Аксиомы вероятности

Основы теории вероятностей

Стандартные аксиомы вероятности являются основой теории вероятностей, введенной русским математиком Андреем Колмогоровым в 1933 году. ^[1] Эти аксиомы остаются центральными и вносят непосредственный вклад в математику, физические науки и реальные случаи вероятности. ^[2]

Существует несколько других (эквивалентных) подходов к формализации вероятности. Байесовцы часто мотивируют аксиомы Колмогорова, ссылаясь вместо этого на теорему Кокса или аргументы голландской книги . ^{[3] [4]}

Аксиомы Колмогорова

Предположения относительно установки аксиом можно суммировать следующим образом: Пусть будет пространством меры , где есть вероятность некоторого события , и . Тогда есть вероятностное пространство , с пространством выборки , пространством событий и вероятностной мерой . ^[1] ${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$ ${\displaystyle P(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P(\Omega )=1}$ ${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$

Первая аксиома

Вероятность события — это неотрицательное действительное число:

${\displaystyle P(E)\in \mathbb {R} ,P(E)\geq 0\qquad \forall E\in F}$

где — пространство событий. Из этого следует (в сочетании со второй аксиомой), что всегда конечно, в отличие от более общей теории меры . Теории, которые присваивают отрицательную вероятность, ослабляют первую аксиому. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P(E)}$

Вторая аксиома

Это предположение единицы измерения : вероятность того, что произойдет хотя бы одно из элементарных событий во всем пространстве выборки, равна 1.

${\displaystyle P(\Omega )=1}$

Третья аксиома

Это предположение σ-аддитивности :

Любая счетная последовательность непересекающихся множеств (синонимичных взаимоисключающим событиям) удовлетворяет ${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$

${\displaystyle P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).}$

Некоторые авторы рассматривают только конечно-аддитивные вероятностные пространства, и в этом случае нужна просто алгебра множеств , а не σ-алгебра . ^[5] Распределения квазивероятности в общем случае ослабляют третью аксиому.

Последствия

Из аксиом Колмогорова можно вывести другие полезные правила для изучения вероятностей. Доказательства ^{[6] [7] [8]} этих правил представляют собой очень содержательную процедуру, иллюстрирующую силу третьей аксиомы и ее взаимодействие с предыдущими двумя аксиомами. Четыре непосредственных следствия и их доказательства показаны ниже:

Монотонность

${\displaystyle \quad {\text{if}}\quad A\subseteq B\quad {\text{then}}\quad P(A)\leq P(B).}$

Если A является подмножеством B или равно ему, то вероятность A меньше или равна вероятности B.

Доказательство монотонности^[6]

Для проверки свойства монотонности положим и , где и для . Из свойств пустого множества ( ) легко видеть, что множества попарно не пересекаются и . Следовательно, из третьей аксиомы получаем, что ${\displaystyle E_{1}=A}$ ${\displaystyle E_{2}=B\setminus A}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle E_{i}=\varnothing }$ ${\displaystyle i\geq 3}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots =B}$

${\displaystyle P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=P(B).}$

Так как по первой аксиоме левая часть этого уравнения представляет собой ряд неотрицательных чисел, и поскольку он сходится к , который конечен, то получаем и . ${\displaystyle P(B)}$ ${\displaystyle P(A)\leq P(B)}$ ${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

Вероятность пустого множества

${\displaystyle P(\varnothing )=0.}$

Во многих случаях это не единственное событие с вероятностью 0. ${\displaystyle \varnothing }$

Доказательство вероятности пустого множества

${\displaystyle P(\varnothing \cup \varnothing )=P(\varnothing )}$с , ${\displaystyle \varnothing \cup \varnothing =\varnothing }$

${\displaystyle P(\varnothing )+P(\varnothing )=P(\varnothing )}$применяя третью аксиому к левой части (примечание не пересекается само с собой), и так ${\displaystyle \varnothing }$

${\displaystyle P(\varnothing )=0}$путем вычитания из каждой стороны уравнения. ${\displaystyle P(\varnothing )}$

Правило дополнения

${\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega -A)=1-P(A)}$

Доказательство правила дополнения

При условии, что и являются взаимоисключающими и что : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{c}}$ ${\displaystyle A\cup A^{c}=\Omega }$

${\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(A)+P(A^{c})}$ ... (по аксиоме 3)

и, ... (по аксиоме 2) ${\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(\Omega )=1}$

${\displaystyle \Rightarrow P(A)+P(A^{c})=1}$

${\displaystyle \therefore P(A^{c})=1-P(A)}$

Числовая граница

Из свойства монотонности немедленно следует, что

${\displaystyle 0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F.}$

Доказательство числовой границы

Учитывая правило дополнения и аксиому 1 : ${\displaystyle P(E^{c})=1-P(E)}$ ${\displaystyle P(E^{c})\geq 0}$

