лемма Йонеды

Вложение категорий в категории функторов

В математике лемма Йонеды является фундаментальным результатом в теории категорий . ^[1] Это абстрактный результат о функторах типа морфизмов в фиксированный объект . Это обширное обобщение теоремы Кэли из теории групп (рассматривающей группу как миниатюрную категорию с одним объектом и только изоморфизмами). Она допускает вложение любой локально малой категории в категорию функторов ( контравариантных многозначных функторов), определенных на этой категории. Она также проясняет, как вложенная категория представимых функторов и их естественных преобразований связана с другими объектами в большей категории функторов. Это важный инструмент, который лежит в основе нескольких современных разработок в алгебраической геометрии и теории представлений . Она названа в честь Нобуо Йонеды .

Общие положения

Лемма Йонеды предполагает, что вместо изучения локально малой категории следует изучать категорию всех функторов в ( категорию множеств с функциями как морфизмами ). — это категория, которую мы думаем, что хорошо понимаем, и функтор в можно рассматривать как «представление» в терминах известных структур. Исходная категория содержится в этой категории функторов, но в категории функторов появляются новые объекты, которые отсутствовали и «скрыты» в . Рассмотрение этих новых объектов так же, как и старых, часто унифицирует и упрощает теорию. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Этот подход сродни (и фактически обобщает) общепринятому методу изучения кольца путем исследования модулей над этим кольцом. Кольцо занимает место категории , а категория модулей над кольцом является категорией функторов, определенных на . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Официальное заявление

Лемма Йонеды касается функторов из фиксированной категории в категорию множеств , . Если — локально малая категория (т.е. hom-множества являются фактическими множествами, а не собственными классами), то каждый объект из порождает естественный функтор , называемый hom-функтором . Этот функтор обозначается: ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$

${\displaystyle h_{A}=\mathrm {Hom} (A,-)}$.

( Ковариантный ) hom-функтор отправляет в множество морфизмов и отправляет морфизм (где ) в морфизм (композиция с слева), который отправляет морфизм в в морфизм в . То есть, ${\displaystyle h_{A}}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,X)}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle Y\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle f\circ -}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,X)}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,Y)}$

${\displaystyle h_{A}(f)=\mathrm {Hom} (A,f),{\text{ or}}}$

${\displaystyle h_{A}(f)(g)=f\circ g}$

Лемма Йонеды гласит:

Лемма  (Йонеда)  —  Пусть будет функтором из локально малой категории в . Тогда для каждого объекта из естественные преобразования из в находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами из . То есть, ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},F)\equiv \mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (A,-),F)}$ ${\displaystyle h_{A}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(A)}$

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},F)\cong F(A).}$

Более того, этот изоморфизм естественен в и когда обе стороны рассматриваются как функторы из в . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$

Здесь обозначение обозначает категорию функторов из в . ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$

При наличии естественного преобразования из в соответствующий элемент из есть ; ^[a] и при наличии элемента из соответствующее естественное преобразование задается формулой , которая присваивает морфизму значение . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle h_{A}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(A)}$ ${\displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle F(A)}$ ${\displaystyle \Phi _{X}(f)=F(f)(u)}$ ${\displaystyle f\colon A\to X}$ ${\displaystyle F(X)}$

Контравариантная версия

Существует контравариантная версия леммы Йонеды ^[2] , которая касается контравариантных функторов из в . Эта версия включает контравариантный hom-функтор ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$

${\displaystyle h^{A}=\mathrm {Hom} (-,A),}$

который отправляет в hom-set . При заданном произвольном контравариантном функторе из в , лемма Йонеды утверждает, что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,A)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},G)\cong G(A).}$

Естественность

Биекции, представленные в (ковариантной) лемме Йонеды (для каждого и ), являются компонентами естественного изоморфизма между двумя определенными функторами из в . ^{[3] : 61} Один из двух функторов является функтором оценки ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$

${\displaystyle -(-)\colon {\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$

