Угловое расстояние

Угол между двумя линиями визирования или двумя объектами, как их видит наблюдатель

Угловое расстояние или угловое разделение — это мера угла между ориентацией двух прямых линий , лучей или векторов в трехмерном пространстве , или центральный угол, образованный радиусами , проходящими через две точки на сфере . Когда лучи являются линиями зрения от наблюдателя до двух точек в пространстве, это известно как кажущееся расстояние или кажущееся разделение .

Угловое расстояние появляется в математике (в частности, в геометрии и тригонометрии ) и во всех естественных науках (например, в кинематике , астрономии и геофизике ). В классической механике вращающихся объектов оно появляется наряду с угловой скоростью , угловым ускорением , моментом импульса , моментом инерции и крутящим моментом .

Использовать

Термин «угловое расстояние» (или разделение ) технически является синонимом самого угла , но подразумевает линейное расстояние между объектами (например, парой звезд, наблюдаемых с Земли ).

Измерение

Поскольку угловое расстояние (или разделение) концептуально идентично углу, оно измеряется в тех же единицах , например, градусах или радианах , с использованием таких инструментов, как гониометры или оптические приборы, специально разработанные для указания четко определенных направлений и регистрации соответствующих углов (например, телескопы ).

Формулировка

Угловое расстояние между точками A и B, как видно из O ${\displaystyle \theta }$

Чтобы вывести уравнение, описывающее угловое разделение двух точек, расположенных на поверхности сферы, как видно из центра сферы, мы используем пример двух астрономических объектов и , наблюдаемых с Земли. Объекты и определяются их небесными координатами , а именно их прямыми восхождениями (RA) , ; и склонениями (dec) , . Пусть обозначает наблюдателя на Земле, предположительно находящегося в центре небесной сферы . Скалярное произведение векторов и равно: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (\alpha _{A},\alpha _{B})\in [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle (\delta _{A},\delta _{B})\in [-\pi /2,\pi /2]}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathbf {OA} }$ ${\displaystyle \mathbf {OB} }$

${\displaystyle \mathbf {OA} \cdot \mathbf {OB} =R^{2}\cos \theta }$

что эквивалентно:

${\displaystyle \mathbf {n_{A}} \cdot \mathbf {n_{B}} =\cos \theta }$

В системе координат два единичных вектора раскладываются на: Следовательно, тогда: ${\displaystyle (x,y,z)}$ $${\displaystyle \mathbf {n_{A}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\\\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\\\sin \delta _{A}\end{pmatrix}}\mathrm {\qquad and\qquad } \mathbf {n_{B}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}\\\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}\\\sin \delta _{B}\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {n_{A}} \cdot \mathbf {n_{B}} =\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}+\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}+\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}\equiv \cos \theta }$$

${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left[\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\cos(\alpha _{A}-\alpha _{B})\right]}$

Приближение малых угловых расстояний

Вышеприведенное выражение справедливо для любого положения A и B на сфере. В астрономии часто бывает так, что рассматриваемые объекты находятся на небе очень близко: звезды в поле зрения телескопа, двойные звезды, спутники планет-гигантов Солнечной системы и т. д. В случае, когда радиан, подразумевая и , мы можем развить вышеприведенное выражение и упростить его. В приближении малых углов , во втором порядке, вышеприведенное выражение принимает вид: ${\displaystyle \theta \ll 1}$ ${\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}$ ${\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}$

${\displaystyle \cos \theta \approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\left[1-{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\right]}$

значение

${\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \cos(\delta _{A}-\delta _{B})-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$

следовательно

${\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1-{\frac {(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}{2}}-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$.

Учитывая, что и , при развитии второго порядка получается, что , так что ${\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}$ ${\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}$ ${\displaystyle \cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\approx \cos ^{2}\delta _{A}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$

${\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\left[(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}\right]^{2}+(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}}}$

Малое угловое расстояние: плоскостное приближение

Плоская аппроксимация углового расстояния на небе

Если рассмотреть детектор, отображающий небольшую область неба (размером намного меньше одного радиана) с осью, направленной вверх, параллельно меридиану прямого восхождения , и осью, направленной вдоль параллели склонения , то угловое разделение можно записать как: ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}}$

где и . ${\displaystyle \delta x=(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}}$ ${\displaystyle \delta y=\delta _{A}-\delta _{B}}$

Обратите внимание, что ось - равна склонению, тогда как ось - является прямым восхождением, модулированным по , поскольку сечение сферы радиусом по склонению (широте) равно (см. рисунок). ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cos \delta _{A}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle R'=R\cos \delta _{A}}$

Смотрите также

• Миллирадиан
• Градиент
• Часовой угол
• Центральный угол
• Угол поворота
• Угловой диаметр
• Угловое смещение
• Расстояние по дуге большого круга
• Косинусное подобие § Угловое расстояние и подобие

Ссылки

• КАСТОР, автор Майкл А. Эрл. «Сферическая тригонометрия против векторного анализа».
• Вайсштейн, Эрик В. «Угловое расстояние». MathWorld .