мемхард, Д., Андриё, Ф., Сан, Д.-З., Хакер, Р. (2011) Разработка и проверка модели материала для прогнозирования безопасности локализации выхлопных турбокомпрессоров, 8-я Европейская конференция пользователей LS-DYNA , Страсбург, май 2011 г., 11 стр.
26. ДиМаджио, Флорида, Сандлер, И.С. (1971) Модель материала для зернистых грунтов, Журнал отдела инженерной механики , 97 (3), 935-950
27. Хан и Хуан. (1995), Континуальная теория пластичности. Дж. Уайли.
28. Нето, Перич, Оуэн. (2008), Математическая теория пластичности. Дж. Уайли.
29. Подгорский, Дж. (1984). Условие предельного состояния и функция диссипации изотропных материалов, Архив механики 36 (3), стр. 323-342.
30. Ивлев, Д.Д. (1959). Теория разрушения твердых тел (к теории разрушения твердых тел), Ж. Прикл. математики и механики , 23(3), с. 884-895.
31. Сайир, М. (1970). Zur Fließbedingung der Plastizitätstheorie, Ingenieur-Archiv 39(6), стр. 414–432.
32. Оттосен, Н.С. (1975). Разрушение и эластичность бетона, Датская комиссия по атомной энергии , Научно-исследовательское учреждение Рисо, Инженерный отдел, Отчет Рисо-М-1801, Роскилле.
33. Капурсо, М. (1967). Условия текучести несжимаемых изотропных и ортотропных материалов с различным пределом текучести при растяжении и сжатии, Meccanica 2(2), стр. 118-125.
34. Леметр Дж., Шабош Дж.Л. (1990). Механика твердых материалов , Издательство Кембриджского университета, Кембридж.
35. Кэндланд, Коннектикут (1975). Значение макроскопических критериев разрушения, не зависящих от гидростатического напряжения, Int. J. Fracture 11 (3), стр. 540–543.
36. Хейторнтвейт RM (1961). Диапазон условий текучести при идеальной пластичности, Proc ASCE J Eng Mech Div , EM6, 87, стр. 117–133.
37. Розендаль, П.Л., Колупаев, В.А., Альтенбах, Х. (2019). Показатели предельной текучести для универсальных критериев прочности, под ред. Альтенбаха Х., Охснера А., « Состояние искусства и будущие тенденции в моделировании материалов» , «Усовершенствованные структурированные материалы STRUCTMAT», Springer, Cham, стр. 259–324.
38. Розендаль, Польша (2020). От объема к структурному разрушению: Разрушение гиперупругих материалов , Дисс., Технический университет Дармштадта.
39. Швед, А. (2000). Гипотезы прочности и определяющие отношения материалов , включая эффекты деградации, (на польском языке: Hipotezy Wytężeniowe i Relacje Konstytutywne Materiałów z Uwzględnieniem Efektów Degradacji), Praca Doctorska, Wydział Inąynierii Lądowej Politechniki Warszawskiej, Варшава.
40. Лагздин, А. (1997). Гладкие выпуклые предельные поверхности в пространстве симметричных тензоров второго ранга, Механика композиционных материалов , 3(2), 119-127.
41. Ю М.-Х. (2002). Достижения в теории прочности материалов в условиях сложного напряженного состояния в 20 веке, Applied Mechanics Reviews , 55 (5), стр. 169-218.
42. Бигони, Д. Нелинейная механика твердого тела: теория бифуркаций и нестабильность материала. Издательство Кембриджского университета, 2012. ISBN  9781107025417 .
43. Бигони Д. и Пикколроаз А. (2004), Критерии текучести квазихрупких и фрикционных материалов, Международный журнал твердых тел и структур 41 , 2855–2878.
44. Подгорский, Дж. (1984). Условие предельного состояния и функция диссипации для изотропных материалов. Архив механики , 36 (3), стр. 323–342.
45. Пикколроаз, А. и Бигони, Д. (2009), Критерии текучести квазихрупких и фрикционных материалов: обобщение на поверхности с углами, Международный журнал твердых тел и структур 46 , 3587–3596.
46. Альтенбах Х., Больчоун А., Колупаев В.А. (2013). Феноменологические критерии текучести и разрушения, под ред. Альтенбаха Х., Окснера А., « Пластичность материалов, чувствительных к давлению» , Серия ASM, Springer, Гейдельберг, стр. 49–152.
47. Колупаев, В.А. (2018). Концепция эквивалентного напряжения для анализа предельного состояния, Springer, Cham.