Система соседства

В топологии и смежных областях математики система окрестностей , полная система окрестностей ^[1] или фильтр окрестностей для точки в топологическом пространстве — это совокупность всех окрестностей ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Определения

Окрестность точки или множества

АнОткрытая окрестность точки (илиподмножества^{[примечание 1]})в топологическом пространстве— это любоеоткрытое подмножествокотороесодержит A ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x.}$окрестность в— ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$это любое подмножество, которое содержитнекоторуюоткрытую окрестность; явно,является окрестностьювтогда и только тогда, когдасуществует некоторое открытое подмножествос.^[2][3] Эквивалентно, окрестность —это любое множество, которое содержитв своейтопологической внутренности. ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U\subseteq N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Важно отметить, что «окрестность» не обязательно должна быть открытым множеством; те окрестности, которые также являются открытыми множествами, называются «открытыми окрестностями». ^{[примечание 2]} Аналогично, окрестность, которая также является замкнутым (соответственно, компактным , связным и т. д.) множеством, называетсязакрытое соседство (соответственно,компактный район ,Связанные соседства и т. д.). Существует множество других типов соседств, которые используются в топологии и смежных областях, таких какфункциональный анализ. Семейство всех соседств, имеющих определенное «полезное» свойство, часто образует базис соседств, хотя во многих случаях эти соседства не обязательно являются открытыми.локально компактные пространства— это те пространства, которые в каждой точке имеют базис соседств, состоящий полностью из компактных множеств.

Фильтр по району

Система соседства для точки (или непустого подмножества) — это фильтр, называемый фильтром соседства для Фильтр соседства для точки такой же, как фильтр соседства для набора одиночек ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}.}$

На основе соседства

Ана основе соседства илина местном уровне (илирайонная база илилокальная база ) для точкиявляетсябазой фильтрафильтра соседства; это означает, что это подмножество такое, что для всехсуществует некотороетакое, что^[3] То есть, для любой окрестностимы можем найти окрестностьв базисе соседства, которая содержится в ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$$ ${\displaystyle V\in {\mathcal {N}}(x),}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq V.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V.}$

Эквивалентно, является локальным базисом в тогда и только тогда, когда фильтр соседства может быть восстановлен в том смысле, что выполняется следующее равенство: ^[4] Семейство является базисом соседства для тогда и только тогда, когда является конфинальным подмножеством относительно частичного порядка (важно, что этот частичный порядок является отношением надмножества , а не отношением подмножества ). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=\left\{V\subseteq X~:~B\subseteq V{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\right\}\!\!\;.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {N}}(x),\supseteq \right)}$ ${\displaystyle \supseteq }$

Соседство суббазис

АПодбазис окрестностей в— это семействоподмножеств,каждое из которых содержиттакое, что совокупность всех возможных конечныхпересеченийэлементовобразует базис окрестностей в ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle x.}$

Примеры

Если имеет обычную евклидову топологию , то окрестностями являются все те подмножества , для которых существует некоторое действительное число , такое что Например, все следующие множества являются окрестностями в : но ни одно из следующих множеств не является окрестностью : где обозначает рациональные числа . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle N\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (-r,r)\subseteq N.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle (-2,2),\;[-2,2],\;[-2,\infty ),\;[-2,2)\cup \{10\},\;[-2,2]\cup \mathbb {Q} ,\;\mathbb {R} }$$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \{0\},\;\mathbb {Q} ,\;(0,2),\;[0,2),\;[0,2)\cup \mathbb {Q} ,\;(-2,2)\setminus \left\{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Если — открытое подмножество топологического пространства , то для каждого — окрестность в Более общем смысле, если — любое множество и обозначает топологическую внутренность в , то — окрестность (в ) каждой точки и, более того, не является окрестностью никакой другой точки. Иными словами, является окрестностью точки тогда и только тогда, когда ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u\in U,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N.}$

Соседские базы

В любом топологическом пространстве система окрестностей для точки также является базисом окрестностей для этой точки. Множество всех открытых окрестностей в точке образует базис окрестностей в этой точке. Для любой точки в метрическом пространстве последовательность открытых шаров вокруг с радиусом образует счетный базис окрестностей . Это означает, что каждое метрическое пространство является счетно-счётным . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{B_{1/n}:n=1,2,3,\dots \right\}}$

Для пространства с недискретной топологией система окрестностей для любой точки содержит только все пространство, . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=\{X\}}$

В слабой топологии на пространстве мер на пространстве база окрестностей задается соотношением, где – непрерывные ограниченные функции от до действительных чисел, а – положительные действительные числа. ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle \left\{\mu \in {\mathcal {M}}(E):\left|\mu f_{i}-\nu f_{i}\right|<r_{i},\,i=1,\dots ,n\right\}}$$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}}$

Полунормированные пространства и топологические группы

В полунормированном пространстве , то есть векторном пространстве с топологией, индуцированной полунормой , все системы окрестностей могут быть построены путем переноса системы окрестностей относительно начала координат, $${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)={\mathcal {N}}(0)+x.}$$

Это происходит потому, что, по предположению, сложение векторов является отдельно непрерывным в индуцированной топологии. Таким образом, топология определяется ее системой соседства в начале координат. В более общем смысле, это остается верным всякий раз, когда пространство является топологической группой или топология определяется псевдометрикой .

Характеристики

Предположим и пусть — базис окрестности для в Превратим в направленное множество , частично упорядочив его с помощью включения надмножества Тогда не является окрестностью в тогда и только тогда, когда существует -индексированная сеть в такая, что для любого (из чего следует, что в ). ${\displaystyle u\in U\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \,\supseteq .}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}}$ ${\displaystyle X\setminus U}$ ${\displaystyle x_{N}\in N\setminus U}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}\to u}$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• База (топология)  – набор открытых множеств, используемых для определения топологии.
• Фильтр (теория множеств)  – Семейство множеств, представляющих «большие» множества
• Фильтры в топологии  – использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  – векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Окрестность (математика)  – открытое множество, содержащее заданную точку.
• Подбаза  – набор подмножеств, которые генерируют топологию.
• Трубчатая окрестность  – окрестность подмногообразия, гомеоморфная нормальному расслоению этого подмногообразия.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Ссылки

1. Обычно «окрестность» относится к окрестностям точки , и это будет четко указано, если вместо этого оно относится к окрестностям множества. Так, например, такое утверждение, как «окрестность в », которое не относится к какой-либо конкретной точке или множеству, следует, если не указано иное, понимать как «окрестность некоторой точки в » ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Большинство авторов не требуют, чтобы окрестности были открытыми множествами, поскольку написание слова «открытый» перед словом «окрестность», когда это свойство необходимо, не слишком обременительно, а также поскольку требование, чтобы они всегда были открытыми, также значительно ограничило бы полезность таких терминов, как «закрытая окрестность» и «компактная окрестность».

1. Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Довер. стр. 41. ISBN 0-486-66352-3.
2. Бурбаки 1989, стр. 17–21.
3. Willard 2004, стр. 31–37.
4. Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Addison-Wesley Publishing. ISBN 9780201087079.(См. Главу 2, Раздел 4)

Библиография

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для студентов по математике. Перевод Бербериана, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.