Податливая группа

Локально компактная топологическая группа с инвариантной операцией усреднения

В математике аменабельная группа — это локально компактная топологическая группа G, выполняющая своего рода операцию усреднения над ограниченными функциями , которая инвариантна относительно перемещения элементами группы. Первоначальное определение в терминах конечно-аддитивной меры (или среднего значения) на подмножествах G было введено Джоном фон Нейманом в 1929 году под немецким названием «messbar» («измеримый» на английском языке) в ответ на парадокс Банаха-Тарского. . В 1949 году Махлон М. Дэй ввел английский перевод «податливый», очевидно, как каламбур на слово « подлый ». ^[а]

Критическим шагом в построении парадокса Банаха–Тарского является нахождение внутри группы вращений SO(3) свободной подгруппы с двумя образующими. Аменабельные группы не могут содержать такие группы и не допускают такого рода парадоксальных конструкций.

Аменабельность имеет множество эквивалентных определений. В области анализа определение дается в терминах линейных функционалов . Интуитивный способ понять эту версию состоит в том, что носителем регулярного представления является все пространство неприводимых представлений .

В дискретной теории групп , где G имеет дискретную топологию , используется более простое определение. В этом случае группа является управляемой, если можно сказать, какую долю G занимает то или иное данное подмножество. Например, любая подгруппа группы целых чисел порождается некоторым целым числом . Если то подгруппа занимает 0 долю. В противном случае он занимает всю группу. Несмотря на то, что и группа, и подгруппа имеют бесконечное количество элементов, существует четко определенное чувство меры. ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ ${\displaystyle p\geq 0}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle 1/p}$

Если группа имеет последовательность Фёльнера , то она автоматически становится доступной.

Определение локально компактных групп

Пусть G — локально компактная хаусдорфова группа . Тогда хорошо известно, что оно обладает единственной, инвариантной к левому (или правому) сдвигу нетривиальной кольцевой мерой с точностью до масштаба — мерой Хаара . (Это регулярная по Борелю мера , когда G вторично счетна ; когда G компактна, существуют как левые, так и правые меры .) Рассмотрим банахово пространство L ^∞ ( G ) существенно ограниченных измеримых функций внутри этого пространства с мерой (которое, очевидно, независимо масштаба меры Хаара).

Определение 1. Линейный функционал Λ в Hom( L ^∞ ( G ), R ) называется средним, если Λ имеет норму 1 и неотрицательен, т.е. f ≥ 0 п.в. влечет Λ( f ) ≥ 0.

Определение 2. Среднее Λ в Hom( L∞ ( G ), R ) называется левоинвариантным (соответственно правоинвариантным ) ^, если Λ( g · f ) = Λ( f ) для всех g в G и f в L ^∞ ( G ) относительно сдвига влево (соответственно вправо) g · f (x) = f ( g ⁻¹ x ) (соответственно f · g (x) = f ( xg ⁻¹ )).

Определение 3. Локально компактная хаусдорфова группа называется аменабельной , если она допускает лево- (или право-)инвариантное среднее.

Пример

В качестве примера компактных групп рассмотрим группу кругов. График типичной функции f ≥ 0 выглядит как зубчатая кривая над кругом, которую можно сделать, оторвав конец бумажной трубочки. Затем линейный функционал усреднял бы кривую, отрезав кусок бумаги в одном месте и приклеив его в другое место, снова создав плоскую вершину. Это инвариантное среднее.

Левоинвариантность будет означать, что вращение трубки не меняет высоту плоской вершины на конце. То есть имеет значение только форма трубки. В сочетании с линейностью, положительностью и нормой-1 этого достаточно, чтобы доказать, что построенное нами инвариантное среднее уникально.

В качестве примера локально компактных групп рассмотрим группу целых чисел. Ограниченная функция f — это просто ограниченная функция типа , а ее среднее значение — это скользящее среднее . ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lim _{n}{\frac {1}{2n+1}}\sum _{k=-n}^{n}f(k)}$

Эквивалентные условия аменабельности

Пир (1984) содержит подробное описание условий на второй счетной локально компактной группе G , эквивалентных аменабельности: ^[2]

