Базис (линейная алгебра)

Набор векторов, используемых для определения координат

Один и тот же вектор может быть представлен в двух разных базисах (фиолетовая и красная стрелки).

В математике множество B векторов в векторном пространстве V называется базисом ( мн.ч .: базисы ), если каждый элемент V может быть записан единственным образом как конечная линейная комбинация элементов B. Коэффициенты этой линейной комбинации называются компонентами или координатами вектора относительно B. Элементы базиса называются базисные векторы .

Эквивалентно, множество B является базисом, если его элементы линейно независимы и каждый элемент V является линейной комбинацией элементов B. ^[1] Другими словами, базис является линейно независимым охватывающим множеством .

В векторном пространстве может быть несколько базисов, однако все базисы имеют одинаковое количество элементов, называемое размерностью векторного пространства.

В этой статье рассматриваются в основном конечномерные векторные пространства. Однако многие принципы справедливы и для бесконечномерных векторных пространств.

Базисные векторы находят применение при изучении кристаллических структур и систем отсчета .

Определение

Базис B векторного пространства V над полем F (например, действительные числа R или комплексные числа C ) — это линейно независимое подмножество V , охватывающее V. Это означает, что подмножество B пространства V является базисом, если оно удовлетворяет двум следующим условиям :

линейная независимость

для каждого конечного подмножества B , если для некоторого из F , то ; ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{m}\}}$ ${\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{m}\mathbf {v} _{m}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle c_{1},\dotsc ,c_{m}}$ ${\displaystyle c_{1}=\cdots =c_{m}=0}$

охватывающее свойство

для каждого вектора v в V можно выбрать в F и в B такие, что . ${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}}$

Скаляры называются координатами вектора v относительно базиса B , и по первому свойству они определяются однозначно. ${\displaystyle a_{i}}$

Векторные пространства, имеющие конечный базис, называются конечномерными . В этом случае конечное подмножество можно взять за само B для проверки линейной независимости в приведенном выше определении.

Часто бывает удобно или даже необходимо иметь упорядочение базисных векторов, например, при обсуждении ориентации или когда рассматриваются скалярные коэффициенты вектора относительно базиса без явного указания базисных элементов. В этом случае упорядочение необходимо для связывания каждого коэффициента с соответствующим базисным элементом. Это упорядочение можно выполнить путем нумерации базисных элементов. Чтобы подчеркнуть, что порядок был выбран, говорят об упорядоченном базисе , который, следовательно, является не просто неструктурированным набором , а последовательностью , индексированным семейством или чем-то подобным; см. § Упорядоченные базисы и координаты ниже.

Примеры

На этой картинке показан стандартный базис в R ² . Синий и оранжевый векторы являются элементами базиса; зеленый вектор может быть задан через базисные векторы, и поэтому линейно зависит от них.

Множество R ² упорядоченных пар действительных чисел является векторным пространством относительно операций покомпонентного сложения и скалярного умножения , где — любое действительное число. Простой базис этого векторного пространства состоит из двух векторов e ₁ = (1, 0) и e ₂ = (0, 1) . Эти векторы образуют базис (называемый стандартным базисом ), поскольку любой вектор v = ( a , b ) из R ² может быть однозначно записан как Любая другая пара линейно независимых векторов из R ² , такая как (1, 1) и (−1, 2) , также образует базис R ² . $${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$$ $${\displaystyle \lambda (a,b)=(\lambda a,\lambda b),}$$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \mathbf {v} =a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}.}$$

В более общем случае, если F является полем , множество n -кортежей элементов F является векторным пространством для аналогично определенного сложения и скалярного умножения. Пусть будет n -кортежем со всеми компонентами, равными 0, за исключением i -го, который равен 1. Тогда является базисом, который называется стандартным базисом ${\displaystyle F^{n}}$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)}$$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle F^{n},}$ ${\displaystyle F^{n}.}$

Другой пример — полиномиальные кольца . Если F — поле, то совокупность F [ X ] всех полиномов от одного неопределенного X с коэффициентами в F — это векторное пространство F. Одним из базисов этого пространства является мономиальный базис B , состоящий из всех мономов : Любой набор полиномов, такой, что существует ровно один полином каждой степени (например, базисные полиномы Бернштейна или полиномы Чебышева ), также является базисом. (Такой набор полиномов называется полиномиальной последовательностью .) Но существует также много базисов для F [ X ], которые не имеют этой формы. $${\displaystyle B=\{1,X,X^{2},\ldots \}.}$$

Характеристики

Многие свойства конечных базисов вытекают из леммы Штейница об замене , которая гласит, что для любого векторного пространства V , заданного конечным остовным множеством S и линейно независимым множеством L из n элементов V , можно заменить n хорошо выбранных элементов S элементами L , чтобы получить остовное множество, содержащее L , имеющее другие его элементы в S , и имеющее то же количество элементов, что и S .

