Проблема с ремнем

Проблема с ремнем

Задача о ремне — это математическая задача, которая требует нахождения длины скрещенного ремня , соединяющего два круглых шкива с радиусами r ₁ и r _2, центры которых находятся на расстоянии P. Решение задачи о ремне требует тригонометрии и понятий двойной касательной , вертикального угла и конгруэнтных углов .

Решение

Очевидно, что треугольники ACO и ADO являются конгруэнтными прямоугольными треугольниками , как и треугольники BEO и BFO. Кроме того, треугольники ACO и BEO подобны . Поэтому углы CAO, DAO, EBO и FBO все равны. Обозначая этот угол через (выраженный в радианах ), длина ремня равна ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle CO+DO+EO+FO+{\text{arc}}CD+{\text{arc}}EF\,\!}$

${\displaystyle =2r_{1}\tan(\varphi )+2r_{2}\tan(\varphi )+(2\pi -2\varphi )r_{1}+(2\pi -2\varphi )r_{2}\,\!}$

${\displaystyle =2(r_{1}+r_{2})(\tan(\varphi )+\pi -\varphi )\,\!}$

При этом используется удобство обозначения углов в радианах, поскольку длина дуги = радиус × величина угла , обращенного к дуге .

Чтобы найти, мы видим из подобия треугольников ACO и BEO, что ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {AO}{BO}}={\frac {AC}{BE}}\,\!}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {P-x}{x}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\,\!}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {P}{x}}={\frac {r_{1}+r_{2}}{r_{2}}}\,\!}$

${\displaystyle \Rightarrow {x}={\frac {Pr_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\,\!}$

${\displaystyle \cos(\varphi )={\frac {r_{2}}{x}}={\frac {r_{2}}{\left({\dfrac {Pr_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\right)}}={\frac {r_{1}+r_{2}}{P}}\,\!}$

${\displaystyle \Rightarrow \varphi =\arccos \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{P}}\right)\,\!}$

При фиксированном P длина ремня зависит только от суммы значений радиуса r ₁  +  r ₂ , а не от их индивидуальных значений.

Проблема со шкивом

Проблема шкива

Существуют и другие типы задач, похожие на задачу с ремнем. Задача со шкивом , как показано, похожа на задачу с ремнем; однако ремень не пересекает сам себя. В задаче со шкивом длина ремня равна

${\displaystyle 2P\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)+r_{1}(2\pi -\theta )+r_{2}{\theta }\,,}$

где r ₁ представляет собой радиус большего шкива, r ₂ представляет собой радиус меньшего шкива, и:

${\displaystyle \theta =2\arccos \left({\frac {r_{1}-r_{2}}{P}}\right)\,.}$

Приложения

Проблема ремней используется ^[1] при проектировании самолетов , велосипедных передач , автомобилей и других предметов со шкивами или ремнями , которые пересекаются друг с другом. Проблема шкивов также используется при проектировании конвейерных лент, используемых в багажных лентах аэропортов и автоматизированных заводских линиях. ^[2]

Смотрите также

• Касательные линии к окружностям

Ссылки

1. Примеры тригонометрии в реальной жизни. Архивировано 25 апреля 2009 г. на Wayback Machine.
2. Тригонометрия, используемая в конвейерных лентах. Архивировано 22 февраля 2012 г. на Wayback Machine.