Неравенство свертки Юнга

Математическое неравенство о свертке двух функций

В математике неравенство свертки Юнга — математическое неравенство относительно свертки двух функций ^[1] , названное в честь Уильяма Генри Янга .

Заявление

Евклидово пространство

В реальном анализе следующий результат называется неравенством свертки Юнга: ^[2]

Предположим, что находится в пространстве Лебега и находится в и с Тогда ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} ^{d})}$ $${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1}$$ ${\displaystyle 1\leq p,q,r\leq \infty .}$ $${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$$

Здесь звездочка обозначает свертку , — пространство Лебега , а — обычную норму. ${\displaystyle L^{p}}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}={\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|^{p}\,dx{\Bigr )}^{1/p}}$$ ${\displaystyle L^{p}}$

Эквивалентно, если и тогда ${\displaystyle p,q,r\geq 1}$ ${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}$ $${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)g(x-y)h(y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right|\leq \left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert f\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert g\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert h\vert ^{r}\right)^{\frac {1}{r}}}$$

Обобщения

Неравенство свертки Юнга имеет естественное обобщение, в котором мы заменяем на унимодулярную группу Если мы допустим, что будет биинвариантной мерой Хаара на и пусть или будут интегрируемыми функциями, то мы определяем как Тогда в этом случае неравенство Юнга утверждает, что для и и таких, что мы имеем границу Эквивалентно, если и то Поскольку на самом деле является локально компактной абелевой группой (и, следовательно, унимодулярной) с мерой Лебега искомой мерой Хаара, это на самом деле обобщение. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f,g:G\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f*g}$ $${\displaystyle f*g(x)=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\,\mathrm {d} \mu (y).}$$ ${\displaystyle f\in L^{p}(G,\mu )}$ ${\displaystyle g\in L^{q}(G,\mu )}$ ${\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]}$ $${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1}$$ $${\displaystyle \lVert f*g\rVert _{r}\leq \lVert f\rVert _{p}\lVert g\rVert _{q}.}$$ ${\displaystyle p,q,r\geq 1}$ ${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}$ $${\displaystyle \left|\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right|\leq \left(\int _{G}\vert f\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{G}\vert g\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\left(\int _{G}\vert h\vert ^{r}\right)^{\frac {1}{r}}.}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Это обобщение может быть уточнено. Пусть и будут такими же, как и прежде, и предположим, что удовлетворяют Тогда существует константа такая, что для любой и любой измеримой функции на , которая принадлежит слабому пространству , что по определению означает, что следующий супремум конечен, мы имеем и ^[3] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 1<p,q,r<\infty }$ ${\textstyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}+1.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(G,\mu )}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{q}}$ ${\displaystyle L^{q,w}(G,\mu ),}$ $${\displaystyle \|g\|_{q,w}^{q}~:=~\sup _{t>0}\,t^{q}\mu (|g|>t)}$$ ${\displaystyle f*g\in L^{r}(G,\mu )}$ $${\displaystyle \|f*g\|_{r}~\leq ~C\,\|f\|_{p}\,\|g\|_{q,w}.}$$

Приложения

Примером применения является то, что неравенство Юнга можно использовать для того, чтобы показать, что тепловая полугруппа является сжимающейся полугруппой, использующей норму (то есть преобразование Вейерштрасса не увеличивает норму). ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Доказательство

Доказательство с помощью неравенства Гельдера

Неравенство Юнга имеет элементарное доказательство с неоптимальной константой 1. ^[4]

Мы предполагаем, что функции неотрицательны и интегрируемы, где — унимодулярная группа, наделенная биинвариантной мерой Хаара. Мы используем тот факт, что для любого измеримого Поскольку Из неравенства Гёльдера для трех функций следует, что Заключение следует тогда из левой инвариантности меры Хаара, того факта, что интегралы сохраняются при инверсии области определения, и теоремы Фубини . ${\displaystyle f,g,h:G\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu .}$ ${\displaystyle \mu (S)=\mu (S^{-1})}$ ${\displaystyle S\subseteq G.}$ ${\textstyle p(2-{\tfrac {1}{q}}-{\tfrac {1}{r}})=q(2-{\tfrac {1}{p}}-{\tfrac {1}{r}})=r(2-{\tfrac {1}{p}}-{\tfrac {1}{q}})=1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\\={}&\int _{G}\int _{G}\left(f(x)^{p}g(y^{-1}x)^{q}\right)^{1-{\frac {1}{r}}}\left(f(x)^{p}h(y)^{r}\right)^{1-{\frac {1}{q}}}\left(g(y^{-1}x)^{q}h(y)^{r}\right)^{1-{\frac {1}{p}}}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\\&\leq \left(\int _{G}\int _{G}f(x)^{p}g(y^{-1}x)^{q}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{r}}}\left(\int _{G}\int _{G}f(x)^{p}h(y)^{r}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{q}}}\left(\int _{G}\int _{G}g(y^{-1}x)^{q}h(y)^{r}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{p}}}.\end{aligned}}}$$

Доказательство интерполяцией

Неравенство Юнга также можно доказать с помощью интерполяции; доказательство см. в статье об интерполяции Рисса–Торина .

Константа Шарпа

В случае, если неравенство Юнга можно усилить до точной формы, с помощью где константа ^{[5] [6] [7]} При достижении этой оптимальной константы функции и являются многомерными гауссовыми функциями . ${\displaystyle p,q>1,}$ $${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq c_{p,q}\|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$$ ${\displaystyle c_{p,q}<1.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Смотрите также

• Неравенство Минковского  – Неравенство, устанавливающее, что пространства L ^p являются нормированными векторными пространствами

Примечания

1. Young, WH (1912), «Об умножении последовательностей констант Фурье», Труды Королевского общества A , 87 (596): 331–339, doi : 10.1098/rspa.1912.0086 , JFM  44.0298.02, JSTOR  93120
2. Богачев, Владимир И. (2007), Теория меры , т. I, Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-34513-8, MR  2267655, Zbl  1120.28001, Теорема 3.9.4
3. Бахури, Чемин и Данчин, 2011, стр. 5–6.
4. Либ, Эллиотт Х.; Лосс, Майкл (2001). Анализ . Аспирантура по математике (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 100. ISBN 978-0-8218-2783-3. OCLC  45799429.
5. Бекнер, Уильям (1975). «Неравенства в анализе Фурье». Annals of Mathematics . 102 (1): 159–182. doi :10.2307/1970980. JSTOR  1970980.
6. Brascamp, Herm Jan; Lieb, Elliott H (1976-05-01). «Лучшие константы в неравенстве Юнга, его обратное уравнение и его обобщение на более чем три функции». Advances in Mathematics . 20 (2): 151–173. doi :10.1016/0001-8708(76)90184-5.
7. Фурнье, Джон Дж. Ф. (1977), «Точность неравенства Юнга для свертки», Pacific Journal of Mathematics , 72 (2): 383–397, doi : 10.2140/pjm.1977.72.383 , MR  0461034, Zbl  0357.43002

Ссылки

• Бахури, Хаджер ; Шемен, Жан-Ив ; Данчин, Рафаэль (2011). Анализ Фурье и нелинейные уравнения в частных производных. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 343. Берлин, Гейдельберг: Шпрингер. ISBN 978-3-642-16830-7. OCLC  704397128.

Внешние ссылки

• Неравенство Юнга для сверток в ProofWiki