Большинство свойств, вытекающих из леммы Штейница об обмене, остаются верными, когда нет конечного остовного множества, но их доказательства в бесконечном случае обычно требуют аксиомы выбора или ее более слабой формы, такой как лемма об ультрафильтре .

Если V — векторное пространство над полем F , то:

• Если L — линейно независимое подмножество остовного множества S ⊆ V , то существует базис B такой, что $${\displaystyle L\subseteq B\subseteq S.}$$
• V имеет базис (это предыдущее свойство, при этом L — пустое множество , а S = V ).
• Все основания V имеют одинаковую мощность , которая называется размерностью V. Это теорема о размерности .
• Генерирующий набор S является базисом V тогда и только тогда , когда он минимален, то есть никакое собственное подмножество S не является также порождающим набором V.
• Линейно независимое множество L является базисом тогда и только тогда, когда оно максимально, то есть не является собственным подмножеством никакого линейно независимого множества.

Если V — векторное пространство размерности n , то:

• Подмножество V с n элементами является базисом тогда и только тогда, когда оно линейно независимо.
• Подмножество V с n элементами является базисом тогда и только тогда, когда оно является охватывающим множеством V.

Координаты

Пусть V — векторное пространство конечной размерности n над полем F , и — базис V . По определению базиса, каждый v в V может быть записан единственным образом как , где коэффициенты являются скалярами (то есть элементами F ), которые называются координатами v над B . Однако, если говорить о наборе коэффициентов, то теряется соответствие между коэффициентами и элементами базиса, и несколько векторов могут иметь один и тот же набор коэффициентов. Например, и имеют один и тот же набор коэффициентов {2, 3} , и различны. Поэтому часто удобно работать с упорядоченным базисом ; обычно это делается путем индексации элементов базиса первыми натуральными числами. Тогда координаты вектора образуют последовательность , аналогично индексированную, и вектор полностью характеризуется последовательностью координат. Упорядоченный базис, особенно при использовании в сочетании с началом координат , также называется координатной системой или просто системой (например, декартовой системой координат или аффинной системой координат ). $${\displaystyle B=\{\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\}}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} =\lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {b} _{n},}$$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle 3\mathbf {b} _{1}+2\mathbf {b} _{2}}$ ${\displaystyle 2\mathbf {b} _{1}+3\mathbf {b} _{2}}$

Пусть, как обычно, будет множеством n -кортежей элементов F . Это множество является F -векторным пространством, сложение и скалярное умножение которого определены покомпонентно. Отображение является линейным изоморфизмом из векторного пространства на V . Другими словами, является координатным пространством V , а n -кортеж является координатным вектором v . ${\displaystyle F^{n}}$ $${\displaystyle \varphi :(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\mapsto \lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {b} _{n}}$$ ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle \varphi ^{-1}(\mathbf {v} )}$

Обратный образ по является n -кортежем , все компоненты которого равны 0, за исключением i -го, который равен 1. Образуют упорядоченный базис по , который называется его стандартным базисом или каноническим базисом . Упорядоченный базис B является образом по канонического базиса по . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle F^{n}}$

Из сказанного выше следует, что каждый упорядоченный базис является образом посредством линейного изоморфизма канонического базиса , и что каждый линейный изоморфизм из на V может быть определен как изоморфизм, который отображает канонический базис на заданный упорядоченный базис V . Другими словами, это эквивалентно определению упорядоченного базиса V или линейного изоморфизма из на V . ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle F^{n}}$

