В математике , особенно в области алгебры, известной как теория групп , термин Z-группа относится к ряду различных типов групп :
При изучении конечных групп Z -группа — это конечная группа, все силовские подгруппы которой являются циклическими . Z происходит как из немецкого Zyklische, так и из их классификации в (Zassenhaus 1935). Во многих стандартных учебниках эти группы не имеют специального названия, кроме метациклических групп , но этот термин сегодня часто используется более широко. См. метациклическая группа для получения более подробной информации об общем современном определении, которое включает нециклические p -группы ; см. (Hall 1959, Th. 9.4.3) для более строгого классического определения, более тесно связанного с Z-группами.
Каждая группа, чьи силовские подгруппы цикличны, сама является метациклической , поэтому сверхразрешимой . Фактически, такая группа имеет циклическую производную подгруппу с циклическим максимальным абелевым фактором. Такая группа имеет представление (Hall 1959, Th. 9.4.3):
Теория характеров Z-групп хорошо изучена (Çelik 1976), поскольку они являются мономиальными группами .
Производная длина Z-группы не превышает 2, поэтому Z-группы могут быть недостаточны для некоторых применений. Обобщением, предложенным Холлом, являются A-группы , группы с абелевыми силовскими подгруппами. Эти группы ведут себя подобно Z-группам, но могут иметь произвольно большую производную длину (Холл 1940). Другое обобщение, предложенное (Судзуки 1955), позволяет силовской 2-подгруппе быть более гибкой, включая диэдральные и обобщенные группы кватернионов .
Определение центрального ряда, используемое для Z-группы, несколько технично. Ряд группы G — это набор S подгрупп группы G , линейно упорядоченных по включению, такой, что для каждого g из G подгруппы A g = ∩ { N из S : g из N } и B g = ∪ { N из S : g не из N } обе находятся в S . (Обобщенный) центральный ряд группы G — это ряд, такой что каждый N из S нормален в G и такой, что для каждого g из G фактор A g / B g содержится в центре G / B g . Z -группа — это группа с таким (обобщенным) центральным рядом. Примерами служат гиперцентральные группы , трансфинитные верхние центральные ряды которых образуют такой центральный ряд, а также гипоцентральные группы, трансфинитные нижние центральные ряды которых образуют такой центральный ряд (Robinson 1996).
(Z)-группа — это группа, точно представленная как дважды транзитивная группа перестановок , в которой ни один неединичный элемент не фиксирует более двух точек. (ZT)-группа — это (Z)-группа нечетной степени, не являющаяся группой Фробениуса , то есть группой Цассенхауза нечетной степени, также известной как одна из групп PSL(2,2 k +1 ) или Sz(2 2 k +1 ) , для любого положительного целого числа k (Suzuki 1961).
