Эквивалентные преобразования импеданса

Эквивалентное сопротивление — это эквивалентная схема электрической сети элементов сопротивления ^{[примечание 2]} , которая представляет то же самое сопротивление между всеми парами клемм ^{[примечание 10],} что и данная сеть. В этой статье описываются математические преобразования между некоторыми пассивными , линейными сетями сопротивления, обычно встречающимися в электронных схемах.

Существует ряд очень известных и часто используемых эквивалентных схем в линейном анализе сетей . К ним относятся резисторы последовательно , резисторы параллельно и расширение последовательных и параллельных схем для конденсаторов , индукторов и общих импедансов. Также хорошо известны эквивалентные схемы генератора тока и генератора напряжения Нортона и Тевенина соответственно, как и преобразование Y-Δ . Ни одна из них не обсуждается здесь подробно; следует ознакомиться с отдельными связанными статьями.

Число эквивалентных схем, в которые может быть преобразована линейная сеть, не ограничено. Даже в самых тривиальных случаях это можно увидеть, например, спросив, сколько различных комбинаций резисторов, соединенных параллельно, эквивалентны данному объединенному резистору. Число последовательных и параллельных комбинаций, которые могут быть сформированы, растет экспоненциально с числом резисторов, n . Для больших n размер набора был найден с помощью численных методов как приблизительно 2,53 ⁿ , а аналитически строгие границы задаются последовательностью чисел Фарея Фибоначчи . [ ^1] Эта статья никогда не могла бы надеяться быть всеобъемлющей, но возможны некоторые обобщения. Вильгельм Кауэр нашел преобразование, которое могло бы генерировать все возможные эквиваленты данного рационального, ^{[примечание 9]} пассивного, линейного однополюсника , ^{[примечание 8]} или, другими словами, любого заданного двухполюсного импеданса. Преобразования 4-полюсниковых, особенно 2-полюсниковых, сетей также широко распространены, и возможны преобразования еще более сложных сетей.

Масштабность темы эквивалентных схем подчеркивается в истории, рассказанной Сидни Дарлингтоном . По словам Дарлингтона, большое количество эквивалентных схем было найдено Рональдом М. Фостером после его и Джорджа Кэмпбелла статьи 1920 года о недиссипативных четырехпортовых схемах. В ходе этой работы они рассмотрели способы соединения четырех портов с идеальными трансформаторами ^{[примечание 5]} и максимальной передачей мощности. Они нашли ряд комбинаций, которые могли бы иметь практическое применение, и попросили патентный отдел AT&T запатентовать их. Патентный отдел ответил, что было бы бессмысленно просто патентовать некоторые схемы, если бы конкурент мог использовать эквивалентную схему, чтобы обойти патент; они должны были бы запатентовать их все или не беспокоиться. Поэтому Фостер принялся за работу по расчету каждой из них. Он пришел к огромному общему числу в 83 539 эквивалентов (577 722, если включены различные выходные коэффициенты). Этого было слишком много, чтобы запатентовать, поэтому вместо этого информация была опубликована в открытом доступе, чтобы помешать конкурентам AT&T запатентовать ее в будущем. ^{[2] [3]}

Сети 2-терминальные, 2-элементные

Одиночное сопротивление имеет два терминала для подключения к внешнему миру, поэтому может быть описано как 2-терминальная или однопортовая сеть . Несмотря на простое описание, нет ограничений на количество ячеек ^{[примечание 6]} и, следовательно, на сложность и количество элементов, которые может иметь сеть сопротивления. Сети с 2 элементами ^{[примечание 4]} распространены в схемотехнике; фильтры, например, часто являются сетями типа LC , а проектировщики печатных схем предпочитают сети типа RC , поскольку индукторы сложнее в изготовлении. Преобразования проще и легче найти, чем для сетей с 3 элементами. Сети с одним элементом можно рассматривать как особый случай сетей с двумя элементами. Можно использовать преобразования в этом разделе на некоторых нескольких сетях с 3 элементами, заменив элемент Z _n на сеть элементов . Однако это ограничено максимум двумя заменяемыми сопротивлениями; остальное не будет свободным выбором. Все уравнения преобразований, приведенные в этом разделе, принадлежат Отто Цобелю . ^[4]

