В математике антигомоморфизм — это тип функции, определённой на множествах с умножением, которое меняет порядок умножения на противоположный . Антиавтоморфизм — это обратимый антигомоморфизм , т. е. антиизоморфизм множества на себя. Из биективности следует, что антиавтоморфизмы имеют обратные, и что обратный антиавтоморфизм также является антиавтоморфизмом.
Неформально, антигомоморфизм — это отображение, которое меняет порядок умножения. Формально, антигомоморфизм между структурами и — это гомоморфизм , где равно как множество, но имеет обратное умножение по отношению к тому, которое определено на . Обозначая (обычно некоммутативное ) умножение на через , умножение на , обозначенное через , определяется через . Объект называется противоположным объектом по отношению к (соответственно, противоположная группа , противоположная алгебра , противоположная категория и т. д.).
Это определение эквивалентно определению гомоморфизма (изменение операции до или после применения отображения эквивалентно). Формально, отправка в и действие в качестве тождества на отображениях является функтором (на самом деле, инволюцией ).
В теории групп антигомоморфизм — это отображение между двумя группами, которое меняет порядок умножения на противоположный. Так что если φ : X → Y — антигомоморфизм групп,
для всех x , y из X.
Карта, которая переводит x в x −1, является примером группового антиавтоморфизма. Другим важным примером является операция транспонирования в линейной алгебре , которая переводит векторы-строки в векторы-столбцы . Любое векторно-матричное уравнение может быть транспонировано в эквивалентное уравнение, в котором порядок множителей обратный.
В случае матриц примером антиавтоморфизма является транспонированное отображение. Поскольку инверсия и транспонирование дают антиавтоморфизмы, их композиция является автоморфизмом. Эту инволюцию часто называют контрагредиентным отображением, и она дает пример внешнего автоморфизма общей линейной группы GL( n , F ) , где F — поле, за исключением случаев, когда | F | = 2 и n = 1 или 2 , или | F | = 3 и n = 1 (т. е. для групп GL(1, 2) , GL(2, 2) и GL(1, 3) ).
В теории колец антигомоморфизм — это отображение между двумя кольцами, которое сохраняет сложение, но меняет порядок умножения на противоположный. Так что φ : X → Y является антигомоморфизмом колец тогда и только тогда, когда:
для всех x , y в X. [1 ]
Для алгебр над полем K φ должно быть K - линейным отображением базового векторного пространства . Если базовое поле имеет инволюцию, можно вместо этого попросить φ быть сопряженно-линейным , как в сопряженном транспонировании ниже.
Часто бывает так, что антиавтоморфизмы являются инволюциями , т. е. квадрат антиавтоморфизма является тождественным отображением ; их также называютинволютивный антиавтоморфизм s. Например, в любой группе отображение, которое переводитxв егообратный x−1,является инволютивным антиавтоморфизмом.
Кольцо с инволютивным антиавтоморфизмом называется *-кольцом , и они образуют важный класс примеров .
Если источник X или цель Y коммутативны, то антигомоморфизм — это то же самое, что и гомоморфизм .
Композиция двух антигомоморфизмов всегда является гомоморфизмом, поскольку двукратное изменение порядка сохраняет порядок. Композиция антигомоморфизма с гомоморфизмом дает другой антигомоморфизм.