Изменение основы

Пусть V — векторное пространство размерности n над полем F . При наличии двух (упорядоченных) базисов и V часто бывает полезно выразить координаты вектора x относительно через координаты относительно Это можно сделать с помощью формулы смены базиса , которая описана ниже. Индексы «старый» и «новый» были выбраны, поскольку принято ссылаться на и как на старый базис и новый базис соответственно. Полезно описывать старые координаты через новые, поскольку, как правило, имеются выражения, включающие старые координаты, и если требуется получить эквивалентные выражения через новые координаты; это получается путем замены старых координат их выражениями через новые координаты. ${\displaystyle B_{\text{old}}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$ ${\displaystyle B_{\text{new}}=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }.}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }}$

Обычно новые базисные векторы задаются их координатами относительно старого базиса, то есть, если и являются координатами вектора x относительно старого и нового базиса соответственно, то формула смены базиса имеет вид для i = 1, ..., n . $${\displaystyle \mathbf {w} _{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}.}$$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$ $${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},}$$

Эту формулу можно кратко записать в матричной записи. Пусть A — матрица , а — векторы-столбцы координат v в старом и новом базисе соответственно, тогда формула для изменения координат будет ${\displaystyle a_{i,j}}$ $${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle X=AY.}$$

Формулу можно доказать, рассмотрев разложение вектора x по двум основаниям: одно имеет и $${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {v} _{i},}$$ $${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{j=1}^{n}y_{j}\mathbf {w} _{j}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}{\biggr )}\mathbf {v} _{i}.}$$

Формула смены базиса получается из единственности разложения вектора по базису, здесь ; то есть для i = 1, ..., n . ${\displaystyle B_{\text{old}}}$ $${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},}$$

Связанные понятия

Бесплатный модуль

Если заменить поле, встречающееся в определении векторного пространства, на кольцо , то получится определение модуля . Для модулей линейная независимость и охватывающие множества определяются точно так же, как для векторных пространств, хотя « генерирующий набор » используется чаще, чем «охватывающий набор».

Как и для векторных пространств, базис модуля — это линейно независимое подмножество, которое также является порождающим множеством. Главное отличие от теории векторных пространств состоит в том, что не каждый модуль имеет базис. Модуль, имеющий базис, называется свободным модулем . Свободные модули играют фундаментальную роль в теории модулей, поскольку они могут использоваться для описания структуры несвободных модулей посредством свободных резолюций .

Модуль над целыми числами — это то же самое, что и абелева группа . Таким образом, свободный модуль над целыми числами также является свободной абелевой группой. Свободные абелевы группы обладают определенными свойствами, которые не свойственны модулям над другими кольцами. В частности, каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой группой, и если G является подгруппой конечно порождённой свободной абелевой группы H (то есть абелевой группы, имеющей конечный базис), то существует базис H и целое число 0 ≤ k ≤ n, такое что является базисом G для некоторых ненулевых целых чисел . Подробности см. в разделе Свободная абелева группа § Подгруппы . ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1},\ldots ,a_{k}\mathbf {e} _{k}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$

Анализ

В контексте бесконечномерных векторных пространств над действительными или комплексными числами терминБазис Гамеля (названный в честьГеорга Гамеля^[2]) илиалгебраический базисмогут использоваться для обозначения базиса, как определено в этой статье. Это делается для того, чтобы провести различие с другими понятиями «базиса», которые существуют, когда бесконечномерные векторные пространства наделяются дополнительной структурой. Наиболее важными альтернативами являютсяортогональные базисынагильбертовых пространствах,базисы Шаудераибазисы Маркушевичананормированных линейных пространствах. В случае действительных чиселR,рассматриваемых как векторное пространство над полемQрациональных чисел, базисы Гамеля несчетны и имеют, в частности,мощностьконтинуума, которая являетсякардинальным числом ,где(алеф-ноль) является наименьшим бесконечным кардиналом, кардиналом целых чисел. ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Общей чертой других понятий является то, что они позволяют брать бесконечные линейные комбинации базисных векторов для генерации пространства. Это, конечно, требует, чтобы бесконечные суммы были осмысленно определены на этих пространствах, как это имеет место для топологических векторных пространств – большого класса векторных пространств, включая, например, пространства Гильберта , Банаха или Фреше .