3-элементные сети

Одноэлементные сети бывают тривиальными и двухэлементными, ^{[примечание 3]} двухполюсные сети — это либо два элемента последовательно, либо два элемента параллельно, также тривиальные. Наименьшее число элементов, которое нетривиально, равно трем, и возможны два нетривиальных преобразования 2-элементного типа, одно из которых является как обратным преобразованием, так и топологическим двойственным другого. ^[5]

4-элементные сети

Существует четыре нетривиальных преобразования 4 элементов для сетей с 2 ​​элементами. Два из них являются обратными преобразованиями двух других, а два являются дуальными для двух других. Дальнейшие преобразования возможны в особом случае, когда Z ₂ становится тем же элементом, что и Z ₁ , то есть когда сеть сводится к одноэлементному виду. Количество возможных сетей продолжает расти по мере увеличения количества элементов. Для всех записей в следующей таблице определено: ^[6]

2-концевой,н-элементные, 3-элементные сети

Рис. 1. Простой пример сети импедансов, использующей резисторы только для ясности. Однако анализ сетей с другими элементами импеданса выполняется по тем же принципам. Показаны две сетки с числами в кружках. Сумма импедансов вокруг каждой сетки, p, будет формировать диагональ записей матрицы, Z _pp . Импеданс ветвей, общих для двух сеток, p и q, будет формировать записи - Z _pq . Z _pq , p≠q, всегда будет иметь знак минус при условии, что условное обозначение контурных токов определено в том же направлении (условно против часовой стрелки), и сетка не содержит идеальных трансформаторов или взаимных индукторов.

С простыми сетями, состоящими всего из нескольких элементов, можно работать, формулируя уравнения сети «вручную» с применением простых сетевых теорем, таких как законы Кирхгофа . Эквивалентность между двумя сетями доказывается путем прямого сравнения двух наборов уравнений и приравнивания коэффициентов . Для больших сетей требуются более мощные методы. Обычный подход заключается в том, чтобы начать с выражения сети импедансов в виде матрицы . Этот подход хорош только для рациональных ^{[примечание 9]} сетей. Любая сеть, которая включает распределенные элементы , например, линия передачи , не может быть представлена ​​конечной матрицей. Как правило, для представления n -сетчатой ^{​​[примечание 6]} сети требуется матрица n x n . Например, матрица для 3-сетчатой ​​сети может выглядеть так:

${\displaystyle \mathbf {[Z]} ={\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{21}&Z_{22}&Z_{23}\\Z_{31}&Z_{32}&Z_{33}\end{bmatrix}}}$

Элементы матрицы выбираются таким образом, чтобы матрица образовывала систему линейных уравнений относительно напряжений и токов сетки (как определено для анализа сетки ):

${\displaystyle \mathbf {[V]} =\mathbf {[Z][I]} }$

Например, пример диаграммы на рисунке 1 можно представить в виде матрицы импеданса:

${\displaystyle \mathbf {[Z]} ={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&-R_{2}\\-R_{2}&R_{2}+R_{3}\end{bmatrix}}}$

и соответствующая система линейных уравнений имеет вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&-R_{2}\\-R_{2}&R_{2}+R_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}$

В самом общем случае каждая ветвь ^{[примечание 1]} Z _p сети может состоять из трех элементов, так что

${\displaystyle Z_{\mathrm {p} }=sL_{\mathrm {p} }+R_{\mathrm {p} }+{1 \over sC_{\mathrm {p} }}}$

где L , R и C представляют собой индуктивность , сопротивление и емкость соответственно, а s — оператор комплексной частоты . ${\displaystyle \scriptstyle s=\sigma +i\omega }$

