Абсолютное значение (алгебра)

В алгебре абсолютное значение (также называемое оценкой , величиной или нормой , ^[1] хотя « норма » обычно относится к определенному виду абсолютного значения в поле ) — это функция , которая измеряет «размер» элементов в поле. поле или область целостности . Точнее, если D — область целостности, то абсолютная величина — это любое отображение |x| от D до действительных чисел R , удовлетворяющих:

Из этих аксиом следует, что |1| = 1 и |−1| = 1. Кроме того , для каждого натурального числа n

| п | = |1 + 1 + ... + 1 ( n раз)| = |−1 − 1 − ... − 1 ( n раз)| ≤  п .

Классическое « абсолютное значение » — это такое, в котором, например, |2| = 2, но многие другие функции удовлетворяют указанным выше требованиям, например, квадратный корень из классического абсолютного значения (но не его квадрат).

Абсолютное значение порождает метрику (и, следовательно, топологию ) посредством ${\displaystyle d(f,g)=|f-g|.}$

Примеры

• Стандартное абсолютное значение целых чисел.
• Стандартное абсолютное значение комплексных чисел .
• p - адическое абсолютное значение рациональных чисел .
• Если R — поле рациональных функций над полем F и фиксированный неприводимый элемент R , то следующее определяет абсолютное значение на R : ибо в R определим быть , где и ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle 2^{-n}}$ ${\displaystyle f(x)=p(x)^{n}{\frac {g(x)}{h(x)}}}$ ${\displaystyle \gcd(g(x),p(x))=1=\gcd(h(x),p(x)).}$

Виды абсолютной стоимости

Тривиальное абсолютное значение — это абсолютное значение с | х | = 0, когда x  = 0 и | х | = 1 в противном случае. ^[2] Каждая область целостности может иметь по крайней мере тривиальное абсолютное значение. Тривиальное значение — единственное возможное абсолютное значение в конечном поле , поскольку любой ненулевой элемент можно возвести в некоторую степень, чтобы получить 1.

Если абсолютное значение удовлетворяет более сильному свойству | х  +  у | ≤ max(| x |, | y |) для всех x и y , тогда | х | называется ультраметрической или неархимедовой абсолютной величиной , иначе — архимедовой абсолютной величиной .

Места

Если | х | ₁ и | х | ₂ являются двумя абсолютными значениями в одной и той же области целостности D , то эти два абсолютных значения эквивалентны, если | х | ₁ < 1 тогда и только тогда, когда | х | ₂ <1 для всех x . Если два нетривиальных абсолютных значения эквивалентны, то для некоторого показателя e имеем | х | ₁ ^е = | х | ₂ для всех х . Возведение абсолютного значения в степень меньше 1 приводит к получению другого абсолютного значения, но возведение в степень больше 1 не обязательно приводит к получению абсолютного значения. (Например, возведение в квадрат обычного абсолютного значения действительных чисел дает функцию, которая не является абсолютным значением, поскольку нарушает правило | x + y | ≤ | x |+| y |.) Абсолютные значения с точностью до эквивалентности, или в другими словами, класс эквивалентности абсолютных значений называется местом .

Теорема Островского утверждает, что нетривиальные места рациональных чисел Q представляют собой обычное абсолютное значение и p -адическое абсолютное значение для каждого простого числа p . ^[3] Для данного простого числа p любое рациональное число q можно записать как p ⁿ ( a / b ), где a и b — целые числа, не делящиеся на p , а n — целое число. p -адическое абсолютное значение q равно

${\displaystyle \left|p^{n}{\frac {a}{b}}\right|_{p}=p^{-n}.}$

Поскольку обычное абсолютное значение и p -адические абсолютные значения являются абсолютными значениями согласно приведенному выше определению, они определяют места.

оценки

Если для некоторого ультраметрического абсолютного значения и любой базы b  > 1 мы определяем ν ( x ) = −log _b | х | для x  ≠ 0 и ν (0) = ∞, где ∞ приказано быть больше всех действительных чисел, то мы получаем функцию из D в R  ∪ {∞} со следующими свойствами:

• ν ( Икс ) = ∞ ⇒ Икс = 0,
• ν ( xy ) = ν ( x ) +  ν ( y ),
• ν ( x + y ) ≥ min(ν( x ), ν ( y )).