Предпочтение других типов базисов для бесконечномерных пространств оправдано тем фактом, что базис Гамеля становится «слишком большим» в банаховых пространствах: если X — бесконечномерное нормированное векторное пространство, которое является полным (т. е. X — банахово пространство ), то любой базис Гамеля X обязательно несчетный . Это является следствием теоремы Бэра о категории . Полнота, а также бесконечная размерность являются важнейшими предположениями в предыдущем утверждении. Действительно, конечномерные пространства по определению имеют конечные базисы, и существуют бесконечномерные ( неполные ) нормированные пространства, которые имеют счетные базисы Гамеля. Рассмотрим , пространство последовательностей действительных чисел, которые имеют только конечное число ненулевых элементов, с нормой . Его стандартный базис , состоящий из последовательностей, имеющих только один ненулевой элемент, равный 1, является счетным базисом Гамеля. ${\displaystyle c_{00}}$ ${\displaystyle x=(x_{n})}$ ${\textstyle \|x\|=\sup _{n}|x_{n}|}$

Пример

При изучении рядов Фурье мы узнаем, что функции {1} ∪ { sin( nx ), cos( nx ) : n = 1, 2, 3, ... } являются «ортогональным базисом» (действительного или комплексного) векторного пространства всех (действительных или комплексных) функций на интервале [0, 2π], которые квадратично интегрируемы на этом интервале, т. е. функций f, удовлетворяющих $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left|f(x)\right|^{2}\,dx<\infty .}$$

Функции {1} ∪ { sin( nx ), cos( nx ) : n = 1, 2, 3, ... } линейно независимы, и каждая функция f , интегрируемая с квадратом на [0, 2π], является их «бесконечной линейной комбинацией» в том смысле, что $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{0}^{2\pi }{\biggl |}a_{0}+\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}\cos \left(kx\right)+b_{k}\sin \left(kx\right)\right)-f(x){\biggr |}^{2}dx=0}$$

для подходящих (действительных или комплексных) коэффициентов a _k , b _k . Но многие ^[3] квадратично-интегрируемые функции не могут быть представлены в виде конечных линейных комбинаций этих базисных функций, которые, следовательно, не составляют базис Гамеля. Каждый базис Гамеля этого пространства намного больше, чем этот просто счетно бесконечный набор функций. Базисы Гамеля пространств такого рода обычно бесполезны, тогда как ортонормированные базисы этих пространств необходимы в анализе Фурье .

Геометрия

Геометрические понятия аффинного пространства , проективного пространства , выпуклого множества и конуса имеют родственные понятия базис . ^[4] Аффинный базис для n -мерного аффинного пространства — это точки в общем линейном положении . A ${\displaystyle n+1}$Проективный базис — этоточки в общем положении в проективном пространстве размерностиn. A ${\displaystyle n+2}$Выпуклый базис многогранника—это множество вершин еговыпуклой оболочки.Конусный базис ^[5]состоит из одной точки на ребре многоугольного конуса. См. такжебазис Гильберта (линейное программирование).

Случайная основа

Для распределения вероятностей в R ⁿ с функцией плотности вероятности , такой как равнораспределение в n -мерном шаре относительно меры Лебега, можно показать, что n случайно и независимо выбранных векторов сформируют базис с вероятностью единица , что обусловлено тем, что n линейно зависимых векторов x ₁ , ..., x _n в R ⁿ должны удовлетворять уравнению det[ x ₁ ⋯ x _n ] = 0 (нулевой определитель матрицы со столбцами x _i ), а множество нулей нетривиального многочлена имеет нулевую меру. Это наблюдение привело к появлению методов аппроксимации случайных базисов. ^{[6] [7]}

Эмпирическое распределение длин N парных почти ортогональных цепей векторов, которые независимо случайным образом выбираются из n -мерного куба [−1, 1] ⁿ как функция размерности n . Ящичные диаграммы показывают вторые и третьи квартили этих данных для каждого n , красные полосы соответствуют медианам, а синие звезды указывают средние значения. Красная кривая показывает теоретическую границу, заданную уравнением (1), а зеленая кривая показывает уточненную оценку. ^[7]

Линейную зависимость или точную ортогональность трудно проверить численно. Поэтому используется понятие ε-ортогональности. Для пространств со скалярным произведением x ε -ортогонален y, если (то есть косинус угла между x и y меньше ε ). ${\displaystyle \left|\left\langle x,y\right\rangle \right|/\left(\left\|x\right\|\left\|y\right\|\right)<\varepsilon }$

