Ангармонизм

Отклонение физической системы от гармонического осциллятора

Потенциальная энергия двухатомной молекулы как функция расстояния между атомами . Когда молекулы находятся слишком близко или слишком далеко, они испытывают восстанавливающую силу, возвращающуюся к u ₀ . (Представьте себе шарик, катящийся вперед и назад во впадине.) Синяя кривая по форме близка к фактической потенциальной яме молекулы , а красная парабола является хорошим приближением для небольших колебаний. Красное приближение рассматривает молекулу как гармонический осциллятор, поскольку восстанавливающая сила -V'(u) линейна по отношению к смещению u .

В классической механике ангармонизмом называется отклонение системы от состояния гармонического осциллятора . Генератор , который не совершает гармонических колебаний, известен как ангармонический осциллятор, где систему можно аппроксимировать гармоническим осциллятором, а ангармонизм можно рассчитать с помощью теории возмущений . Если ангармонизм велик, необходимо использовать другие численные методы . В действительности все колебательные системы являются ангармоническими, но тем ближе к гармоническому осциллятору, чем меньше амплитуда колебаний.

В результате появляются колебания с частотами и т. д., где – основная частота генератора. Кроме того, частота отклоняется от частоты гармонических колебаний. См. также интермодуляцию и комбинирование тонов . В первом приближении сдвиг частоты пропорционален квадрату амплитуды колебаний : ${\displaystyle 2\omega }$ ${\displaystyle 3\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \Delta \omega =\omega -\omega _{0}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Delta \omega \propto A^{2}}$

В системе осцилляторов с собственными частотами ангармонизм приводит к дополнительным колебаниям с частотами . ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$ ${\displaystyle \omega _{\beta }}$ ${\displaystyle \omega _{\alpha }\pm \omega _{\beta }}$

Ангармонизм также изменяет энергетический профиль резонансной кривой, приводя к таким интересным явлениям, как эффект сгиба и супергармонический резонанс.

Основной принцип

Упругий маятник с 2 степенями свободы, демонстрирующий ангармоническое поведение.

Гармонические и ангармонические осцилляторы

Осциллятор — это физическая система, характеризующаяся периодическим движением, такая как маятник, камертон или вибрирующая двухатомная молекула . С математической точки зрения, основной особенностью осциллятора является то, что для некоторой координаты x системы сила, величина которой зависит от x, будет отталкивать x от крайних значений и обратно к некоторому центральному значению x ₀ , заставляя x колебаться между крайностями. Например, x может обозначать смещение маятника из его исходного положения x =0 . По мере увеличения абсолютного значения x растет и восстанавливающая сила, действующая на вес маятника, которая толкает его обратно в положение покоя.

В гармонических генераторах восстанавливающая сила пропорциональна по величине (и противоположна по направлению) смещению x от естественного положения x ₀ . Полученное дифференциальное уравнение подразумевает, что x должен колебаться синусоидально с течением времени с периодом колебаний, присущим системе. x может колебаться с любой амплитудой, но всегда будет иметь одинаковый период.

Однако ангармонические осцилляторы характеризуются нелинейной зависимостью восстанавливающей силы от смещения x. Следовательно, период колебаний ангармонического осциллятора может зависеть от его амплитуды колебаний.

В результате нелинейности ангармонических осцилляторов частота вибрации может меняться в зависимости от смещения системы. Эти изменения частоты вибрации приводят к тому, что энергия основной частоты вибрации передается на другие частоты посредством процесса, известного как параметрическая связь. ^{[ нужны разъяснения ]}

Рассматривая нелинейную восстанавливающую силу как функцию F ( x − x ₀ ) от смещения x из его естественного положения, мы можем заменить F ее линейной аппроксимацией F ₁ = F ′ (0) ⋅ ( x − x ₀ ) в нуле. смещение. Аппроксимирующая функция F ₁ линейна, поэтому она будет описывать простое гармоническое движение. Кроме того, эта функция F ₁ точна, когда x − x ₀ мало. По этой причине ангармоническое движение можно аппроксимировать как гармоническое, если колебания малы.

Примеры по физике

В физическом мире существует множество систем, которые можно смоделировать как ангармонические осцилляторы в дополнение к нелинейной системе масса-пружина. Например, атом, состоящий из положительно заряженного ядра, окруженного отрицательно заряженным электронным облаком, испытывает смещение между центром масс ядра и электронным облаком при наличии электрического поля. Величина этого смещения, называемая электрическим дипольным моментом, линейно связана с приложенным полем для малых полей, но по мере увеличения величины поля соотношение поля и дипольного момента становится нелинейным, как и в механической системе.