Это общепринятый способ представления общего импеданса, но для целей данной статьи математически удобнее иметь дело с эластичностью , D , обратной емкости, C. В этих терминах общий импеданс ветви может быть представлен как

${\displaystyle sZ_{\mathrm {p} }=s^{2}L_{\mathrm {p} }+sR_{\mathrm {p} }+D_{\mathrm {p} }\,\!}$

Аналогично, каждый элемент матрицы импеданса может состоять из суммы трех элементов. Следовательно, матрицу можно разложить на три матрицы n x n , по одной для каждого из трех видов элементов:

${\displaystyle s\mathbf {[Z]} =s^{2}\mathbf {[L]} +s\mathbf {[R]} +\mathbf {[D]} }$

Желательно, чтобы матрица [ Z ] представляла собой импеданс, Z ( s ). Для этой цели контур одной из сеток разрезается, и Z ( s ) представляет собой импеданс, измеренный между точками, таким образом, разрезавшимися. Принято считать, что внешний порт подключения находится в сетке 1 и, следовательно, подключен через запись матрицы Z ₁₁ , хотя было бы вполне возможно сформулировать это с помощью подключений к любым желаемым узлам. ^{[примечание 7]} В следующем обсуждении предполагается, что Z ( s ) взято через Z _{11 .} Z ( s ) может быть рассчитано из [ Z ] по ^[7]

${\displaystyle Z(s)={\frac {|\mathbf {Z} |}{z_{11}}}}$

где z ₁₁ — дополнение Z ₁₁ , а | Z | — определитель [ Z ] .

Для приведенного выше примера сети:

${\displaystyle |\mathbf {Z} |=(R_{1}+R_{2})(R_{2}+R_{3})-{R_{2}}^{2}=R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}\ ,}$

${\displaystyle z_{11}=Z_{22}=R_{2}+R_{3}\ ,}$и,

${\displaystyle Z(s)=R_{1}+{\frac {R_{2}R_{3}}{R_{2}+R_{3}}}\ .}$

Этот результат легко проверить на правильность более прямым методом последовательных и параллельных резисторов. Однако такие методы быстро становятся утомительными и громоздкими с ростом размера и сложности анализируемой сети.

Записи [ R ], [ L ] и [ D ] не могут быть заданы произвольно. Для того, чтобы [ Z ] смогло реализовать импеданс Z ( s ), то [ R ], [ L ] и [ D ] должны быть положительно определенными матрицами . Даже тогда реализация Z ( s ) будет, в общем, содержать идеальные трансформаторы ^{[примечание 5]} внутри сети. Нахождение только тех преобразований, которые не требуют взаимной индуктивности или идеальных трансформаторов, является более сложной задачей. Аналогично, если начать с «другого конца» и указать выражение для Z ( s ), это снова не может быть сделано произвольно. Чтобы быть реализуемым как рациональный импеданс, Z ( s ) должно быть положительно-действительным . Условие положительно-действительного (PR) является как необходимым, так и достаточным ^[8], но могут быть практические причины для отклонения некоторых топологий . ^[7]

Общее преобразование импеданса для нахождения эквивалентных рациональных однополюсников из заданного экземпляра [ Z ] принадлежит Вильгельму Кауэру . Группа действительных аффинных преобразований

${\displaystyle \mathbf {[Z']} =\mathbf {[T]} ^{T}\mathbf {[Z]} \mathbf {[T]} }$

где

${\displaystyle \mathbf {[T]} ={\begin{bmatrix}1&0\cdots 0\\T_{21}&T_{22}\cdots T_{2n}\\\cdot &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}\cdots T_{nn}\end{bmatrix}}}$

инвариантна относительно Z ( s ). То есть все преобразованные сети эквивалентны согласно данному здесь определению. Если Z ( s ) для исходной заданной матрицы реализуема, то есть удовлетворяет условию PR, то все преобразованные сети, полученные в результате этого преобразования, также будут удовлетворять условию PR. ^[7]

3-х и 4-х клеммные сети

Рис. 2. 4-полюсная сеть, соединенная портами (вверху), имеет равные и противоположные токи в каждой паре терминалов. Нижняя сеть не соответствует условию порта и не может рассматриваться как 2-портовая. Однако ее можно рассматривать как несбалансированную 3-портовую, разделив одну из клемм на три общих клеммы, общих для портов.