Такая функция известна как оценка в терминологии Бурбаки , но другие авторы используют термин «оценка» для обозначения абсолютной стоимости и затем говорят «экспоненциальная оценка» вместо «оценка» .

Завершения

Учитывая область целостности D с абсолютным значением, мы можем определить последовательности Коши элементов D относительно абсолютного значения, потребовав, чтобы для каждого ε > 0 существовало такое положительное целое число N , что для всех целых чисел m , n > N есть | Икс _м - Икс _п | < е. Последовательности Коши образуют кольцо при поточечном сложении и умножении. Можно также определить нулевые последовательности как последовательности ( an ) элементов D такие, что _| п | _{_} сходится к нулю. Нулевые последовательности являются простым идеалом в кольце последовательностей Коши, поэтому факторкольцо является областью целостности. Область D вложена в это факторкольцо, называемое пополнением D по модулю | х |.

Поскольку поля являются целыми областями, это также конструкция для пополнения поля по абсолютному значению. Чтобы показать, что результатом является поле, а не просто область целостности, мы можем либо показать, что нулевые последовательности образуют максимальный идеал , либо напрямую построить обратное. Последнее можно легко сделать, взяв для всех ненулевых элементов факторкольца последовательность, начинающуюся с точки за последним нулевым элементом последовательности. Любой ненулевой элемент факторкольца будет отличаться от такой последовательности на нулевую последовательность, и, выполнив поточечную инверсию, мы можем найти представительный обратный элемент.

Другая теорема Александра Островского гласит, что любое поле, полное относительно архимедовой абсолютной величины, изоморфно либо действительным, либо комплексным числам, а нормирование эквивалентно обычному. ^[4] Теорема Гельфанда -Торнхейма утверждает, что любое поле с архимедовым нормированием изоморфно подполю C , причем нормирование эквивалентно обычному абсолютному значению на C . ^[5]

Поля и целые области

Если D — область целостности с абсолютным значением | x |, то мы можем распространить определение абсолютного значения на поле дробей D , положив

${\displaystyle |x/y|=|x|/|y|.\,}$

С другой стороны, если F — поле с ультраметрическим абсолютным значением | x |, то множество элементов F таких, что | х | ⩽ 1 определяет кольцо нормирования , которое является подкольцом D кольца F таким, что для каждого ненулевого элемента x из F хотя бы один из x или x − ¹ принадлежит D. Поскольку F — поле, D не имеет делителей нуля и является областью целостности. Он имеет единственный максимальный идеал , состоящий из всех x таких, что | х | < 1 и, следовательно, является локальным кольцом .

Примечания

1. Коблиц, Нил (1984). P-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 1. ISBN 978-0-387-96017-3. Проверено 24 августа 2012 г. Метрики, с которыми мы будем иметь дело, будут исходить из норм поля F ...
2. Коблиц, Нил (1984). P-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 3. ISBN 978-0-387-96017-3. Проверено 24 августа 2012 г. Под «тривиальной» нормой мы понимаем норму ‖ ‖ такую, что ‖0‖ = 0 и ‖ x ‖ = 1 при x  ≠ 0.
3. Кассельс (1986) стр.16
4. Кассельс (1986) стр.33
5. Уильям Штайн (6 мая 2004 г.). «Примеры оценок» . Проверено 28 января 2023 г.

Рекомендации

• Бурбаки, Николя (1972). Коммутативная алгебра . Аддисон-Уэсли.
• Кассельс, JWS (1986). Локальные поля . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 3. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-31525-5. Збл  0595.12006.
• Джейкобсон, Натан (1989). Основная алгебра II (2-е изд.). У. Х. Фриман. ISBN 0-7167-1933-9.Глава 9, пункт 1 « Абсолютные величины ».
• Януш, Джеральд Дж. (1996–1997). Алгебраические числовые поля (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0429-4.