${\displaystyle -(-)\colon (A,F)\mapsto F(A)}$

который отправляет пару морфизмов и естественное преобразование в карту ${\displaystyle (f,\Phi )}$ ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Phi \colon F\to G}$

${\displaystyle \Phi _{B}\circ F(f)=G(f)\circ \Phi _{A}\colon F(A)\to G(B).}$

Этого достаточно, чтобы определить другой функтор, поскольку мы знаем, что такое естественный изоморфизм. Под вторым функтором

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon {\mathcal {C}}\times \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} ,}$

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon (A,F)\mapsto \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F),}$

изображение пары — это карта ${\displaystyle (f,\Phi )}$

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )=\operatorname {Nat} (\hom(B,-),\Phi )\circ \operatorname {Nat} (\hom(f,-),F)=\operatorname {Nat} (\hom(f,-),G)\circ \operatorname {Nat} (\hom(A,-),\Phi )}$

который отправляет естественное преобразование в естественное преобразование , компоненты которого ${\displaystyle \Psi \colon \hom(A,-)\to F}$ ${\displaystyle \Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-)\colon \hom(B,-)\to G}$

${\displaystyle (\Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-))_{C}(g)=(\Phi \circ \Psi )_{C}(g\circ f)\qquad (g\colon B\to C).}$

Соглашения об именовании

Использование для ковариантного hom-функтора и для контравариантного hom-функтора не является полностью стандартным. Во многих текстах и ​​статьях либо используется противоположное соглашение, либо совершенно не связанные символы для этих двух функторов. Однако большинство современных текстов по алгебраической геометрии, начиная с основополагающего EGA Александра Гротендика, используют соглашение, изложенное в этой статье. ^[b] ${\displaystyle h_{A}}$ ${\displaystyle h^{A}}$

Мнемоника "falling into something" может быть полезна для запоминания того, что это ковариантный hom-функтор. Когда буква падает (т.е. индекс), присваивает объекту морфизмы из into . ${\displaystyle h_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h_{A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

Доказательство

Поскольку — естественное преобразование, то имеем следующую коммутативную диаграмму : ${\displaystyle \Phi }$

Доказательство леммы Йонеды

Эта диаграмма показывает, что естественное преобразование полностью определяется, поскольку для каждого морфизма имеется ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})=u}$ ${\displaystyle f\colon A\to X}$

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)u.}$

Более того, любой элемент определяет естественное преобразование таким образом. Доказательство в контравариантном случае полностью аналогично. ^[1] ${\displaystyle u\in F(A)}$

Вложение Йонеды

Важный частный случай леммы Йонеды — когда функтор из в является другим hom-функтором . В этом случае ковариантная версия леммы Йонеды утверждает, что ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle h_{B}}$

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A).}$

То есть, естественные преобразования между hom-функторами находятся во взаимно-однозначном соответствии с морфизмами (в обратном направлении) между ассоциированными объектами. При наличии морфизма ассоциированное естественное преобразование обозначается . ${\displaystyle f\colon B\to A}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (f,-)}$

Отображение каждого объекта в его ассоциированном hom-функторе и каждого морфизма в соответствующее естественное преобразование определяет контравариантный функтор из в , категорию функторов всех (ковариантных) функторов из в . Можно интерпретировать как ковариантный функтор : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle h_{A}=\mathrm {Hom} (A,-)}$ ${\displaystyle f\colon B\to A}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (f,-)}$ ${\displaystyle h_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle h_{\bullet }}$

${\displaystyle h_{\bullet }\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}.}$

Смысл леммы Йонеды в этой ситуации заключается в том, что функтор полностью верен и , следовательно, дает вложение в категорию функторов в . Совокупность всех функторов является подкатегорией . Следовательно, вложение Йонеды подразумевает, что категория изоморфна категории . ${\displaystyle h_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle \{h_{A}|A\in C\}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle \{h_{A}|A\in C\}}$

Контравариантная версия леммы Йонеды утверждает, что

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B).}$

Следовательно, порождает ковариантный функтор из в категорию контравариантных функторов в : ${\displaystyle h^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$