Другие примеры ангармонических осцилляторов включают маятник с большим углом; неравновесные полупроводники, обладающие большой популяцией горячих носителей, демонстрирующие нелинейное поведение различного типа, связанное с эффективной массой носителей; и ионосферная плазма, которая также демонстрирует нелинейное поведение, основанное на ангармонизме плазмы, поперечных колеблющихся струнах . Фактически, практически все осцилляторы становятся ангармоничными, когда их амплитуда накачки превышает некоторый порог, и в результате для описания их поведения необходимо использовать нелинейные уравнения движения.

Ангармонизм играет роль в колебаниях решетки и молекул, в квантовых колебаниях ^[1] и в акустике . Атомы в молекуле или твердом теле колеблются вокруг своего положения равновесия. Когда эти колебания имеют малые амплитуды, их можно описать гармоническими осцилляторами . Однако когда амплитуды колебаний велики, например, при высоких температурах, ангармонизм становится важным. Примером эффектов ангармоничности является тепловое расширение твердых тел, которое обычно изучается в квазигармоническом приближении . Изучение колеблющихся ангармонических систем с помощью квантовой механики является сложной вычислительной задачей, поскольку ангармонизм не только усложняет потенциал, испытываемый каждым осциллятором, но также приводит к возникновению связи между осцилляторами. Можно использовать методы первых принципов, такие как теория функционала плотности, для отображения ангармонического потенциала, испытываемого атомами как в молекулах ^[2] , так и в твердых телах. ^[3] Точные ангармонические колебательные энергии могут быть получены путем решения ангармонических колебательных уравнений для атомов в рамках теории среднего поля . Наконец, можно использовать теорию возмущений Мёллера – Плессе, чтобы выйти за рамки формализма среднего поля.

Период колебаний

Рассмотрим массу, движущуюся в потенциальной яме . Период колебаний может быть получен ^[4] , где крайние значения движения определяются как и . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle U(x)}$ $${\displaystyle T={\sqrt {2m}}\int _{x_{-}}^{x_{+}}{\frac {dx}{\sqrt {E-U(x)}}}}$$ ${\displaystyle x_{-}<x<x_{+}}$ ${\displaystyle U(x_{-})=U(x_{+})=E}$

Смотрите также

• Негармоничность
• Гармонический осциллятор
• Музыкальная акустика
• Нелинейный резонанс
• Трансмон

Рекомендации

• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1976), Механика (3-е изд.), Pergamon Press, ISBN 978-0-08-021022-3
• Филиппони, А.; Кавичия, Д.Р. (2011), «Ангармоническая динамика массового генератора с пружиной O-образной формы», American Journal of Physics , 79 (7): 730–735, Bibcode : 2011AmJPh..79..730F, doi : 10.1119/1.3579129

1. Лим, Киран Ф.; Коулман, Уильям Ф. (август 2005 г.), «Влияние ангармоничности на двухатомную вибрацию: моделирование в электронной таблице», J. Chem. Образование. , 82 (8): 1263, Бибкод : 2005JChEd..82.1263F, doi : 10.1021/ed082p1263.1
2. Юнг, Джо; Бенни Гербер, Р. (1996), "Колебательные волновые функции и спектроскопия (H ₂ O) _n , n =2,3,4,5: Колебательное самосогласованное поле с корреляционными поправками", J. Chem. Физ. , 105 (23): 10332, Бибкод : 1996JChPh.10510332J, doi : 10.1063/1.472960
3. Монсеррат, Б.; Драммонд, Северная Дакота; Потребности, Р.Дж. (2013), «Ангармонические колебательные свойства в периодических системах: энергия, электрон-фононная связь и напряжение», Phys. Rev. B , 87 (14): 144302, arXiv : 1303.0745 , Bibcode : 2013PhRvB..87n4302M, doi : 10.1103/PhysRevB.87.144302, S2CID  118687212
4. Аморе, Паоло; Фернандес, Франсиско М. (2005). «Точные и приближенные выражения для периода ангармонических осцилляторов». Европейский журнал физики . 26 (4): 589–601. arXiv : math-ph/0409034 . Бибкод : 2005EJPh...26..589A. дои : 10.1088/0143-0807/26/4/004. S2CID  119615357.

Внешние ссылки

• Элмер, Франц-Иосиф (20 июля 1998 г.), Нелинейный резонанс, Базельский университет , заархивировано из оригинала 13 июня 2011 г. , получено 28 октября 2010 г.