Замыкание (математика)

В математике подмножество данного набора закрывается при операции с большим набором , если выполнение этой операции над членами подмножества всегда создает член этого подмножества. Например, натуральные числа замкнуты при сложении, но не при вычитании: 1 - 2 не является натуральным числом, хотя и 1, и 2 являются таковыми.

Аналогично, подмножество называется закрытым для набора операций, если оно закрыто для каждой из операций в отдельности.

Закрытие подмножества является результатом применения к подмножеству оператора замыкания . Замыкание подмножества при некоторых операциях — это наименьшее надмножество , закрывающееся при этих операциях. Его часто называют промежутком (например, линейным пролетом ) или сгенерированным набором .

Определения

Пусть $S$ — множество , оснащенное одним или несколькими методами создания элементов $S$ из других элементов $S.$ ^{[примечание 1]} Подмножество $X$ из $S$ называется замкнутым в соответствии с этими методами, если, когда все входные элементы находятся в $X$ , то все возможные результаты также находятся в $X.$ Иногда можно также сказать, что $X$ имеетзакрытие свойство .

Основное свойство замкнутых множеств, непосредственно вытекающее из определения, состоит в том, что каждое пересечение замкнутых множеств является замкнутым множеством. Отсюда следует, что для каждого подмножества $Y$ из $S$ существует наименьшее замкнутое подмножество $X$ из $S$ такое, что (это пересечение всех замкнутых подмножеств, содержащих $Y$ ). $В зависимости от$ контекста $X$ называется замыканием Y или множества $,$ порожденного или охватываемого Y . $Y\subseteq X$

Понятия замкнутых множеств и замыкания часто распространяются на любые свойства подмножеств, устойчивые при пересечении; то есть каждое пересечение подмножеств, имеющих это свойство, также имеет это свойство. Например, в замкнутом по Зарисскому множестве , также известном как алгебраическое множество , — это множество общих нулей семейства многочленов, а замыкание Зарисского множества $V$ точек — это наименьшее алгебраическое множество, содержащее $V.$ $\mathbb {C} ^{n},$

В алгебраических структурах

Алгебраическая структура — это набор операций , удовлетворяющих некоторым аксиомам . Эти аксиомы могут быть тождествами . Некоторые аксиомы могут содержать кванторы существования, в этом случае стоит добавить некоторые вспомогательные операции, чтобы все аксиомы стали тождествами или чисто универсально кванторными формулами. Подробности см . в разделе «Алгебраическая структура» . $\exists;$

В этом контексте, учитывая алгебраическую структуру $S$ , подструктура S — это подмножество, которое замкнуто относительно всех операций $S$ , включая вспомогательные операции, которые необходимы для того, чтобы избежать кванторов существования $.$ Подструктура — это алгебраическая структура того же типа, что и $S$ . Отсюда следует, что на конкретном примере, когда близость доказана, нет необходимости проверять аксиомы доказательства того, что подструктура является структурой одного типа.

Учитывая подмножество $X$ алгебраической структуры S $,$ замыкание $X$ является наименьшей подструктурой $S$ , которая замкнута относительно всех операций $S.$ В контексте алгебраических структур это замыкание обычно называется подструктурой, порожденной или натянутой X , и говорят, что $X$ $является$ порождающим набором подструктуры.

Например, группа — это набор с ассоциативной операцией , часто называемой умножением , с единичным элементом , так что каждый элемент имеет обратный элемент . Здесь вспомогательными операциями являются нулевая операция, приводящая к единичному элементу, и унарная операция инверсии. Подмножество группы, замкнутое относительно умножения и инверсии, также замкнуто относительно нулевой операции (т. е. содержит единицу) тогда и только тогда, когда оно непусто. Итак, непустое подмножество группы, замкнутое относительно умножения и обращения, — это группа, называемая подгруппой . Подгруппа, порожденная одним элементом, то есть замыкание этого элемента, называется циклической группой .

В линейной алгебре замыкание непустого подмножества векторного пространства (при операциях в векторном пространстве, то есть сложении и скалярном умножении) является линейной оболочкой этого подмножества. Согласно предыдущему общему результату, это векторное пространство, и можно легко доказать, что оно представляет собой множество линейных комбинаций элементов подмножества.

Подобные примеры можно привести почти для всех алгебраических структур, иногда с использованием некоторой специфической терминологии. Например, в коммутативном кольце замыкание одного элемента при идеальных операциях называется главным идеалом .

В топологии

В топологии и смежных отраслях соответствующая операция имеет пределы. Топологическое замыкание множества — это соответствующий оператор замыкания. Этот оператор характеризуют аксиомы замыкания Куратовского .

