Абстрактное пространство Винера

Математическая конструкция, относящаяся к бесконечномерным пространствам.

Концепция абстрактного пространства Винера — это математическая конструкция, разработанная Леонардом Гроссом для понимания структуры гауссовых мер на бесконечномерных пространствах. Конструкция подчеркивает фундаментальную роль, которую играет пространство Камерона–Мартина . Классическое пространство Винера является прототипическим примером.

Структурная теорема для гауссовских мер утверждает, что все гауссовские меры могут быть представлены с помощью абстрактной конструкции пространства Винера.

Мотивация

Пусть будет действительным гильбертовым пространством , предполагаемым бесконечномерным и сепарабельным . В физической литературе часто встречаются интегралы вида ${\displaystyle H}$

${\frac {1}{Z}}\int _{H}f(v)e^{-{\frac {1}{2}}\Vert v\Vert ^{2}}Dv,$

где предполагается нормировочная константа, а где предполагается несуществующая мера Лебега на . Такие интегралы возникают, в частности, в контексте формулировки евклидового интеграла по траекториям квантовой теории поля. На математическом уровне такой интеграл не может быть интерпретирован как интегрирование по мере на исходном гильбертовом пространстве . С другой стороны, предположим, что является банаховым пространством, содержащим в качестве плотного подпространства. Если «достаточно больше», чем , то указанный выше интеграл можно интерпретировать как интегрирование по хорошо определенной (гауссовой) мере на . В этом случае пара называется абстрактным винеровским пространством. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Dv}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (H,B)}$

Прототипическим примером является классическое пространство Винера, в котором есть гильбертово пространство действительных функций на интервале, имеющих первую производную по и удовлетворяющих , с нормой, заданной выражением ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle b(0)=0}$

${\displaystyle \left\Vert b\right\Vert ^{2}=\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt.}$

В этом случае можно взять банахово пространство непрерывных функций на с супремум-нормой . В этом случае мера на является мерой Винера, описывающей броуновское движение, начинающееся в начале координат. Исходное подпространство называется пространством Камерона–Мартина , которое образует множество меры нуль относительно меры Винера. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H\subset B}$

Предыдущий пример означает, что у нас есть формальное выражение для меры Винера, заданное как $${\displaystyle d\mu (b)={\frac {1}{Z}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt\right\}\,Db.}$$

Хотя это формальное выражение предполагает, что мера Винера должна существовать в пространстве путей, для которых , на самом деле это не так. (Известно, что броуновские пути нигде не дифференцируемы с вероятностью единица.) ${\textstyle \int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt<\infty }$

Конструкция абстрактного пространства Винера Гросса абстрагирует ситуацию для классического пространства Винера и обеспечивает необходимое и достаточное (хотя иногда и трудно проверяемое) условие для существования гауссовой меры на . Хотя гауссова мера существует на , а не на , именно геометрия , а не на , управляет свойствами . Как говорит сам Гросс ^[1] (адаптировано к нашим обозначениям): «Однако только с работой И. Э. Сигала, посвященной нормальному распределению в реальном гильбертовом пространстве, стало очевидно, что роль гильбертова пространства действительно была центральной, и что в той мере, в какой это касается анализа на , роль сама по себе была вспомогательной для многих теорем Кэмерона и Мартина, а в некоторых случаях даже ненужной». Одной из привлекательных особенностей конструкции абстрактного пространства Винера Гросса является то, что она берет в качестве отправной точки и рассматривает как вспомогательный объект. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$

Хотя формальные выражения для , представленные ранее в этом разделе, являются чисто формальными, в физическом стиле, они очень полезны для понимания свойств . В частности, можно легко использовать эти выражения для вывода (правильной!) формулы для плотности переведенной меры относительно , ​​для . (См. теорему Камерона–Мартина .) ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle d\mu (b+h)}$ ${\displaystyle d\mu (b)}$ ${\displaystyle h\in H}$

