Алгебраическое расширение

Расширение математического поля с полиномиальными корнями

В математике алгебраическое расширение — это расширение поля L / K , такое, что каждый элемент большего поля L является алгебраическим над меньшим полем K ; то есть каждый элемент L является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами в K. ^{[1] [2]} Расширение поля, которое не является алгебраическим , называется трансцендентным и должно содержать трансцендентные элементы , то есть элементы, которые не являются алгебраическими. ^{[3] [4]}

Алгебраические расширения поля рациональных чисел называются алгебраическими числовыми полями и являются основными объектами изучения алгебраической теории чисел . Другим примером общего алгебраического расширения является расширение действительных чисел комплексными числами . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$

Некоторые свойства

Все трансцендентные расширения имеют бесконечную степень . Это , в свою очередь, подразумевает, что все конечные расширения являются алгебраическими. ^[5] Однако обратное неверно: существуют бесконечные расширения, которые являются алгебраическими. ^[6] Например, поле всех алгебраических чисел является бесконечным алгебраическим расширением рациональных чисел. ^[7]

Пусть E — поле расширения поля K , и a ∈ E. Наименьшее подполе поля E , содержащее K и a, обычно обозначается Если a алгебраично над K , то элементы K ( a ) можно выразить как многочлены от a с коэффициентами в K ; то есть K ( a ) также является наименьшим кольцом , содержащим K и a . В этом случае — конечное расширение поля K (это конечномерное K -векторное пространство), и все его элементы алгебраичны над K . ^[8] Эти свойства не выполняются, если a не алгебраично. Например, и они оба являются бесконечномерными векторными пространствами над ^[9] ${\displaystyle K(a).}$ ${\displaystyle K(a)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\pi )\neq \mathbb {Q} [\pi ],}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Алгебраически замкнутое поле F не имеет собственных алгебраических расширений, то есть, никаких алгебраических расширений E с F < E . ^[10] Примером является поле комплексных чисел. Каждое поле имеет алгебраическое расширение, которое алгебраически замкнуто (называемое его алгебраическим замыканием ), но доказательство этого в общем случае требует некоторой формы аксиомы выбора . ^[11]

Расширение L / K является алгебраическим тогда и только тогда, когда каждая под -K - алгебра L является полем.

Характеристики

Имеют место следующие три свойства: ^[12]

1. Если E является алгебраическим расширением F , а F является алгебраическим расширением K , то E является алгебраическим расширением K.
2. Если E и F являются алгебраическими расширениями K в общем надполе C , то композитум EF является алгебраическим расширением K.
3. Если E является алгебраическим расширением F и E > K > F , то E является алгебраическим расширением K.

Эти конечные результаты можно обобщить с помощью трансфинитной индукции:

4. Объединение любой цепочки алгебраических расширений над базовым полем само является алгебраическим расширением над тем же базовым полем.

Этот факт вместе с леммой Цорна (примененной к соответствующим образом выбранному частично упорядоченному множеству ) устанавливает существование алгебраических замыканий .

Обобщения

Теория моделей обобщает понятие алгебраического расширения на произвольные теории: вложение M в N называется алгебраическим расширением , если для каждого x из N существует формула p с параметрами из M , такая, что p ( x ) является истинной и множество

${\displaystyle \left\{y\in N\mid p(y)\right\}}$

конечна. Оказывается, что применение этого определения к теории полей дает обычное определение алгебраического расширения. Группа Галуа N над M может быть снова определена как группа автоморфизмов , и оказывается , что большая часть теории групп Галуа может быть развита для общего случая.

Относительные алгебраические замыкания

Для поля k и поля K , содержащего k , можно определить относительное алгебраическое замыкание поля k в K как подполе поля K, состоящее из всех элементов поля K , которые являются алгебраическими над полем k , то есть всех элементов поля K , которые являются корнем некоторого ненулевого многочлена с коэффициентами в k .

Смотрите также

• Неотъемлемый элемент
• Теорема Люрота
• расширение Галуа
• Отделяемое расширение
• Нормальное расширение

Примечания

1. Фрели (2014), Определение 31.1, с. 283.
2. Малик, Мордесон, Сен (1997), Определение 21.1.23, с. 453.
3. Фрели (2014), Определение 29.6, стр. 267.
4. Малик, Мордесон, Сен (1997), теорема 21.1.8, с. 447.
5. См. также Hazewinkel et al. (2004), с. 3.
6. Фрели (2014), теорема 31.18, с. 288.
7. Фрели (2014), следствие 31.13, с. 287.
8. Фрели (2014), Теорема 30.23, с. 280.
9. Фрели (2014), пример 29.8, с. 268.
10. Фрели (2014), следствие 31.16, с. 287.
11. Фрели (2014), Теорема 31.22, с. 290.
12. Лэнг (2002) стр.228

Ссылки

• Фрэли, Джон Б. (2014), Первый курс абстрактной алгебры , Пирсон, ISBN 978-1-292-02496-7
• Хазевинкель, Михель ; Губарени, Надежда; Губарени Надежда Михайловна; Кириченко, Владимир В. (2004), Алгебры, кольца и модули, вып. 1, Спрингер, ISBN 1-4020-2690-0
• Ланг, Серж (1993), "Т.1:Алгебраические расширения", Алгебра (третье изд.), Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley, стр. 223 и далее, ISBN 978-0-201-55540-0, ЗБЛ  0848.13001
• Малик, Д.Б.; Мордесон, Джон Н.; Сен, М.К. (1997), Основы абстрактной алгебры , McGraw-Hill, ISBN 0-07-040035-0
• Маккарти, Пол Дж. (1991) [исправленное переиздание 2-го издания, 1976], Алгебраические расширения полей, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-66651-4, ЗБЛ  0768.12001
• Роман, Стивен (1995), Теория поля, GTM 158, Springer-Verlag, ISBN 9780387944081
• Ротман, Джозеф Дж. (2002), Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, ISBN 9780130878687