При обсуждении 4-полюсных сетей сетевой анализ часто осуществляется в терминах 2-портовых сетей, которые охватывают широкий спектр практически полезных схем. «2-портовый», по сути, относится к способу, которым сеть была подключена к внешнему миру: что терминалы были подключены парами к источнику или нагрузке. Можно взять точно такую ​​же сеть и подключить ее к внешней схеме таким образом, что она больше не будет вести себя как 2-портовая. Эта идея продемонстрирована на рисунке 2.

Эквивалентные несимметричные и симметричные сети. Сопротивление последовательных элементов в симметричной версии составляет половину соответствующего сопротивления несимметричной версии.

Рис. 3. Чтобы сеть была сбалансированной, она должна иметь одинаковое сопротивление в каждой «ветви» цепи.

Сеть с 3 терминалами также может использоваться как сеть с 2 портами. Для этого один из терминалов подключается к одному терминалу обоих портов. Другими словами, один терминал был разделен на два терминала, и сеть фактически была преобразована в сеть с 4 терминалами. Такая топология известна как несбалансированная топология и противоположна сбалансированной топологии. Сбалансированная топология требует, ссылаясь на рисунок 3, чтобы импеданс, измеренный между терминалами 1 и 3, был равен импедансу, измеренному между 2 и 4. Это пары терминалов, не образующие порты: случай, когда пары терминалов, образующие порты, имеют одинаковый импеданс, называется симметричным . Строго говоря, любая сеть, которая не соответствует условию баланса, является несбалансированной, но этот термин чаще всего относится к 3-полюсной топологии, описанной выше и на рисунке 3. Преобразование несбалансированной 2-портовой сети в сбалансированную сеть обычно довольно просто: все последовательно соединенные элементы делятся пополам, а одна половина перемещается в то, что было общей ветвью. Преобразование из сбалансированной в несбалансированную топологию часто возможно с помощью обратного преобразования, но существуют определенные случаи определенных топологий, которые не могут быть преобразованы таким образом. Например, см. обсуждение преобразований решетки ниже.

Примером преобразования 3-терминальной сети, которое не ограничено 2-портами, является преобразование Y-Δ . Это особенно важное преобразование для нахождения эквивалентных импедансов. Его важность возникает из того факта, что общий импеданс между двумя терминалами не может быть определен исключительно путем вычисления последовательных и параллельных комбинаций, за исключением определенного ограниченного класса сетей. В общем случае требуются дополнительные преобразования. Преобразование Y-Δ, его обратное преобразование Δ-Y и n -терминальные аналоги этих двух преобразований ( преобразования звезда-полигон ) представляют собой минимальные дополнительные преобразования, необходимые для решения общего случая. Последовательное и параллельное являются, по сути, 2-терминальными версиями топологии звезды и полигона. Распространенной простой топологией, которая не может быть решена с помощью последовательных и параллельных комбинаций, является входное сопротивление мостовой сети (за исключением особого случая, когда мост находится в равновесии). ^[9] Все остальные преобразования в этом разделе ограничены использованием только с 2-портами.

Решетчатые преобразования

Симметричные 2-портовые сети можно преобразовать в решетчатые сети с помощью теоремы Бартлетта о бисекции . Метод ограничен симметричными сетями, но он включает в себя множество топологий, обычно встречающихся в фильтрах, аттенюаторах и эквалайзерах . Решетчатая топология внутренне сбалансирована, не существует несбалансированного аналога решетки, и обычно она требует больше компонентов, чем преобразованная сеть.