В больших размерностях два независимых случайных вектора с высокой вероятностью почти ортогональны, а число независимых случайных векторов, которые все с заданной высокой вероятностью попарно почти ортогональны, растет экспоненциально с размерностью. Точнее, рассмотрим равнораспределение в n -мерном шаре. Выберем N независимых случайных векторов из шара (они независимы и одинаково распределены ). Пусть θ будет малым положительным числом. Тогда для

N случайных векторов все попарно ε-ортогональны с вероятностью 1 − θ . ^[7] Это N растет экспоненциально с размерностью n и для достаточно больших n . Это свойство случайных базисов является проявлением так называемого феномена концентрации меры . ^[8] ${\displaystyle N\gg n}$

Рисунок (справа) иллюстрирует распределение длин N попарно почти ортогональных цепочек векторов, которые независимо случайным образом выбираются из n -мерного куба [−1, 1] ^{n ,} как функцию размерности n . Сначала в кубе случайным образом выбирается точка. Вторая точка случайным образом выбирается в том же кубе. Если угол между векторами был в пределах π/2 ± 0,037π/2, то вектор сохранялся. На следующем шаге в том же гиперкубе генерируется новый вектор и оцениваются его углы с ранее сгенерированными векторами. Если эти углы находятся в пределах π/2 ± 0,037π/2 , то вектор сохраняется. Процесс повторяется до тех пор, пока цепочка почти ортогональности не разорвется, и регистрируется количество таких попарно почти ортогональных векторов (длина цепочки). Для каждого n численно строились 20 попарно почти ортогональных цепочек для каждого измерения. Представлено распределение длины этих цепей.

Доказательство того, что каждое векторное пространство имеет базис

Пусть V — произвольное векторное пространство над некоторым полем F. Пусть X — множество всех линейно независимых подмножеств V.

Множество X непусто, поскольку пустое множество является независимым подмножеством V , и оно частично упорядочено по включению, что обозначается, как обычно, ⊆ .

Пусть Y — подмножество X , полностью упорядоченное по ⊆ , и пусть L _Y — объединение всех элементов Y (которые сами по себе являются определенными подмножествами V ).

Так как ( Y , ⊆) полностью упорядочено, каждое конечное подмножество L _Y является подмножеством элемента Y , который является линейно независимым подмножеством V , и, следовательно, L _Y линейно независимо. Таким образом , L _Y является элементом X . Следовательно, L _Y является верхней границей для Y в ( X , ⊆) : это элемент X , который содержит каждый элемент Y .

Так как X непусто, и каждое полностью упорядоченное подмножество ( X , ⊆) имеет верхнюю границу в X , лемма Цорна утверждает, что X имеет максимальный элемент. Другими словами, существует некоторый элемент L _max из X, удовлетворяющий условию, что всякий раз, когда L _max ⊆ L для некоторого элемента L из X , то L = L _max .

Осталось доказать, что L _max является базисом V. Поскольку L _max принадлежит X , мы уже знаем, что L max _{является} линейно независимым подмножеством V.

Если бы был некоторый вектор w из V , который не входит в область L _max , то w также не был бы элементом L _max . Пусть L _w = L _max ∪ { w } . Это множество является элементом X , то есть оно является линейно независимым подмножеством V (потому что w не входит в область L _max , а L _max независимо). Поскольку L _max ⊆ L _w , и L _max ≠ L _w (потому что L _w содержит вектор w , который не содержится в L _max ), это противоречит максимальности L _max . Таким образом, это показывает, что L _max охватывает V .

Следовательно, L _max линейно независим и охватывает V. Таким образом, он является базисом V , и это доказывает, что каждое векторное пространство имеет базис.

Это доказательство опирается на лемму Цорна, которая эквивалентна аксиоме выбора . Наоборот, было доказано, что если каждое векторное пространство имеет базис, то аксиома выбора верна. ^[9] Таким образом, два утверждения эквивалентны.

Смотрите также

• Основа матроида
• Основа линейной программы
• Изменение базиса  – Изменение координат в линейной алгебре
• Каркас векторного пространства  – Аналогичен базису векторного пространства, но не обязательно линейно независим.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Сферический базис  – Базис, используемый для выражения сферических тензоров.

