Аксиома бесконечности

Аксиома теории множеств Цермело-Френкеля

В аксиоматической теории множеств и разделах математики и философии , которые ее используют, аксиома бесконечности является одной из аксиом теории множеств Цермело-Френкеля . Это гарантирует существование по крайней мере одного бесконечного множества , а именно множества, содержащего натуральные числа . Впервые он был опубликован Эрнстом Цермело как часть его теории множеств в 1908 году. ^[1]

Официальное заявление

На формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома такова:

${\displaystyle \exists I\ (\exists o\ (o\in I\ \land \ \lnot \exists n\ \ n\in o)\ \land \ \forall x\ (x\in I\Rightarrow \exists s\ (s\in I\ \land \ \forall a\ (a\in s\Leftrightarrow (a\in x\ \lor \ a=x)))))}$

На английском языке: существует набор ( множество , которое постулируется бесконечным), такой, что пустой набор находится в , и для каждого элемента из существует элемент в, называемый «преемником », такой, который содержит все элементы самого плюса — другими словами . Некоторые могут назвать набор, построенный таким образом, индуктивным набором . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s=x\cup \{x\}}$

Приведенную выше формулу можно неформально компактно выразить так:

${\displaystyle \exists I\,(\emptyset \in I\,\land \,\forall x\in I\,(\,(x\cup \{x\})\in I))}$

Толкование и последствия

Эта аксиома тесно связана с конструкцией фон Неймана натуральных чисел в теории множеств, в которой преемник x определяется как x ∪ { x }. Если x — множество, то из других аксиом теории множеств следует, что этот преемник также является однозначно определенным множеством. Преемники используются для определения обычного теоретико-множественного кодирования натуральных чисел . В этой кодировке ноль — это пустой набор:

0 = {}.

Число 1 является преемником 0:

1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0} = {{}}.

Аналогично, 2 является преемником 1:

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0, 1} = { {}, {{}} },

и так далее:

3 = {0, 1, 2} = { {}, {{}}, {{}, {{}}} };

4 = {0, 1, 2, 3} = { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} } }.

Следствием этого определения является то, что каждое натуральное число равно множеству всех предыдущих натуральных чисел. Количество элементов в каждом наборе на верхнем уровне такое же, как и представленное натуральное число, а глубина вложенности самого глубоко вложенного пустого набора {}, включая его вложенность в набор, который представляет число, из которого он состоит. часть также равна натуральному числу, которое представляет набор.

Эта конструкция образует натуральные числа. Однако других аксиом недостаточно, чтобы доказать существование множества всех натуральных чисел . Поэтому его существование принимается как аксиома – аксиома бесконечности. Эта аксиома утверждает, что существует множество I , содержащее 0 и замкнутое относительно операции взятия преемника; то есть для каждого элемента I преемник этого элемента также находится в I . ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$

Таким образом, суть аксиомы такова:

Существует множество I , включающее все натуральные числа.

Аксиома бесконечности также является одной из аксиом фон Неймана–Бернейса–Гёделя .

Извлечение натуральных чисел из бесконечного множества

Бесконечное множество I является надмножеством натуральных чисел. Чтобы показать, что натуральные числа сами по себе составляют набор, можно применить схему аксиом спецификации для удаления ненужных элементов, оставив набор N всех натуральных чисел. Это множество уникально по аксиоме экстенсиональности .

Чтобы извлечь натуральные числа, нам нужно определить, какие множества являются натуральными числами. Натуральные числа могут быть определены таким образом, чтобы не предполагаться никаких аксиом, кроме аксиомы экстенсиональности и аксиомы индукции : натуральное число является либо нулем, либо преемником, и каждый из его элементов является либо нулем, либо преемником другого его элемента. элементы. На формальном языке определение гласит:

${\displaystyle \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([n=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k(n=k\cup \{k\})]\,\,\land \,\,\forall m\in n[m=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k\in n(m=k\cup \{k\})])).}$

Или еще более формально:

${\displaystyle \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([\forall k(\lnot k\in n)\lor \exists k\forall j(j\in n\iff (j\in k\lor j=k))]\;\land }$

${\displaystyle \forall m(m\in n\Rightarrow [\forall k(\lnot k\in m)\lor \exists k(k\in n\land \forall j(j\in m\iff (j\in k\lor j=k)))]))).}$

Альтернативный метод

Альтернативный метод заключается в следующем. Пусть это формула, в которой говорится, что «x индуктивен»; то есть . Неформально, мы возьмем пересечение всех индуктивных множеств. Более формально, мы хотим доказать существование уникального множества такого, что ${\displaystyle \Phi (x)}$ ${\displaystyle \Phi (x)=(\emptyset \in x\wedge \forall y(y\in x\to (y\cup \{y\}\in x)))}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \forall x(x\in W\leftrightarrow \forall I(\Phi (I)\to x\in I)).}$ (*)