• Существование левого (или правого) инвариантного среднего на L ^∞ ( G ). Исходное определение, которое зависит от выбранной аксиомы .
• Существование левоинвариантных состояний. На любой сепарабельной левоинвариантной унитальной С*-подалгебре ограниченных непрерывных функций на G существует левоинвариантное состояние .
• Свойство фиксированной точки. Любое действие группы непрерывными аффинными преобразованиями на компактном выпуклом подмножестве (сепарабельного) локально выпуклого топологического векторного пространства имеет неподвижную точку. Для локально компактных абелевых групп это свойство выполняется в результате теоремы Маркова–Какутани о неподвижной точке .
• Неприводимый дуал. Все неприводимые представления слабо содержатся в левом регулярном представлении λ на ^L2 ( G ) .
• Тривиальное представление. Тривиальное представление группы G слабо содержится в левом регулярном представлении.
• Годементное состояние. Каждая ограниченная положительно определенная мера µ на ​​G удовлетворяет условию µ (1) ≥ 0. Валетт улучшил этот критерий, показав, что достаточно спросить, что для каждой непрерывной положительно определенной функции f с компактным носителем на G функция ∆ ^{– 1 ⁄ 2} f имеет неотрицательный интеграл по мере Хаара, где ∆ обозначает модулярную функцию. ^[3]
• Условие асимптотической инвариантности Дэя. Существует последовательность интегрируемых неотрицательных функций φ _n с целым 1 на G такая, что λ( g )φ _n − φ _n стремится к 0 в слабой топологии на L ¹ ( G ).
• Состояние Рейтера. Для каждого конечного (или компактного) подмножества F группы G существует интегрируемая неотрицательная функция φ с целым 1 такая, что λ( g )φ − φ сколь угодно мало в L ¹ ( G ) для g в F .
• Состояние Диксмье. Для каждого конечного (или компактного) подмножества F группы G существует единичный вектор f в L ² ( G ) такой, что λ( g ) f − f сколь угодно мало в L ² ( G ) для g в F .
• Условие Гликсберга-Рейтера. Для любого f в L ¹ ( G ) расстояние между 0 и замкнутой выпуклой оболочкой в ​​L ¹ ( G ) слева переводит λ( g ) f равно |∫ f |.
• Состояние Фёльнера . Для каждого конечного (или компактного) подмножества F группы G существует измеримое подмножество U группы G с конечной положительной мерой Хаара такое, что m ( U ∆ gU )/m( U ) сколь угодно мало для g в F .
• Лептиновое состояние. Для каждого конечного (или компактного) подмножества F группы G существует измеримое подмножество U группы G с конечной положительной мерой Хаара такое, что m ( FU ∆ U )/m( U ) сколь угодно мало.
• Состояние Кестена . Левая свертка на L2 ( G ) с помощью симметричной вероятностной меры на G дает оператор операторной нормы 1 ^.
• Когомологическое условие Джонсона. Банахова алгебра A = L1 ( G ) аменабельна как банахова алгебра , т.е. любое ограниченное дифференцирование ^A в двойственное к банахову A -бимодулю является внутренним.

Случай дискретных групп

Определение аменабельности проще в случае дискретной группы ^[4] , т. е. группы, снабженной дискретной топологией. ^[5]

Определение. Дискретная группа G является аменабельной , если существует конечно-аддитивная мера (также называемая средним значением) — функция, которая присваивает каждому подмножеству G число от 0 до 1 — такая, что

1. Мера является вероятностной мерой : мера всей группы G равна 1.
2. Мера конечно аддитивна : при наличии конечного числа непересекающихся подмножеств G мера объединения множеств равна сумме мер.
3. Мера левоинвариантна : для данного подмножества A и элемента g из G мера A равна мере gA . ( gA обозначает набор элементов ga для каждого элемента a в A . То есть каждый элемент A переводится слева на  g .)

Это определение можно резюмировать следующим образом: G является аменабельной, если она имеет конечно-аддитивную левоинвариантную вероятностную меру. Учитывая подмножество A из G , меру можно рассматривать как ответ на вопрос: какова вероятность того, что случайный элемент G находится в A ?

Это факт, что это определение эквивалентно определению в терминах  L ^∞ ( G ).

Наличие меры µ на ​​G позволяет нам определить интегрирование ограниченных функций на  G . Для ограниченной функции f : G → R интеграл

${\displaystyle \int _{G}f\,d\mu }$

определяется как при интегрировании Лебега . (Обратите внимание, что некоторые свойства интеграла Лебега здесь не работают, поскольку наша мера является лишь конечно-аддитивной.)