${\displaystyle h^{\bullet }\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}.}$

Лемма Йонеды утверждает, что любая локально малая категория может быть вложена в категорию контравариантных функторов из в через . Это называется вложением Йонеды . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle h^{\bullet }}$

Вложение Йонеды иногда обозначается よ, хирагана кана Йо . ^[4]

Представимый функтор

Вложение Йонеды по сути утверждает , что для каждой (локально малой) категории объекты в этой категории могут быть представлены предпучками , полным и точным образом. То есть,

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},P)\cong P(A)}$

для предпучка P . Многие общие категории на самом деле являются категориями предпучков и при более близком рассмотрении оказываются категориями пучков , и поскольку такие примеры обычно являются топологическими по своей природе, их можно рассматривать как топосы в общем. Лемма Йонеды предоставляет точку опоры, с помощью которой можно изучать и понимать топологическую структуру категории.

С точки зрения (ко)конечного исчисления

При наличии двух категорий и двух функторов естественные преобразования между ними можно записать следующим образом . ^[5] ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle F,G:\mathbf {C} \to \mathbf {D} }$

${\displaystyle \mathrm {Nat} (F,G)=\int _{c\in \mathbf {C} }\mathrm {Hom} _{\mathbf {D} }(Fc,Gc)}$

Для любых функторов и следующие формулы являются формулировками леммы Йонеды. ^[6] ${\displaystyle K\colon \mathbf {C} ^{op}\to \mathbf {Sets} }$ ${\displaystyle H\colon \mathbf {C} \to \mathbf {Sets} }$

${\displaystyle K\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Kc\times \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,c),\qquad K\cong \int _{c\in \mathbf {C} }(Kc)^{\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(c,-)},}$

${\displaystyle H\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Hc\times \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(c,-),\qquad H\cong \int _{c\in \mathbf {C} }(Hc)^{\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,c)}.}$

Предаддитивные категории, кольца и модули

Предаддитивная категория — это категория, в которой множества морфизмов образуют абелевы группы , а композиция морфизмов билинейна ; примерами являются категории абелевых групп или модулей. В предаддитивной категории есть как «умножение», так и «сложение» морфизмов, поэтому предаддитивные категории рассматриваются как обобщения колец . Кольца — это предаддитивные категории с одним объектом.

Лемма Йонеды остается верной для предаддитивных категорий, если мы выбираем в качестве нашего расширения категорию аддитивных контравариантных функторов из исходной категории в категорию абелевых групп; это функторы, которые совместимы с добавлением морфизмов и должны рассматриваться как образующие модульную категорию над исходной категорией. Затем лемма Йонеды дает естественную процедуру для расширения предаддитивной категории так, что расширенная версия остается предаддитивной — на самом деле, расширенная версия является абелевой категорией , гораздо более сильным условием. В случае кольца расширенная категория является категорией всех правых модулей над , и утверждение леммы Йонеды сводится к хорошо известному изоморфизму ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle M\cong \mathrm {Hom} _{R}(R,M)}$   для всех правильных модулей свыше . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$

Связь с теоремой Кэли

Как указано выше, лемму Йонеды можно рассматривать как обширное обобщение теоремы Кэли из теории групп . Чтобы увидеть это, пусть будет категорией с одним объектом, такой, что каждый морфизм является изоморфизмом (т. е. группоидом с одним объектом). Тогда образует группу под действием операции композиции, и любая группа может быть реализована как категория таким образом. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle G=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,*)}$

В этом контексте ковариантный функтор состоит из множества и гомоморфизма группы , где — группа перестановок ; другими словами, — G-множество . Естественное преобразование между такими функторами — это то же самое, что и эквивариантное отображение между -множествами: функция множества со свойством, что для всех в и в . (В левой части этого уравнения обозначает действие на , а в правой части — действие на .) ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\to \mathrm {Perm} (X)}$ ${\displaystyle \mathrm {Perm} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \alpha \colon X\to Y}$ ${\displaystyle \alpha (g\cdot x)=g\cdot \alpha (x)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Теперь ковариантный hom-функтор соответствует действию на себя с помощью левого умножения (контравариантная версия соответствует правому умножению). Лемма Йонеды с утверждает, что ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-)}$

