Группа (алгебра)

В математике полоса (также называемая идемпотентной полугруппой ) — это полугруппа , в которой каждый элемент идемпотентен ( другими словами, равен своему квадрату). Полосы были впервые изучены и названы AH Clifford (1954).

Решетка многообразий полос была описана независимо в начале 1970 - х годов Бирюковым, Феннемором и Герхардом. ^[1]Полурешетки , лево-нулевые полосы , право-нулевые полосы , прямоугольные полосы , нормальные полосы , лево -регулярные полосы , право-регулярные полосы и регулярные полосы являются конкретными подклассами полос, которые лежат вблизи основания этой решетки и которые представляют особый интерес; они кратко описаны ниже.

Разновидности групп

Класс полос образует многообразие, если он замкнут относительно образования подполугрупп, гомоморфных образов и прямых произведений . Каждое многообразие полос может быть определено одним определяющим тождеством . ^[2]

Полурешетки

Полурешетки — это в точности коммутативные полосы; то есть это полосы, удовлетворяющие уравнению

$xy = yx$ для всех $x$ и $y$ .

Полосы индуцируют предпорядок , который может быть определен как . Требование коммутативности подразумевает, что этот предпорядок становится (полурешеточным) частичным порядком . $x\leq y$ $xy=x$

Нулевые полосы

Полоса слева-ноль — это полоса, удовлетворяющая уравнению

$ху = х$ ,

откуда ее таблица Кэли имеет постоянные строки.

Симметрично, полоса справа-ноль удовлетворяет

$ху = у$ ,

так что таблица Кэли имеет постоянные столбцы.

Прямоугольные полосы

Прямоугольная полоса — это полоса $S,$ которая удовлетворяет условию

$xyx = x$ для всех $x, y \in S$ , или, что эквивалентно,
$xyz = xz$ для всех $x, y, z \in S$ ,

В любой полугруппе первого тождества достаточно, чтобы охарактеризовать нигде не коммутативную полугруппу , доказательство этого следует.

Пусть полугруппа нигде не коммутативна. В любой гибкой магме каждый элемент коммутирует со своим квадратом. Так что в любой нигде не коммутативной полугруппе каждый элемент идемпотентен, что означает, что это полоса. Таким образом, в любой нигде не коммутативной полугруппе $(аа)а=а(аа)$

{\ displaystyle x (xyx) = (xx) yx = xyx = xy (xx) = (xyx) x}

Итак, коммутирует с и, таким образом, что является первой характеристической тождественностью. $x$ $xyx$ $xyx=x$

Теперь предположим, что первое тождество выполняется в полугруппе. Это тождество подразумевает идемпотентность: так и также следующая импликация выполняется в любой полугруппе: . Так что эта полугруппа, которая является полосой, на самом деле нигде не коммутативная полугруппа: $а=ааа$ $аа=аааа=а(аа)а=а$ $xy=yx\подразумевает (xy)(yx)=(yx)(xy)$

xy=yx\implies x=xyx=x(yy)x=(xy)(yx)=(yx)(xy)=y(xx)y=yxy=y

В любой полугруппе первое тождество также влечет второе, поскольку $xyz = xy (zxz) = (x (yz) x) z = xz$ .

Идемпотенты прямоугольной полугруппы образуют подполосу, которая является прямоугольной полосой, но прямоугольная полугруппа может иметь элементы, которые не являются идемпотентными. В полосе второе тождество, очевидно, подразумевает первое, но это требует идемпотентности. Существуют полугруппы, которые удовлетворяют второму тождеству, но не являются полосами и не удовлетворяют первому.