Бинарные отношения

Бинарное отношение на множестве $A$ можно определить как подмножество $R$ множества упорядоченных пар элементов $A$ . Это обозначение обычно используется для определения замыканий. Многие свойства или операции над отношениями могут использоваться для определения замыканий. Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных: $A\times A,$ $xRy$ $(x,y)\in R.$

Рефлексивность: Отношение $R$ на множестве $A$ является рефлексивным , если для каждого . Поскольку каждое пересечение рефлексивных отношений рефлексивно, это определяет замыкание. Таким образом, рефлексивное замыкание отношения $R$ есть $(x,x)\in R$ $x\in A.$ $R\чашка \{(x,x)\mid x\in A\}.$
Симметрия: Симметрия — это унарная операция , которая отображается в Отношение A является симметричным, если оно замкнуто относительно этой операции, а симметричное замыкание отношения $R$ — это его замыкание относительно этого отношения. $A\times A$ $(x,y)$ $(y,x).$
Транзитивность: Транзитивность определяется частичной бинарной операцией на этих отображениях и в . Отношение является транзитивным, если оно замкнуто при этой операции, а транзитивное закрытие отношения — это его закрытие при этой операции. $A\times A$ $(x,y)$ $(y,z)$ $(x,z).$

Предварительный порядок — это отношение, которое является рефлексивным и транзитивным. Отсюда следует, что рефлексивное транзитивное замыкание отношения — это наименьший предпорядок, содержащий его. Аналогично, рефлексивное транзитивное симметричное замыкание или замыкание эквивалентности отношения — это наименьшее отношение эквивалентности , которое его содержит.

Другие примеры

В теории матроидов замыкание X — это самое большое надмножество X , имеющее тот же ранг, что и X.
Транзитивное замыкание множества . _ ^[1]
Алгебраическое замыкание поля . _ ^[2]
Целое замыкание области целостности в содержащем ее поле .
Радикал идеала в коммутативном кольце .
В геометрии выпуклая оболочка множества S точек — это наименьшее выпуклое множество , подмножеством которого является S. ^[3]
В формальных языках замыкание Клини языка можно описать как набор строк, которые можно создать путем объединения нуля или более строк из этого языка.
В теории групп сопряженное замыкание или нормальное замыкание набора элементов группы — это наименьшая нормальная подгруппа, содержащая этот набор.
В математическом анализе и теории вероятностей замыкание набора подмножеств X при счетном числе операций над множествами называется σ-алгеброй, порожденной набором.

Оператор закрытия

В предыдущих разделах замыкания рассматривались для подмножеств данного множества. Подмножества множества образуют частично упорядоченное множество (poset) для включения . Операторы замыкания позволяют обобщить концепцию замыкания на любое частично упорядоченное множество.

Учитывая частично упорядоченное множество $S$ , частичный порядок которого обозначается знаком $\leq$ , оператор замыкания на $S$ представляет собой функцию , возрастающую ( для всех ), идемпотентную ( ) и монотонную ( ). ^[4] $C:S\to S$ ${\ displaystyle x \ leq C (x)}$ $x\in S$ ${\ displaystyle C (C (x)) = C (x)}$ ${\ displaystyle x \ leq y \ подразумевает C (x) \ leq C (y)}$

Эквивалентно, функция из $S$ в $S$ является оператором замыкания, если для всех ${\ displaystyle x \ leq C (y) \ if C (x) \ leq C (y)}$ $x,y\in S.$

Элемент $S$ замкнут, если он является замыканием самого себя, то есть, если По идемпотентности элемент замкнут тогда и только тогда, когда он является замыканием некоторого элемента $S$ . ${\ displaystyle x = C (x).}$

Примером оператора замыкания, который не работает с подмножествами, является функция потолка , которая отображает каждое действительное число $x$ в наименьшее целое число, не меньшее $x$ .

Оператор замыкания против закрытых множеств

Замыкание подмножеств данного множества может быть определено либо оператором замыкания, либо набором замкнутых множеств, который устойчив при пересечении и включает данное множество. Эти два определения эквивалентны.

Действительно, из определяющих свойств оператора замыкания $C$ следует, что пересечение замкнутых множеств замкнуто: если это пересечение замкнутых множеств, то оно должно содержать $X$ и содержаться в каждом. Это следует из определения пересечения. ${\textstyle X=\bigcap X_{i}}$ $C (X)$ $X_{i}.$ $C(X)=X$

И наоборот, если заданы замкнутые множества и каждое пересечение замкнутых множеств замкнуто, то можно определить оператор замыкания $C$ такой, который является пересечением замкнутых множеств, содержащих $X$ . $C (X)$

Эта эквивалентность остается верной для частично упорядоченных множеств со свойством наибольшей нижней границы , если заменить «закрытые множества» на «замкнутые элементы», а «пересечение» на «наибольшую нижнюю границу».

Примечания

^ Операции и ( частичные ) многомерные функции являются примерами таких методов. Если $S$ — топологическое пространство , предел последовательности элементов $S$ является примером, когда входных элементов бесконечное количество, а результат не всегда определен. Если $S$ — поле , корни в S $многочлена$ с коэффициентами из $S — еще один пример$ , когда результат может быть неуникален.