${\displaystyle 1-P(E)\geq 0}$

${\displaystyle \Rightarrow 1\geq P(E)}$

${\displaystyle \therefore 0\leq P(E)\leq 1}$

Дальнейшие последствия

Еще одно важное свойство:

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}$

Это называется законом сложения вероятностей или правилом сумм. То есть вероятность того, что событие в A или B произойдет, равна сумме вероятности события в A и вероятности события в B за вычетом вероятности события, которое есть и в A , и в B. Доказательство этого следующее:

Во-первых,

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A)}$. (по Аксиоме 3)

Так,

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus (A\cap B))}$(к ). ${\displaystyle B\setminus A=B\setminus (A\cap B)}$

Также,

${\displaystyle P(B)=P(B\setminus (A\cap B))+P(A\cap B)}$

и исключение из обоих уравнений дает нам желаемый результат. ${\displaystyle P(B\setminus (A\cap B))}$

Распространением закона сложения на любое число множеств является принцип включения-исключения .

Подстановка B в дополнение A ^c ​​к A в законе сложения дает

${\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)}$

То есть вероятность того, что какое-либо событие не произойдет (или дополнение к событию ), равна 1 минус вероятность того, что оно произойдет.

Простой пример: подбрасывание монеты.

Рассмотрим подбрасывание одной монеты и предположим, что монета упадет либо орлом (H), либо решкой (T) (но не обоими). ​​Не делается никаких предположений относительно того, является ли монета честной или зависит ли какое-либо смещение от того, как подбрасывается монета. ^[9]

Мы можем определить:

${\displaystyle \Omega =\{H,T\}}$

${\displaystyle F=\{\varnothing ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}}$

Аксиомы Колмогорова подразумевают, что:

${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

Вероятность того, что не выпадет ни орёл , ни решка, равна 0.

${\displaystyle P(\{H,T\}^{c})=0}$

Вероятность выпадения орла или решки равна 1.

${\displaystyle P(\{H\})+P(\{T\})=1}$

Сумма вероятности выпадения орла и вероятности выпадения решки равна 1.

Смотрите также

• Алгебра Бореля  – Класс математических множествPages displaying short descriptions of redirect targets
• Условная вероятность  — вероятность наступления события при условии, что другое событие уже произошло.
• Полностью вероятностный дизайн
• Интуитивная статистика  – когнитивный феномен, при котором организмы используют данные для обобщений и прогнозов относительно мира.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Квазивероятность  – понятие в статистикеPages displaying short descriptions of redirect targets
• Теория множеств  – раздел математики, изучающий множества.
• σ-алгебра  – Алгебраическая структура алгебры множествPages displaying short descriptions of redirect targets

Ссылки

1. Колмогоров, Андрей (1950) [1933]. Основы теории вероятностей. Нью-Йорк, США: Chelsea Publishing Company.
2. Олдос, Дэвид. «В чем значение аксиом Колмогорова?». Дэвид Олдос . Получено 19 ноября 2019 г.
3. Кокс, РТ (1946). «Вероятность, частота и разумное ожидание». Американский журнал физики . 14 (1): 1–10. Bibcode : 1946AmJPh..14....1C. doi : 10.1119/1.1990764.
4. Кокс, РТ (1961). Алгебра вероятного вывода . Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джона Хопкинса.
5. Hájek, Alan (28 августа 2019 г.). «Интерпретации вероятности». Стэнфордская энциклопедия философии . Получено 17 ноября 2019 г.
6. Ross, Sheldon M. (2014). Первый курс по вероятности (Девятое изд.). Upper Saddle River, Нью-Джерси. стр. 27, 28. ISBN 978-0-321-79477-2. OCLC  827003384.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
7. Джерард, Дэвид (9 декабря 2017 г.). "Доказательства из аксиом" (PDF) . Получено 20 ноября 2019 г.
8. Джексон, Билл (2010). «Вероятность (Конспект лекций — неделя 3)» (PDF) . Школа математики, Лондонский университет королевы Марии . Получено 20 ноября 2019 г. .
9. Диаконис, Перси; Холмс, Сьюзан; Монтгомери, Ричард (2007). «Динамическое смещение в подбрасывании монеты» (PDF) . Обзор SIAM . 49 (211–235): 211–235. Bibcode :2007SIAMR..49..211D. doi :10.1137/S0036144504446436 . Получено 5 января 2024 г. .

Дальнейшее чтение

• ДеГрут, Моррис Х. (1975). Вероятность и статистика. Чтение: Addison-Wesley. стр. 12–16. ISBN 0-201-01503-X.
• МакКорд, Джеймс Р.; Морони, Ричард М. (1964). «Аксиоматическая вероятность» . Введение в теорию вероятностей . Нью-Йорк: Macmillan. С. 13–28.
• Формальное определение вероятности в системе Мицара и список формально доказанных теорем о ней.