Математическое описание

Измерение комплекта цилиндровЧАС

Пусть — гильбертово пространство, определенное над действительными числами, предполагаемое бесконечномерным и сепарабельным. Цилиндрическое множество в — это множество, определенное в терминах значений конечного набора линейных функционалов на . В частности, предположим, что — непрерывные линейные функционалы на , а — борелевское множество в . Тогда мы можем рассмотреть множество ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle C=\left\{v\in H\mid (\phi _{1}(v),\ldots ,\phi _{n}(v))\in E\right\}.}$$

Любой набор такого типа называется цилиндрическим набором. Совокупность всех цилиндрических наборов образует алгебру наборов в , но не является -алгеброй . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma }$

Существует естественный способ определения «меры» на цилиндрических множествах следующим образом. По теореме Рисса о представлении линейные функционалы задаются как скалярное произведение с векторами в . В свете процедуры Грама–Шмидта безвредно предполагать, что являются ортонормальными. В этом случае мы можем связать с определенным выше цилиндрическим множеством меру относительно стандартной гауссовой меры на . То есть, мы определяем, где находится стандартная мера Лебега на . Из-за структуры произведения стандартной гауссовой меры на несложно показать, что хорошо определено. То есть, хотя одно и то же множество может быть представлено как цилиндрическое множество более чем одним способом, значение всегда одно и то же. ${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{n}}$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \mu (C)=(2\pi )^{-n/2}\int _{E\subset \mathbb {R} ^{n}}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx,}$$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mu (C)}$

Отсутствие меры поЧАС

Функционал множества называется стандартной гауссовой цилиндрической мерой множества на . Предполагая (как мы это делаем), что является бесконечномерным, не распространяется на счетно-аддитивную меру на -алгебре, порожденной совокупностью цилиндрических множеств в . Можно понять сложность, рассмотрев поведение стандартной гауссовой меры на , заданной формулой ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ $${\displaystyle (2\pi )^{-n/2}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx.}$$

Ожидаемое значение квадрата нормы относительно этой меры вычисляется как элементарный гауссовский интеграл как $${\displaystyle (2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Vert x\Vert ^{2}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx=(2\pi )^{-n/2}\sum _{i=1}^{n}\int _{\mathbb {R} }x_{i}^{2}e^{-x_{i}^{2}/2}\,dx_{i}=n.}$$

То есть типичное расстояние от начала вектора, выбранного случайным образом в соответствии со стандартной гауссовой мерой на , равно Поскольку стремится к бесконечности, это типичное расстояние стремится к бесконечности, указывая на то, что не существует четко определенной «стандартной гауссовой» меры на . (Типичное расстояние от начала вектора было бы бесконечным, так что мера фактически не существовала бы в пространстве .) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

Существование меры поБ

Теперь предположим, что является сепарабельным банаховым пространством и что является инъективным непрерывным линейным отображением , образ которого плотен в . Тогда безвредно (и удобно) отождествлять с его образом внутри и, таким образом, рассматривать как плотное подмножество . Затем мы можем построить меру цилиндрического множества на , определив меру цилиндрического множества как ранее определенную меру цилиндрического множества , которое является цилиндрическим множеством в . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle i:H\rightarrow B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C\subset B}$ ${\displaystyle C\cap H}$ ${\displaystyle H}$

Идея построения абстрактного пространства Винера заключается в том, что если достаточно больше , то мера цилиндрического множества на , в отличие от меры цилиндрического множества на , будет расширяться до счетно-аддитивной меры на сгенерированной -алгебре. Оригинальная статья Гросса ^[2] дает необходимое и достаточное условие на для того, чтобы это имело место. Мера на называется гауссовой мерой , а подпространство называется пространством Камерона–Мартина . Важно подчеркнуть, что образует множество меры ноль внутри , подчеркивая, что гауссова мера существует только на , а не на . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H\subset B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$

Итогом всего этого обсуждения является то, что гауссовские интегралы того типа, который описан в разделе мотивации, имеют строгую математическую интерпретацию, но они не живут в пространстве, норма которого встречается в показателе формального выражения. Скорее, они живут в некотором большем пространстве.