Примечания

1. Халмош, Пол Ричард (1987). Конечномерные векторные пространства (4-е изд.). Нью-Йорк: Springer. стр. 10. ISBN 978-0-387-90093-3.
2. Хамель 1905
3. Обратите внимание, что нельзя сказать «большинство», поскольку мощности двух множеств (функций, которые могут и не могут быть представлены конечным числом базисных функций) одинаковы.
4. Риз, Элмер Г. (2005). Заметки о геометрии. Берлин: Springer. стр. 7. ISBN 978-3-540-12053-7.
5. Кучма, Марек (1970). «Некоторые замечания об аддитивных функциях на конусах». Математические уравнения . 4 (3): 303–306. дои : 10.1007/BF01844160. S2CID  189836213.
6. Игелник, Б.; Пао, Й.-Х. (1995). «Стохастический выбор базисных функций в аппроксимации адаптивных функций и функционально-связной сети». IEEE Trans. Neural Netw . 6 (6): 1320–1329. doi :10.1109/72.471375. PMID  18263425.
7. Горбань, Александр Н .; Тюкин, Иван Ю.; Прохоров, Данил В.; Софейков, Константин И. (2016). «Аппроксимация со случайными базисами: Pro et Contra». Информационные науки . 364–365: 129–145. arXiv : 1506.04631 . doi :10.1016/j.ins.2015.09.021. S2CID  2239376.
8. Артштейн, Шири (2002). «Пропорциональные явления концентрации сферы» (PDF) . Israel Journal of Mathematics . 132 (1): 337–358. CiteSeerX 10.1.1.417.2375 . doi : 10.1007/BF02784520 . S2CID  8095719. 
9. Бласс 1984

Ссылки

Общие ссылки

• Бласс, Андреас (1984), «Существование баз подразумевает аксиому выбора» (PDF) , Аксиоматическая теория множеств , Contemporary Mathematics, том 31, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 31–33, ISBN 978-0-8218-5026-8, МР  0763890
• Браун, Уильям А. (1991), Матрицы и векторные пространства, Нью-Йорк: М. Деккер, ISBN 978-0-8247-8419-5
• Ланг, Серж (1987), Линейная алгебра , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96412-6

Исторические справки

• Банах, Стефан (1922), «Sur les opérations dans les ансамбли abstraits et leur application aux équations intégrales (Об операциях в абстрактных множествах и их применении к интегральным уравнениям)» (PDF) , Fundamenta Mathematicae (на французском языке), 3 : 133– 181, номер документа : 10.4064/fm-3-1-133-181, ISSN  0016-2736.
• Больцано, Бернар (1804 г.), Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrice (Соображения некоторых аспектов элементарной геометрии) (на немецком языке)
• Бурбаки, Николя (1969), Éléments d'histoire des mathématiques (Элементы истории математики) (на французском языке), Париж: Герман
• Дорье, Жан-Люк (1995), «Общий очерк генезиса теории векторного пространства», Historia Mathematica , 22 (3): 227–261, doi : 10.1006/hmat.1995.1024 , MR  1347828
• Фурье, Жан Батист Жозеф (1822), Аналитическая теория (на французском языке), Chez Firmin Didot, père et fils
• Грассманн, Герман (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (на немецком языке), перепечатка: Герман Грассман. Перевод Ллойда К. Канненберга. (2000), Теория расширений , Канненберг, LC, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2031-5
• Хамель, Георг (1905), «Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y)», Mathematische Annalen (на немецком языке), 60 (3), Лейпциг: 459–462, номер документа : 10.1007/BF01457624, S2CID  120063569.
• Гамильтон, Уильям Роуэн (1853), Лекции о кватернионах, Королевская Ирландская академия
• Мёбиус, Август Фердинанд (1827), Der Barycentrische Calcul: ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Барицентрическое исчисление: новая утилита для аналитической обработки геометрии) (на немецком языке), заархивировано из оригинала 12 апреля 2009 г.
• Мур, Грегори Х. (1995), «Аксиоматизация линейной алгебры: 1875–1940», Historia Mathematica , 22 (3): 262–303, doi : 10.1006/hmat.1995.1025
• Пеано, Джузеппе (1888), Calcolo Geometrico Secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (на итальянском языке), Турин{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Внешние ссылки

• Обучающие видео от Khan Academy
  • Введение в базисы подпространств
  • Доказательство того, что любой базис подпространства имеет одинаковое количество элементов
• «Линейные комбинации, охват и базисные векторы». Сущность линейной алгебры . 6 августа 2016 г. Архивировано из оригинала 2021-11-17 – через YouTube .
• «Базис», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]