Обратные преобразования из решетки в несбалансированную топологию не всегда возможны с точки зрения пассивных компонентов. Например, это преобразование:

не может быть реализовано с пассивными компонентами из-за отрицательных значений, возникающих в преобразованной схеме. Однако это может быть реализовано, если допускаются взаимные индуктивности и идеальные трансформаторы, например, в этой схеме . Другая возможность заключается в том, чтобы разрешить использование активных компонентов, которые позволят напрямую реализовать отрицательные импедансы как компоненты схемы. ^[13]

Иногда может быть полезно выполнить такое преобразование, не для целей фактического построения преобразованной схемы, а скорее для целей содействия пониманию того, как работает исходная схема. Следующая схема в мостовой Т-топологии является модификацией фильтра Т-секции, полученного из середины серии m . Схема принадлежит Хендрику Боде, который утверждает, что добавление мостового резистора подходящего значения отменит паразитное сопротивление шунтирующего индуктора. Действие этой схемы становится понятным, если ее преобразовать в Т-топологию — в этой форме в шунтирующей ветви имеется отрицательное сопротивление, которое можно сделать точно равным положительному паразитному сопротивлению индуктора. ^[14]

Любая симметричная сеть может быть преобразована в любую другую симметричную сеть тем же методом, то есть, сначала преобразуясь в промежуточную решетчатую форму (опущенную для ясности из приведенного выше примера преобразования) и из решетчатой ​​формы в требуемую целевую форму. Как и в примере, это обычно приводит к отрицательным элементам, за исключением особых случаев. ^[15]

Устранение резисторов

Теорема Сиднея Дарлингтона гласит, что любая функция PR Z ( s ) может быть реализована как двухпортовая без потерь, нагруженная на положительный резистор R. То есть, независимо от того, сколько резисторов присутствует в матрице [ Z ], представляющей сеть импеданса, можно найти преобразование, которое реализует сеть полностью как сеть типа LC с одним резистором через выходной порт (который обычно представляет нагрузку). Для реализации указанного отклика резисторы в сети не нужны. Следовательно, всегда можно свести трехэлементные двухпортовые сети к двухэлементным (LC) двухпортовым сетям при условии, что выходной порт нагружен сопротивлением требуемого значения. ^{[8] [16] [17]}

Исключение идеальных трансформаторов

Элементарное преобразование, которое можно осуществить с помощью идеальных трансформаторов и некоторых других элементов импеданса, заключается в смещении импеданса на другую сторону трансформатора. Во всех следующих преобразованиях r — это отношение витков трансформатора.

Эти преобразования не применяются только к отдельным элементам; через трансформатор можно пропускать целые сети. Таким образом, трансформатор можно перемещать по сети в более удобное место.

Дарлингтон дает эквивалентное преобразование, которое может полностью исключить идеальный трансформатор. Этот метод требует, чтобы трансформатор находился рядом (или мог быть перемещен рядом) с сетью "L" с тем же типом импедансов. Преобразование во всех вариантах приводит к тому, что сеть "L" смотрит в противоположную сторону, то есть топологически зеркально. ^[2]

Пример 3 показывает, что результатом является Π-сеть, а не L-сеть. Причина этого в том, что шунтирующий элемент имеет большую емкость, чем требуется для преобразования, поэтому некоторая часть все еще остается после применения преобразования. Если бы избыток был вместо этого в элементе, ближайшем к трансформатору, с этим можно было бы справиться, сначала сместив избыток на другую сторону трансформатора перед выполнением преобразования. ^[2]