Существует полная классификация прямоугольных полос. Для произвольных наборов $I$ и $J$ можно определить операцию магмы на $I \times J$ , установив

(i,j)\cdot (k,\ell )=(i,\ell )\,

Эта операция ассоциативна, поскольку для любых трех пар $(i x, j x)$ , $(i y, j y)$ , $(i z, j z)$ мы имеем

((i_{x},j_{x})\cdot (i_{y},j_{y}))\cdot (i_{z},j_{z})=(i_{x},j_{y})\cdot (i_{z},j_{z})=(i_{x},j_{z})=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{z},j_{z})

и также

(i_{x},j_{x})\cdot ((i_{y},j_{y})\cdot (i_{z},j_{z}))=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{y},j_{z})=(i_{x},j_{z})=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{z},j_{z})

Эти две тождественности магмы $(xy)z = xz$ и $x(yz) = xz$ вместе эквивалентны второй характеристической тождественности, приведенной выше.

Оба вместе также подразумевают ассоциативность $(xy)z = x(yz)$ . Любая магма, которая удовлетворяет этим двум прямоугольным тождествам и идемпотентности, является, следовательно, прямоугольной полосой. Таким образом, любая магма, которая удовлетворяет обоим характерным тождествам (четырем отдельным тождествам магмы), является полосой и, следовательно, прямоугольной полосой.

Операция магмы, определенная выше, представляет собой прямоугольную полосу, поскольку для любой пары $(i, j)$ мы имеем $(i, j) \cdot (i, j) = (i, j),$ поэтому каждый элемент идемпотентен, и первое характеристическое тождество следует из второго вместе с идемпотентностью.

Но магма, которая удовлетворяет только тождествам для первой характеристики и идемпотентности, не обязательно должна быть ассоциативной, поэтому вторая характеристика следует только из первой в полугруппе.

Любая прямоугольная полоса изоморфна одной из приведенных выше форм (либо пуста, либо выбирается любой элемент , а затем ( ) определяет изоморфизм ). Лево-нулевые и право-нулевые полосы являются прямоугольными полосами, и фактически каждая прямоугольная полоса изоморфна прямому произведению лево-нулевой полосы и право-нулевой полосы. Все прямоугольные полосы простого порядка являются нулевыми полосами, как левыми, так и правыми. Прямоугольная полоса называется чисто прямоугольной, если она не является лево-нулевой или право-нулевой полосой. ^[3] $S$ $e\in S$ $s\mapsto (se,es)$ $S\cong Se\times eS$

На категориальном языке можно сказать, что категория непустых прямоугольных полос эквивалентна , где — категория с непустыми множествами в качестве объектов и функциями в качестве морфизмов. Это подразумевает не только то, что каждая непустая прямоугольная полоса изоморфна той, которая происходит из пары множеств, но и то, что эти множества однозначно определены с точностью до канонического изоморфизма, и все гомоморфизмы между полосами происходят из пар функций между множествами. ^[4] Если множество $I$ пусто в приведенном выше результате, то прямоугольная полоса $I$ $\times$ $J$ независима от $J$ , и наоборот. Вот почему приведенный выше результат дает только эквивалентность между непустыми прямоугольными полосами и парами непустых множеств. $\mathrm {Set} _{\neq \emptyset }\times \mathrm {Set} _{\neq \emptyset }$ $\mathrm {Set} _{\neq \emptyset }$

Прямоугольные полосы также являются $T$ -алгебрами, где $T$ — монада на Set с $T (X)= X \times X$ , $T (f)= f \times f$ , являющаяся диагональным отображением , и . $\eta _{X}$ $X\to X\times X$ $\mu _{X}((x_{11},x_{12}),(x_{21},x_{22}))=(x_{11},x_{22})$

Нормальные полосы

Нормальная полоса — это полоса $S,$ удовлетворяющая

$zxyz = zyxz$ длявсех $x$ , $y$ и $z \in S.$

Мы также можем сказать, что нормальная полоса — это полоса $S,$ удовлетворяющая

$axyb = ayxb$ длявсех $a$ , $b$ , $x$ и $y \in S.$

Это то же самое уравнение, которое используется для определения срединных магм , поэтому нормальную полосу также можно назвать срединной полосой, а нормальные полосы являются примерами срединных магм. ^[3]