${\displaystyle \mathrm {Nat} (\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-),\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-))\cong \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,*)}$,

то есть, эквивариантные отображения из этого -множества в себя находятся в биекции с . Но легко видеть, что (1) эти отображения образуют группу относительно композиции, которая является подгруппой , и (2) функция, которая задает биекцию, является групповым гомоморфизмом. (Двигаясь в обратном направлении, она сопоставляется каждому в эквивариантном отображении правого умножения на .) Таким образом , изоморфна подгруппе , что является утверждением теоремы Кэли. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {Perm} (G)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {Perm} (G)}$

История

Ёсики Киносита заявил в 1996 году, что термин «лемма Йонеды» был придуман Сондерсом Маклейном после интервью, которое он взял у Йонеды на вокзале Гар-дю-Нор . ^{[7] [8]}

Смотрите также

• Теорема о представлении
• Завершения в теории категорий

Примечания

1. Напомним, что последнее выражение корректно определено и отправляет морфизм из в , в элемент из . ${\displaystyle \Phi _{A}:\mathrm {Hom} (A,A)\to F(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F(A)}$
2. Заметным исключением из современных текстов по алгебраической геометрии, следующих соглашениям этой статьи, является Commutative algebra with a view towards algebraic geometry / David Eisenbud (1995), который использует для обозначения ковариантного hom-функтора. Однако более поздняя книга The geometry of schemes / David Eisenbud, Joe Harris (1998) переворачивает это и использует для обозначения контравариантного hom-функтора. ${\displaystyle h_{A}}$ ${\displaystyle h_{A}}$

Ссылки

1. Риль, Эмили (2017). Теория категорий в контексте (PDF) . Дувр. ISBN 978-0-486-82080-4.
2. Берье и Пастор (2019), Лемма 2.10 (Контравариантная лемма Йонеды).
3. Mac Lane, Saunders (1998). Категории для работающих математиков . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 5 (2 ed.). New York, NY: Springer. doi :10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-0-387-98403-2. ISSN  0072-5285. МР  1712872. Збл  0906.18001.
4. "Внедрение Йонеды". nLab . Получено 6 июля 2019 г.
5. Loregian (2021), Теорема 1.4.1.
6. Loregian (2021), Предложение 2.2.1 (лемма ниндзя Ёнеды).
7. Киносита, Ёсики (23 апреля 1996 г.). "Проф. Нобуо Ёнеда скончался" . Получено 21 декабря 2013 г.
8. "Le lemme de la Gare du Nord" . бесконечные книги . 18 ноября 2016 года . Проверено 10 сентября 2022 г.

• Фрейд, Питер (1964), Абелевы категории, Серия Харпера по современной математике (переиздание 2003 г.), Harper and Row, Zbl  0121.02103.
• Mac Lane, Saunders (1998), Категории для работающих математиков , Graduate Texts in Mathematics , т. 5 (2-е изд.), Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98403-8, ЗБЛ  0906.18001
• Лорегиан, Фоско (2021). (Ко)конец исчисления . arXiv : 1501.02503 . дои : 10.1017/9781108778657. ISBN 9781108778657.
• Лейнстер, Том (2014), Базовая теория категорий , arXiv : 1612.09375 , doi : 10.1017/CBO9781107360068, ISBN 978-1-107-04424-1
• Теория категорий, Oxford University Press, 17 июня 2010 г., ISBN 978-0-19-958736-0

• Лемма Йонеды в n Lab

Внешние ссылки

• Доказательство системы Мицара : Войцеховский, М. (1997). "Вложение Йонеды". Журнал формализованной математики . 6 (3): 377–380. CiteSeerX 10.1.1.73.7127 . 
• Берье, Эрван; Пастор, Доминик (июль 2019 г.). «Ускоренный курс по теории категорий».