Если группа имеет левоинвариантную меру, она автоматически имеет биинвариантную. Учитывая левоинвариантную меру µ , функция µ ⁻ ( A ) = µ ( A ⁻¹ ) является правоинвариантной мерой. Объединение этих двух дает биинвариантную меру:

${\displaystyle \nu (A)=\int _{g\in G}\mu \left(Ag^{-1}\right)\,d\mu ^{-}.}$

Эквивалентные условия аменабельности упрощаются и в случае счетной дискретной группы Γ. Для такой группы следующие условия эквивалентны: ^[2]

• Γ поддается.
• Если Γ действует изометриями на (сепарабельном) банаховом пространстве E , оставляя слабо замкнутое выпуклое подмножество C замкнутого единичного шара E * инвариантным, то Γ имеет неподвижную точку в C .
• Существует левоинвариантный, непрерывный по норме функционал µ на ​​ℓ ^∞ (Γ) с µ (1) = 1 (для этого требуется аксиома выбора ).
• На любой левоинвариантной сепарабельной единичной C*-подалгебре в ℓ ^∞ (Γ) существует левоинвариантное состояние µ .
• Существует набор вероятностных мер µ _n на Γ такой, что || г · μ _n  -  μ _n || ₁ стремится к 0 для каждого g в Γ (день MM).
• Существуют единичные векторы x _n в ℓ ² (Γ) такие, что || г · Икс _п  -  Икс _п || ₂ стремится к 0 для каждого g из Γ (Ж. Диксмье).
• Существуют конечные подмножества Sn в Γ такие, что _| г · S _п Δ S _п | / | С _п | стремится к 0 для каждого g из Γ (Фёлнер).
• Если µ — симметричная вероятностная мера на Γ с носителем, порождающим Γ, то свертка по µ определяет оператор нормы 1 на ℓ ² (Γ) (Кестен).
• Если Γ действует изометриями на (сепарабельном) банаховом пространстве E и f в ℓ ^∞ (Γ, E *) является ограниченным 1-коциклом, т. е. f ( gh ) =  f ( g ) +  g · f ( h ), то f является 1-кограницей, т. е. f ( g ) = g ·φ − φ для некоторого φ из E * (Б. Е. Джонсон).
• Приведенная групповая С*-алгебра (см. _{приведенная} групповая С*-алгебра Cr * ( G ) ) является ядерной .
• Приведенная групповая С*-алгебра квазидиагональна (Дж. Розенберг, А. Тикуисис, С. Уайт, В. Винтер).
• Групповая алгебра фон Неймана (см. алгебры фон Неймана, ассоциированные с группами ) группы Γ гиперконечная (А. Конн).

Отметим, что А. Конн также доказал, что групповая алгебра фон Неймана любой связной локально компактной группы гиперконечна , поэтому последнее условие больше не применимо в случае связных групп.

Аменабельность связана со спектральной теорией некоторых операторов. Например, фундаментальная группа замкнутого риманова многообразия аменабельна тогда и только тогда, когда дно спектра лапласиана в L2 -пространстве универсального накрытия многообразия равно 0. ^[6]

Характеристики

• Каждая (замкнутая) подгруппа аменабельной группы аменабельна.
• Каждый фактор аменабельной группы аменабельен.
• Групповое расширение аменабельной группы с помощью аменабельной группы снова аменабельно. В частности, конечные прямые произведения аменабельных групп аменабельны, хотя бесконечные произведения не обязательно.
• Прямые пределы аменабельных групп аменабельны. В частности, если группу можно записать как направленное объединение аменабельных подгрупп, то она аменабельна.
• Аменабельные группы унитаризуемы ; обратное — открытая проблема.
• Счётные дискретные аменабельные группы подчиняются теореме Орнштейна об изоморфизме . ^{[7] [8]}