Универсальность конструкции

Конструкция абстрактного пространства Винера — это не просто один из методов построения гауссовских мер. Скорее, каждая гауссовская мера на бесконечномерном банаховом пространстве возникает таким образом. (См. структурную теорему для гауссовских мер .) То есть, если задана гауссовская мера на бесконечномерном, сепарабельном банаховом пространстве (над ), можно определить подпространство Камерона–Мартина , в этой точке пара становится абстрактным винеровским пространством и является ассоциированной гауссовской мерой. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle H\subset B}$ ${\displaystyle (H,B)}$ ${\displaystyle \mu }$

Характеристики

• ${\displaystyle \mu }$является борелевской мерой : она определена на борелевской σ-алгебре, порожденной открытыми подмножествами B.
• ${\displaystyle \mu }$является гауссовой мерой в том смысле, что f _∗ ( ) является гауссовой мерой на R для любого линейного функционала f ∈ B ^∗ , f ≠ 0 . ${\displaystyle \mu }$
• Следовательно, строго положительно и локально конечно. ${\displaystyle \mu }$
• Поведение недостаточного сдвига описывается теоремой Камерона–Мартина . ${\displaystyle \mu }$
• Для двух абстрактных пространств Винера i ₁  : H ₁ → B ₁ и i ₂  : H ₂ → B ₂ можно показать, что . Полностью: т.е. абстрактная мера Винера на декартовом произведении B ₁ × B ₂ является произведением абстрактных мер Винера на двух множителях B ₁ и B ₂ . ${\displaystyle \gamma _{12}=\gamma _{1}\otimes \gamma _{2}}$ $${\displaystyle (i_{1}\times i_{2})_{*}(\mu ^{H_{1}\times H_{2}})=(i_{1})_{*}\left(\mu ^{H_{1}}\right)\otimes (i_{2})_{*}\left(\mu ^{H_{2}}\right),}$$ ${\displaystyle \mu _{12}}$
• Если H (и B ) бесконечномерны, то образ H имеет меру ноль . Этот факт является следствием закона нуля или единицы Колмогорова .

Пример: классическое пространство Винера

Прототипическим примером абстрактного пространства Винера является пространство непрерывных путей , и известно как классическое пространство Винера . Это абстрактное пространство Винера, в котором задается со скалярным произведением , заданным и является пространством непрерывных отображений из в , начиная с 0, с равномерной нормой . В этом случае гауссовская мера является мерой Винера , которая описывает броуновское движение в , начиная с начала координат. ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle H:=L_{0}^{2,1}([0,T];\mathbb {R} ^{n}):=\{{\text{Absolutely continuous paths starting at 0 with square-integrable first derivative}}\}}$$ $${\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2}\rangle _{L_{0}^{2,1}}:=\int _{0}^{T}\langle {\dot {\sigma }}_{1}(t),{\dot {\sigma }}_{2}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}\,dt,}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Общий результат, который образует множество меры ноль относительно в этом случае, отражает грубость типичного броуновского пути, который, как известно, нигде не дифференцируем . Это контрастирует с предполагаемой дифференцируемостью путей в . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle H}$

Смотрите также

• Мера Бесова  – Обобщение гауссовой меры с использованием нормы Бесова
• Теорема Кэмерона–Мартина  – Теорема, определяющая перенос гауссовских мер (мер Винера) на гильбертовых пространствах.
• Теорема Фельдмана – Хайека  - Теория в теории вероятностей
• Структурная теорема для гауссовых мер  – Математическая теорема
• Не существует бесконечномерной меры Лебега  – Математический фольклорPages displaying short descriptions of redirect targets

Ссылки

1. Гросс 1967 стр. 31
2. Гросс 1967

• Белл, Денис Р. (2006). Исчисление Маллиавэна . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications Inc. стр. x+113. ISBN 0-486-44994-7. МР  2250060.(См. раздел 1.1)
• Гросс, Леонард (1967). «Абстрактные пространства Винера». Труды Пятого Берклийского симпозиума по математике и статистике (Беркли, Калифорния, 1965/66), том II: Вклад в теорию вероятностей, часть 1. Беркли, Калифорния: Univ. California Press. стр. 31–42. MR  0212152.
• Куо, Хуэй-Сюн (1975). Гауссовские меры в банаховых пространствах . Берлин–Нью-Йорк: Springer. стр. 232. ISBN 978-1419645808.