Терминология

1. Ветвь . Ветвь сети — это группа элементов, последовательно соединенных между двумя узлами. Существенной особенностью ветви является то, что через все элементы в ветви протекает одинаковый ток.
2. Элемент . Компонент в сети, отдельный резистор (R), катушка индуктивности (L) или конденсатор (C).
3. n -element . Сеть, содержащая в общей сложности n элементов всех видов.
4. n -element-kind . Сеть, которая содержит n различных видов элементов. Например, сеть, состоящая исключительно из элементов LC, является сетью 2-элементного вида.
5. Идеальный трансформатор . Они часто встречаются в сетевом анализе. Это чисто теоретическая конструкция, которая идеально преобразует напряжения и токи по заданному коэффициенту без потерь. Реальные трансформаторы очень эффективны и часто могут использоваться вместо идеального трансформатора. Одно существенное отличие состоит в том, что идеальные трансформаторы продолжают работать при подаче постоянного тока , чего не может сделать ни один реальный трансформатор. См. трансформатор .
6. n -ячеистая сеть . Ячейка — это петля сети, в которой существуют соединения, позволяющие току проходить от элемента к элементу и формировать непрерывный путь, возвращающийся в конечном итоге к исходной точке. Основная ячейка — это такая петля, которая не содержит никаких других петель. Сеть из n -ячеистая сеть содержит n основных ячеек.
7. Узел . Узел сети — это точка в цепи, где соединены один вывод трех или более элементов.
8. Порт . Пара выводов сети, в которые текут равные и противоположные токи.
9. Рациональный в этом контексте означает сеть, состоящую из конечного числа элементов. Распределенные элементы , такие как в линии передачи, поэтому исключаются, поскольку бесконечно малая природа элементов приведет к тому, что их число будет стремиться к бесконечности .
10. Терминал . Точка в сети, к которой могут быть подключены внешние по отношению к сети напряжения и в которую могут течь внешние токи. Двухполюсная сеть также является однополюсной сетью. Трехполюсные и четырехполюсные сети часто, но не всегда, также подключаются как двухполюсные сети.

Ссылки

1. Хан, стр. 154
2. Дарлингтон, стр. 6.
3. Фостер и Кэмпбелл, стр. 233.
4. Цобель, 1923.
5. Зобель, стр. 45.
6. Зобель, стр. 45–46.
7. E. Cauer et al. , стр. 4.
8. Белевич, стр. 850
9. Фараго, стр. 18–21.
10. Zobel, стр. 19–20.
11. Фараго, стр. 117–121.
12. Фараго, стр. 117.
13. Дарлингтон, стр. 5–6.
14. Bode, Hendrik W., Wave Filter , патент США 2 002 216, подан 7 июня 1933 г., выдан 21 мая 1935 г.
15. Бартлетт, стр. 902.
16. Э. Кауэр и др., стр. 6–7.
17. Дарлингтон, стр. 7.

Библиография

• Бартлетт, А.С. , «Расширение свойства искусственных линий», Phil. Mag. , т. 4 , стр. 902, ноябрь 1927 г.
• Белевич, В. , «Краткое изложение истории теории цепей», Труды ИРЭ , т. 50 , вып. 5, стр. 848–855, май 1962 г.
• Э. Кауэр, В. Матис и Р. Паули, «Жизнь и творчество Вильгельма Кауэра (1900 – 1945)», Труды Четырнадцатого международного симпозиума по математической теории сетей и систем , Перпиньян, июнь 2000 г.
• Фостер, Рональд М.; Кэмпбелл , Джордж А. , «Сети с максимальной выходной мощностью для телефонных подстанций и ретрансляторных цепей», Труды Американского института инженеров-электриков , т. 39 , вып. 1, стр. 230–290, январь 1920 г.
• Дарлингтон, С. , «История синтеза сетей и теория фильтров для цепей, состоящих из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов», IEEE Trans. Circuits and Systems , т. 31 , стр. 3–13, 1984.
• Фараго, П.С., Введение в линейный сетевой анализ , The English Universities Press Ltd, 1961.
• Хан, Самин Ахмед, «Последовательности Фарея и резисторные сети», Труды Индийской академии наук (математические науки) , т. 122 , вып. 2, стр. 153–162, май 2012 г.
• Зобель, О. Дж. , Теория и проектирование однородных и составных электрических волновых фильтров , Bell System Technical Journal, т. 2 (1923), стр. 1–46.