Примеры

• Конечные группы аменабельны. Используйте счетную меру с дискретным определением. В более общем смысле компактные группы аменабельны. Мера Хаара является инвариантным средним (единственным, принимающим полную меру 1).
• Группа целых чисел аменабельна (последовательность интервалов длины, стремящейся к бесконечности, является последовательностью Фёлнера). Таким образом, существование инвариантной к сдвигу конечно-аддитивной вероятностной меры на группе Z также легко следует из теоремы Хана – Банаха . Пусть S — оператор сдвига в пространстве последовательностей ℓ ^∞ ( Z ), который определяется формулой ( Sx ) _i  =  x _{i +1} для всех x  ∈ ℓ ^∞ ( Z ), и пусть u  ∈ ℓ ^∞ ( Z ) будет постоянная последовательность u _i  знак равно 1 для всех i  ∈  Z . Любой элемент y  ∈ Y :=range( S  −  I ) имеет расстояние от u больше или равное 1 (в противном случае y _i  = x _i+1  - x _i было бы положительным и отделено от нуля, поэтому x _i не могло бы быть ограниченным). Это означает, что существует корректно определенная линейная форма с нормой один в подпространстве R u  +  Y , переводящая tu + y в t . По теореме Хана-Банаха последний допускает линейное расширение по норме один на ℓ ^∞ ( Z ), которое по построению является инвариантной к сдвигу конечно-аддитивной вероятностной мерой на Z .
• Если каждый класс сопряженных элементов в локально компактной группе имеет компактное замыкание, то группа аменабельна. Примеры групп с этим свойством включают компактные группы, локально компактные абелевы группы и дискретные группы с конечными классами сопряженности . ^[9]
• По свойству прямого предела, указанному выше, группа аменабельна, если таковыми являются все ее конечно порожденные подгруппы. То есть локально аменабельные группы аменабельны.
  • Из фундаментальной теоремы о конечно порожденных абелевых группах следует, что абелевы группы аменабельны.
• Из свойства расширения, приведенного выше, следует, что группа аменабельна, если она имеет аменабельную подгруппу конечного индекса . То есть практически поддающиеся группы податливы.
• Кроме того, отсюда следует, что все разрешимые группы аменабельны.

Все приведенные выше примеры элементарно поддаются . Первый класс приведенных ниже примеров можно использовать для демонстрации неэлементарных поддающихся адаптации примеров благодаря существованию групп промежуточного роста .

• Поддаются конечно порожденные группы субэкспоненциального роста . Подходящая последовательность шаров даст последовательность Фёльнера. ^[10]
• Конечно порожденные бесконечные простые группы не могут быть получены с помощью бутстрап-конструкций, используемых для построения элементарных аменабельных групп. Поскольку существуют такие простые группы, которые являются аменабельными, согласно Ющенко и Моно , ^[11] это снова дает неэлементарные аменабельные примеры.

Непримеры

Если счетная дискретная группа содержит (неабелеву) свободную подгруппу с двумя образующими, то она не аменабельна. Обратной этому утверждению является так называемая гипотеза фон Неймана , которую Ольшанский опроверг в 1980 году с помощью своих монстров Тарского . Впоследствии Адьян показал, что свободные группы Бернсайда неаменабельны: поскольку они периодические , они не могут содержать свободную группу на двух образующих. Эти группы конечно порождены, но не конечно представлены. Однако в 2002 году Сапир и Ольшанский нашли конечно-представленные контрпримеры: неаменабельные конечно-представленные группы , которые имеют периодическую нормальную подгруппу с факторизацией целых чисел. ^[12]

Однако для конечно порожденных линейных групп гипотеза фон Неймана верна в силу альтернативы Титса : ^[13] каждая подгруппа GL ( n , k ) с k полем либо имеет нормальную разрешимую подгруппу конечного индекса (и, следовательно, аменабельна), или содержит свободную группу по двум образующим. Хотя доказательство Титса использовало алгебраическую геометрию , позже Гиварх нашел аналитическое доказательство, основанное на мультипликативной эргодической теореме В. Оселедца . ^[14] Аналоги альтернативы Титса доказаны для многих других классов групп, например фундаментальных групп двумерных симплициальных комплексов неположительной кривизны . ^[15]

Смотрите также

• Равномерно ограниченное представление
• Собственность Каждана (Т)
• Гипотеза фон Неймана

Примечания

1. Первое опубликованное использование этого слова Дэем находится в его реферате к летнему собранию AMS в 1949 году. ^[1] Многие учебники по аменабельности, такие как учебник Фолькера Рунде, предполагают, что Дэй выбрал это слово как каламбур.

Цитаты

1. День 1949 г., стр. 1054–1055.
2. Пирс 1984.
3. Валетт 1998.
4. См.:
   • Гринлиф 1969
   • Пирс 1984 г.
   • Такэсаки 2001 г.
   • Такэсаки 2002 г.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Дискретная группа». Математический мир .
6. Брукс 1981, стр. 581–598.
7. Орнштейн и Вайс 1987, стр. 1–141.
8. Боуэн 2012.
9. Лептин 1968.
10. См.:
    • Гринлиф 1969
    • Пирс 1984 г.
    • Такэсаки 2001 г.
    • Такэсаки 2002 г.
11. Ющенко и Моно, 2013, стр. 775–787.
12. Ольшанский и Сапир 2002, стр. 43–169.
13. Титсы 1972, стр. 250–270.
14. Гиварк, 1990, стр. 483–512.
15. Баллманн и Брин 1995, стр. 169–209.