Лево-регулярные полосы

Лево -регулярная полоса — это полоса $S,$ удовлетворяющая

$xyx = xy$ для всех $x$ , $y$ $\in$ $S$

Если мы возьмем полугруппу и определим $a \leq b$ , если $ab = b$ , то мы получим частичное упорядочение тогда и только тогда, когда эта полугруппа является леворегулярной полосой. Таким образом, леворегулярные полосы естественным образом появляются при изучении частично упорядоченных множеств . ^[5]

Право-регулярные полосы

Право -регулярная полоса — это полоса $S,$ удовлетворяющая условию

$xyx = yx$ для всех $x, y \in S$

Любая право-регулярная полоса становится лево-регулярной полосой, используя противоположное произведение. Действительно, каждое разнообразие полос имеет «противоположную» версию; это приводит к симметрии отражения на рисунке ниже.

Регулярные группы

Обычная полоса — это полоса $S,$ удовлетворяющая

$zxzyz = zxyz$ для всех $x, y, z \in S$

Решетка разновидностей

При частичном упорядочении включением многообразия полос естественным образом образуют решетку , в которой встреча двух многообразий является их пересечением, а соединение двух многообразий является наименьшим многообразием, содержащим их оба. Полная структура этой решетки известна; в частности, она счетна , полна и дистрибутивна . ^[1] Подрешетка, состоящая из 13 многообразий регулярных полос, показана на рисунке. Многообразия левых нулевых полос, полурешеток и правых нулевых полос являются тремя атомами (нетривиальными минимальными элементами) этой решетки.

Каждое разнообразие полос, показанное на рисунке, определяется только одной идентичностью. Это не совпадение: на самом деле, каждое разнообразие полос может быть определено одной идентичностью. ^[1]

Смотрите также

Булево кольцо , кольцо, в котором каждый элемент (мультипликативно) идемпотент
Нигде не коммутативная полугруппа
Специальные классы полугрупп
Православная полугруппа
Обратимый клеточный автомат § Одномерные автоматы

Примечания

^ abc Бирюков (1970); Феннемор (1970); Герхард (1970); Герхард и Петрич (1989).
^ Феннемор (1970).
^ ab Ямада (1971).
^ Хоуи (1995).
^ Браун (2000).

Ссылки

Бирюков, А.П. (1970), «Многообразия идемпотентных полугрупп», Алгебра и логика , 9 (3): 153–164, doi :10.1007/BF02218673.
Браун, Кен (2000), «Полугруппы, кольца и цепи Маркова», J. Theoret. Probab. , 13 : 871–938, arXiv : math/0006145 , Bibcode : 2000math......6145B.
Клиффорд, Альфред Хоблицелле (1954), «Полосы полугрупп», Труды Американского математического общества , 5 : 499–504, doi : 10.1090/S0002-9939-1954-0062119-9 , MR 0062119.
Клиффорд, Альфред Хоблицелле ; Престон, Гордон Бэмфорд (1972), Алгебраическая теория полугрупп , Москва: Мир.
Феннемор, Чарльз (1970), «Все разновидности полос», Semigroup Forum , 1 (1): 172–179, doi :10.1007/BF02573031.
Герхард, JA (1970), «Решетка эквациональных классов идемпотентных полугрупп», Журнал алгебры , 15 (2): 195–224, doi :10.1016/0021-8693(70)90073-6, hdl : 10338.dmlcz/128238.
Герхард, JA; Петрич, Марио (1989), «Повторный взгляд на многообразия полос», Труды Лондонского математического общества , 3 : 323–350, doi :10.1112/plms/s3-58.2.323.
Хауи, Джон М. (1995), Основы теории полугрупп , Oxford U. Press, ISBN 978-0-19-851194-6.
Надь, Аттила (2001), Специальные классы полугрупп , Дордрехт: Kluwer Academic Publishers , ISBN 0-7923-6890-8.
Ямада, Миюки (1971), «Заметка об исключительных полугруппах», Semigroup Forum , 3 (1): 160–167, doi :10.1007/BF02572956.