В математике ациклическое пространство — это непустое топологическое пространство X , в котором циклы всегда являются границами, в смысле теории гомологии . Это подразумевает, что целочисленные группы гомологии во всех измерениях X изоморфны соответствующим группам гомологии точки.
Другими словами, используя идею редуцированной гомологии ,
Обычно такое пространство считают непустым пространством без «дырок»; например, круг или сфера не являются ациклическими, но диск или шар являются ациклическими. Однако это условие слабее, чем требование, чтобы каждая замкнутая петля в пространстве ограничивала диск в этом пространстве; все, что мы просим, — это чтобы любая замкнутая петля — и ее более многомерный аналог — ограничивали что-то вроде «двумерной поверхности». Условие ацикличности пространства X подразумевает, например, для хороших пространств — скажем, симплициальных комплексов — что любое непрерывное отображение X в окружность или в более высокие сферы является гомотопным нулю .
Если пространство X стягиваемо , то оно также ациклично, в силу гомотопической инвариантности гомологии. Обратное, вообще говоря, неверно. Тем не менее, если X является ацикличным CW-комплексом , и если фундаментальная группа X тривиальна , то X является стягиваемым пространством , как следует из теоремы Уайтхеда и теоремы Гуревича .
Ациклические пространства встречаются в топологии , где их можно использовать для построения других, более интересных топологических пространств.
Например, если удалить одну точку из многообразия M , которое является гомологической сферой , то получится такое пространство. Гомотопические группы ациклического пространства X в общем случае не обращаются в нуль, поскольку фундаментальная группа не обязательно должна быть тривиальной. Например, проколотая гомологическая сфера Пуанкаре является ациклическим 3-мерным многообразием , которое не является стягиваемым.
Это дает репертуар примеров, поскольку первая группа гомологий является абелианизацией фундаментальной группы. С каждой совершенной группой G можно связать (каноническое, терминальное) ациклическое пространство, фундаментальная группа которого является центральным расширением данной группы G.
Гомотопические группы этих ассоциированных ациклических пространств тесно связаны с плюс-конструкцией Квиллена на классифицирующем пространстве BG .
Ациклическая группа — это группа G , классифицирующее пространство BG которой ациклично; другими словами, все ее (редуцированные) группы гомологии обращаются в нуль, т. е. , для всех . Таким образом, каждая ациклическая группа является совершенной группой , что означает, что ее первая группа гомологии обращается в нуль: , и, по сути, сверхсовершенной группой , что означает, что первые две группы гомологии обращаются в нуль: . Обратное неверно: бинарная икосаэдрическая группа сверхсовершенна (следовательно, совершенна), но не ациклична.