Источники

В эту статью включены материалы группы Amenable на сайте PlanetMath , которые доступны под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

• Баллманн, Вернер; Брин, Майкл (1995), «Орбиэдры неположительной кривизны», Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 82 : 169–209, CiteSeerX  10.1.1.30.8282 , doi : 10.1007/BF02698640
• Боуэн, Льюис (2012). «Каждая счетная бесконечная группа почти Орнштейна». Динамические системы и групповые действия . Современная математика. Том. 567. стр. 67–78. arXiv : 1103.4424 . дои : 10.1090/conm/567.
• Брукс, Роберт (1981). «Фундаментальная группа и спектр лапласиана». Комментарий. Математика. Хелв. 56 : 581–598. дои : 10.1007/bf02566228.
• День, ММ (1949). «Средства о полугруппах и группах». Бюллетень Американского математического общества . 55 (11): 1054–1055.
• Диксмье, Жак (1977), C*-алгебры (перевод с французского Фрэнсиса Джеллетта) , Математическая библиотека Северной Голландии, том. 15, Северная Голландия
• Гринлиф, Ф.П. (1969), Инвариантные средние топологические группы и их приложения , Ван Ностранд Рейнхольд
• Гиварк, Ив (1990), «Produits de matrices aléatoires et application aux proprietés géometriques des sous-groupes du groupes linéaire», Ergodic Theory and Dynamical Systems (на французском языке), 10 (3): 483–512, doi : 10.1017 /S0143385700005708
• Ющенко, Катя; Моно, Николя (2013), «Канторовые системы, кусочные переводы и простые аменабельные группы», Annals of Mathematics , 178 (2): 775–787, arXiv : 1204.2132 , doi : 10.4007/annals.2013.178.2.7
• Лептин, Х. (1968), "Zur Harmonischen Analyse klassenkompakter Gruppen", Invent. Математика. , 5 (4): 249–254, Бибкод : 1968InMat...5..249L, doi : 10.1007/bf01389775
• фон Нейман, Дж (1929), «Zur allgemeinen Theorie des Maßes» (PDF) , Fund. Математика. , 13 (1): 73–111, doi : 10.4064/fm-13-1-73-116
• Ольшанский, Александр Ю; Сапир, Марк В. (2002), «Неаменабельные конечно определенные периодические циклические группы», Опубл. Математика. Инст. Hautes Études Sci. , 96 : 43–169, arXiv : math/0208237 , doi : 10.1007/s10240-002-0006-7
• Орнштейн, Дональд С .; Вайс, Бенджамин (1987). «Теоремы об энтропии и изоморфизме для действий аменабельных групп». Журнал Математического Анализа . 48 : 1–141. дои : 10.1007/BF02790325.
• Пьер, Жан-Поль (1984), Аменабельные локально компактные группы , Чистая и прикладная математика, Wiley, Zbl  0621.43001
• Рунде, В. (2002), Лекции по аменабельности , Конспекты лекций по математике, том. 1774, Спрингер, ISBN 978-354042852-7
• Сунада, Тошикадзу (1989), «Унитарные представления фундаментальных групп и спектр скрученных лапласианов», Топология , 28 (2): 125–132, doi : 10.1016/0040-9383(89)90015-3
• Такесаки, М. (2001), Теория операторных алгебр I , Springer, ISBN 978-354042248-8
• Такесаки, М. (2002), Теория операторных алгебр II , Springer, ISBN 978-354042914-2
• Такесаки, М. (2013), Теория операторных алгебр III , Springer, ISBN 978-366210453-8
• Титс, Дж. (1972), «Свободные подгруппы в линейных группах», J. Algebra , 20 (2): 250–270, doi : 10.1016/0021-8693(72)90058-0
• Валетт, Ален (1998), «О характеристике аменабельности, предложенной Годементом» (PDF) , Bull. Австрал. Математика. Соц. , 57 : 153–158, doi : 10.1017/s0004972700031506

Внешние ссылки

• Некоторые заметки Терри Тао об аменабельности
• Гарридо, Алехандра. Введение в аменабельные группы