В математике , в области абстрактной алгебры , известной как теория групп , A-группа — это тип группы, которая похожа на абелевы группы . Группы были впервые изучены в 1940-х годах Филиппом Холлом и продолжают изучаться сегодня. Об их структуре известно очень много.
Определение
A -группа — это конечная группа , обладающая тем свойством , что все ее силовские подгруппы абелевы .
История
Термин A-группа, вероятно, впервые был использован в (Hall 1940, Sec. 9), где внимание было ограничено разрешимыми A-группами. Презентация Холла была довольно краткой без доказательств, но его замечания вскоре были расширены доказательствами в (Taunt 1949). Теория представлений A-групп изучалась в (Itô 1952). Затем Картер опубликовал важную связь между подгруппами Картера и работой Холла в (Carter 1962). Работа Холла, Таунта и Картера была представлена в форме учебника в (Huppert 1967). Внимание к разрешимым A-группам расширилось с классификацией конечных простых A-групп в (Walter 1969), что позволило обобщить работу Таунта на конечные группы в (Broshi 1971). Интерес к A-группам также расширился из-за важной связи с разновидностями групп, обсуждаемых в (Ol'šanskií 1969). Современный интерес к A-группам возобновился, когда новые методы перечисления позволили получить точные асимптотические оценки числа различных классов изоморфизма A-групп в (Venkataraman 1997).
Характеристики
О группах А можно сказать следующее:
- Каждая подгруппа , факторгруппа и прямое произведение A-групп являются A-группами.
- Каждая конечная абелева группа является A-группой.
- Конечная нильпотентная группа является A-группой тогда и только тогда, когда она абелева.
- Симметрическая группа по трём точкам является A-группой, которая не является абелевой.
- Каждая группа порядка без кубов является А-группой.
- Производная длина A-группы может быть произвольно большой, но не больше числа различных простых делителей порядка, указанного в (Hall 1940) и представленного в учебнике как (Huppert 1967, Kap. VI, Satz 14.16).
- Нижний нильпотентный ряд совпадает с производным рядом (Холл, 1940).
- Разрешимая A-группа имеет единственную максимальную абелеву нормальную подгруппу (Холл, 1940).
- Подгруппа Фиттинга разрешимой A-группы равна прямому произведению центров членов производного ряда , что впервые было установлено в ( Hall 1940), затем доказано в (Taunt 1949) и представлено в виде учебника в (Huppert 1967, Kap. VI, Satz 14.8).
- Неабелева конечная простая группа является A-группой тогда и только тогда, когда она изоморфна первой группе Янко или PSL(2, q ), где q > 3 и либо q = 2 n , либо q ≡ 3,5 mod 8, как показано в (Walter 1969).
- Все группы в многообразии, порожденном конечной группой, финитно аппроксимируемы тогда и только тогда, когда эта группа является A-группой, как показано в (Ольшанский 1969).
- Подобно Z-группам , чьи силовские подгруппы являются циклическими, A-группы могут быть проще для изучения, чем общие конечные группы из-за ограничений на локальную структуру. Например, более точное перечисление разрешимых A-групп было найдено после перечисления разрешимых групп с фиксированными, но произвольными силовскими подгруппами (Venkataraman 1997). Более неторопливое изложение дано в (Blackburn, Neumann & Venkataraman 2007, Ch. 12).
Ссылки
- Блэкберн, Саймон Р.; Нойманн, Питер М.; Венкатараман, Гита (2007), Перечисление конечных групп , Cambridge Tracts in Mathematics № 173 (1-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88217-0, OCLC 154682311
- Броши, Авиад М. (1971), «Конечные группы, силовские подгруппы которых абелевы», Журнал алгебры , 17 : 74–82, doi : 10.1016/0021-8693(71)90044-5 , ISSN 0021-8693, MR 0269741
- Картер, Роджер В. (1962), «Нильпотентные самонормализующиеся подгруппы и системные нормализаторы», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 12 : 535–563, doi :10.1112/plms/s3-12.1.535, MR 0140570
- Холл, Филип (1940), «Построение разрешимых групп», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 182 : 206–214, doi : 10.1515/crll.1940.182.206, ISSN 0075-4102, MR 0002877, S2CID 118354698
- Юпперт, Б. (1967), Endliche Gruppen (на немецком языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2, MR 0224703, OCLC 527050, особенно Глава VI, §14, стр. 751–760
- Ито, Нобору (1952), «Заметки об A-группах», Nagoya Mathematical Journal , 4 : 79–81, doi : 10.1017/S0027763000023023 , ISSN 0027-7630, MR 0047656
- Ольшанский, А.Ю. (1969), "Многообразия конечно аппроксимируемых групп", Известия Академии наук СССР. Серия Математическая , 33 (4): 915–927, Бибкод :1969ИзМат...3..867О, doi :10.1070/IM1969v003n04ABEH000807, ISSN 0373-2436, MR 0258927
- Taunt, DR (1949), «О группах A», Proc. Cambridge Philos. Soc. , 45 (1): 24–42, Bibcode : 1949PCPS...45...24T, doi : 10.1017/S0305004100000414, MR 0027759, S2CID 120131175
- Венкатараман, Гита (1997), «Перечисление конечных разрешимых групп с абелевыми силовскими подгруппами», The Quarterly Journal of Mathematics , Вторая серия, 48 (189): 107–125, doi :10.1093/qmath/48.1.107, MR 1439702
- Уолтер, Джон Х. (1969), «Характеристика конечных групп с абелевыми силовскими 2-подгруппами», Annals of Mathematics , Вторая серия, 89 (3): 405–514, doi :10.2307/1970648, JSTOR 1970648, MR 0249504