Для существования мы будем использовать Аксиому Бесконечности в сочетании со схемой Аксиомы спецификации . Пусть – индуктивное множество, гарантированное аксиомой бесконечности. Затем мы используем схему аксиом спецификации, чтобы определить наше множество – т.е. это набор всех элементов , которые также являются элементами любого другого индуктивного множества. Это явно удовлетворяет гипотезе (*), поскольку если , то находится в каждом индуктивном множестве, а если находится в каждом индуктивном множестве, то оно, в частности, находится в , поэтому оно также должно быть в . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle W=\{x\in I:\forall J(\Phi (J)\to x\in J)\}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x\in W}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle W}$

Для обеспечения уникальности сначала обратите внимание, что любой набор, удовлетворяющий условию (*), сам по себе является индуктивным, поскольку 0 находится во всех индуктивных множествах, а если элемент присутствует во всех индуктивных множествах, то по свойству индуктивности то же самое относится и к его преемнику. Таким образом, если бы существовало другое множество , удовлетворяющее (*), мы бы имели, что поскольку индуктивно, а поскольку индуктивно. Таким образом . Обозначим этот уникальный элемент. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle W'\subseteq W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W\subseteq W'}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle W=W'}$ ${\displaystyle \omega }$

Это определение удобно тем, что сразу следует принцип индукции : Если индуктивно, то также , так что . ${\displaystyle I\subseteq \omega }$ ${\displaystyle \omega \subseteq I}$ ${\displaystyle I=\omega }$

Оба эти метода создают системы, которые удовлетворяют аксиомам арифметики второго порядка , поскольку аксиома набора степеней позволяет нам количественно оценивать набор степеней , как в логике второго порядка . Таким образом, они оба полностью определяют изоморфные системы, и, поскольку они изоморфны относительно тождественного отображения , они фактически должны быть равны . ${\displaystyle \omega }$

Явно более слабая версия

В некоторых старых текстах используется явно более слабая версия аксиомы бесконечности, а именно:

${\displaystyle \exists x\,(\exists y\,(y\in x)\,\land \,\forall y(y\in x\,\rightarrow \,\exists z(z\in x\,\land \,y\subsetneq z)))\,.}$

Это говорит о том, что существует элемент x и для каждого элемента y из x существует другой элемент x , который является строгим надмножеством y . Это подразумевает, что x — бесконечное множество, не говоря особо о его структуре. Однако с помощью других аксиом ZF мы можем показать, что из этого следует существование ω. Во-первых, если мы возьмем набор степеней любого бесконечного множества x , то этот набор степеней будет содержать элементы, которые являются подмножествами x каждой конечной мощности (среди других подмножеств x ). Для доказательства существования этих конечных подмножеств может потребоваться либо аксиома разделения, либо аксиомы спаривания и объединения. Затем мы можем применить аксиому замены, чтобы заменить каждый элемент этого набора степеней x исходным порядковым числом той же мощности (или нулем, если такого порядкового номера нет). Результатом будет бесконечный набор ординалов. Затем мы можем применить к этому аксиому объединения, чтобы получить порядковый номер, больший или равный ω.

Независимость

Аксиому бесконечности нельзя доказать на основе других аксиом ZFC, если они непротиворечивы. (Чтобы понять почему, обратите внимание, что ZFC Con(ZFC − Infinity) и используйте ^вторую теорему Гёделя ^о неполноте . ⁾ ${\displaystyle \vdash }$

Отрицание аксиомы бесконечности не может быть выведено из остальных аксиом ZFC, если они непротиворечивы. (Это равносильно утверждению, что ZFC непротиворечив, если другие аксиомы непротиворечивы.) Мы ^{[ кто? ]} верю в это, но не могу этого доказать (если это правда).

Действительно, используя вселенную фон Неймана , мы можем построить модель ZFC − Infinity + (¬Infinity). Это класс наследственно конечных множеств с унаследованным отношением принадлежности. Обратите внимание, что если аксиома пустого множества не рассматривается как часть этой системы (поскольку ее можно вывести из ZF + Infinity), то пустая область также удовлетворяет ZFC − Infinity + ¬Infinity, поскольку все ее аксиомы универсально универсальны. количественно и, таким образом, тривиально удовлетворяется, если множества не существует. ${\displaystyle V_{\omega }\!}$

Мощность набора натуральных чисел aleph null ( ) обладает многими свойствами большого кардинала . Таким образом, аксиому бесконечности иногда считают первой большой кардинальной аксиомой , и наоборот, большие кардинальные аксиомы иногда называют ^{[ кем? ]} более сильные аксиомы бесконечности. ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Смотрите также

• Аксиомы Пеано
• Финитизм

Рекомендации

1. Цермело: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre , 1907, в: Mathematische Annalen 65 (1908), 261-281; Аксиома Unendlichen с. 266ф.

• Пол Халмош (1960) Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда. Перепечатано в 1974 году издательством Springer-Verlag. ISBN  0-387-90092-6 .
• Томас Джех (2003) Теория множеств: издание третьего тысячелетия, исправленное и расширенное . Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Кеннет Кунен (1980) Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 . 
• Хрбачек, Карел; Джех, Томас (1999). Введение в теорию множеств (3-е изд.). Марсель Деккер. ISBN 0-8247-7915-0.