Адаптированный процесс

При изучении стохастических процессов стохастический процесс адаптируется (также называется непредвосхищающим или непредвосхищающим процессом ), если информация о значении процесса в данный момент времени доступна в тот же момент времени. Неформальная интерпретация ^[1] заключается в том, что X адаптируется тогда и только тогда, когда для каждой реализации и каждого n , X _n известно в момент времени n . Понятие адаптированного процесса имеет существенное значение, например, в определении интеграла Ито , который имеет смысл только в том случае, если подынтегральное выражение является адаптированным процессом.

Определение

Позволять

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$быть вероятностным пространством ;
• ${\displaystyle I}$быть набором индексов с общим порядком (часто это , , или ); ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle [0,+\infty )}$
• ${\displaystyle \mathbb {F} =\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}}$быть фильтрацией сигма -алгебры ; ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle (S,\Sigma )}$быть измеримым пространством , пространством состояний ;
• ${\displaystyle X_{i}:I\times \Omega \to S}$быть стохастическим процессом .

Говорят, что стохастический процесс адаптирован к фильтрации, если случайная величина является измеримой функцией для каждого . ^[2] ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X_{i}:\Omega \to S}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{i},\Sigma )}$ ${\displaystyle i\in I}$

Примеры

Рассмотрим случайный процесс X  : [0, T ] × Ω → R и снабдим действительную прямую R ее обычной борелевской сигма-алгеброй, порожденной открытыми множествами .

• Если взять естественную фильтрацию F _• ^X , где F _t ^X — σ -алгебра, порожденная прообразами X _s ⁻¹ ( B ) для борелевских подмножеств B из R и времен 0 ≤ s ≤ t , то X автоматически F _• ^X -адаптируется. Интуитивно понятно, что естественная фильтрация F _• ^X содержит «полную информацию» о поведении X до момента времени  t .
• Это предлагает простой пример неадаптированного процесса X  : [0, 2] × Ω → R : установим F _t как тривиальную σ -алгебру {∅, Ω} для времен 0 ≤  t  < 1, и F _t = F _t ^X для времен 1 ≤ t ≤ 2 . Поскольку единственный способ, которым функция может быть измерима относительно тривиальной σ -алгебры, — это быть постоянной, любой процесс X , который не является постоянной на [0, 1], не будет F _• -адаптированным. Неконстантная природа такого процесса «использует информацию» из более совершенных «будущих» σ -алгебр F _t , 1 ≤ t ≤ 2 .

Смотрите также

• Предсказуемый процесс
• Постепенно измеримый процесс

Ссылки

1. Уильямс, Дэвид (1979). «II.25». Диффузии, марковские процессы и мартингалы: основы . Том. 1. Уайли. ISBN 0-471-99705-6.
2. Оксендал, Бернт (2003). Стохастические дифференциальные уравнения . Спрингер. п. 25. ISBN 978-3-540-04758-2.