Теорема Кэли

В теории групп теорема Кэли , названная в честь Артура Кэли , утверждает, что каждая группа $G$ изоморфна подгруппе симметричной группы . ^[1] Более конкретно, $G$ изоморфна подгруппе симметричной группы, элементы которой являются перестановками основного набора $G$ . Явно, $\operatorname {Sym} (G)$

для каждого карта умножения слева на $g$ $,$ отправляющая каждый элемент $x$ в $gx$ , является перестановкой G и $г\in G$ $\ell _{g}\двоеточие G\to G$
отображение , отправляющее каждый элемент $g$ , является инъективным гомоморфизмом , поэтому оно определяет изоморфизм из $G$ на подгруппу . $G\to \operatorname {Sym} (G)$ $\ell _{g}$ $\operatorname {Sym} (G)$

Гомоморфизм также можно понимать как возникающий в результате действия левого сдвига группы $G$ на базовое множество $G$ . ^[2] $G\to \operatorname {Sym} (G)$

Когда $G$ конечна, она тоже конечна. Доказательство теоремы Кэли в этом случае показывает, что если $G$ — конечная группа порядка $n$ , то $G$ изоморфна подгруппе стандартной симметрической группы . Но $G$ также может быть изоморфна подгруппе меньшей симметрической группы для некоторых ; например, группа порядка 6 не только изоморфна подгруппе из , но также (тривиально) изоморфна подгруппе из . ^[3] Проблема нахождения симметрической группы минимального порядка, в которую вкладывается данная группа $G$ , весьма сложна. ^[4]^[5] $\operatorname {Sym} (G)$ $S_{n}$ $S_{m}$ $м<n$ $G=S_{3}$ $S_{6}$ $S_{3}$

Альперин и Белл отмечают, что «в целом тот факт, что конечные группы вложены в симметрические группы, не повлиял на методы, используемые для изучения конечных групп». ^[6]

Когда $G$ бесконечна, она бесконечна, но теорема Кэли все еще применима. $\operatorname {Sym} (G)$

История

Хотя это кажется достаточно элементарным, в то время современных определений не существовало, и когда Кэли ввел то, что сейчас называется группами , не сразу было ясно, что это эквивалентно ранее известным группам, которые теперь называются группами перестановок . Теорема Кэли объединяет эти два понятия.

Хотя Бернсайд ^[7] приписывает эту теорему Джордану , ^[8] Эрик Нуммела ^[9] , тем не менее, утверждает, что стандартное название — «Теорема Кэли» — на самом деле подходит. Кэли в своей оригинальной статье 1854 года ^[10] показал, что соответствие в теореме взаимно однозначно, но ему не удалось явно показать, что это гомоморфизм (и, следовательно, вложение). Однако Нуммела отмечает, что Кэли в то время сделал этот результат известным математическому сообществу, таким образом, примерно на 16 лет раньше Джордана.

Теорема была позже опубликована Вальтером Дейком в 1882 году ^[11] и приписана Дейку в первом издании книги Бернсайда. ^[12]

Фон

Перестановка множества $A$ является биективной функцией из $A$ в $A$ . Набор всех перестановок $A$ образует группу при композиции функций , называемую симметричной группой на $A$ и записываемую как . ^[13] В частности, если взять $A$ в качестве основного множества группы $G$ , получится симметричная группа, обозначаемая . $\operatorname {Sym} (A)$ $\operatorname {Sym} (G)$

Доказательство теоремы

Если g — любой элемент группы G с операцией ∗, рассмотрим функцию f _g : G → G , определенную формулой f _g ( x ) = g ∗ x . Благодаря существованию обратных эта функция имеет и обратную . Таким образом, умножение на g действует как биективная функция. Таким образом, fg является перестановкой G и поэтому является членом Sym( _G ) . $f_{g^{-1}}$

Множество K = { f _g : g ∈ G } является подгруппой Sym( G ), изоморфной G . Самый быстрый способ установить это — рассмотреть функцию T : G → Sym( G ) с T ( g ) = f _g для каждого g в G . T является гомоморфизмом группы , потому что (используя · для обозначения композиции в Sym( G )):

(f_{g}\cdot f_{h})(x)=f_{g}(f_{h}(x))=f_{g}(h*x)=g*(h*x)=(g*h)*x=f_{g*h}(x),

для всех x в G и, следовательно:

T(g)\cdot T(h)=f_{g}\cdot f_{h}=f_{g*h}=T(g*h).

Гомоморфизм T инъективен, поскольку T ( g ) = id _G (единичный элемент Sym( G )) подразумевает, что g ∗ x = x для всех x в G , и если взять x в качестве единичного элемента e группы G , то g = g ∗ e = e , т. е. ядро тривиально. Альтернативно, T также инъективен, поскольку из g ∗ x = g ′ ∗ x следует, что g = g ′ (поскольку каждая группа сокращаема ).

Таким образом, G изоморфна образу T , который является подгруппой K.

T иногда называют регулярным представлением G .

Альтернативная установка доказательства

Альтернативная настройка использует язык групповых действий . Мы рассматриваем группу как действующую на себя умножением слева, т. е . имеющую представление перестановки, скажем . $G$ $g\cdot x=gx$ $\phi :G\to \mathrm {Sym} (G)$

Представление является точным, если оно инъективно, т. е. если ядро тривиально. Предполагать . Затем, . Таким образом, это тривиально. Результат следует с использованием первой теоремы об изоморфизме , из которой мы получаем . $\phi$ $\phi$ $g\in \ker \phi$ $g=ge=g\cdot e=e$ $\ker \phi$ $\mathrm {Im} \,\phi \cong G$

Замечания о регулярном представлении группы

Единичный элемент группы соответствует идентичной перестановке. Все остальные элементы группы соответствуют нарушениям : перестановкам, которые не оставляют неизменным ни один элемент. Поскольку это также применимо к степеням элемента группы, порядок которых ниже порядка этого элемента, каждый элемент соответствует перестановке, состоящей из циклов одинаковой длины: эта длина является порядком этого элемента. Элементы в каждом цикле образуют правый смежный класс подгруппы, порожденной элементом.

Примеры регулярного представления группы

$\mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}$ со сложением по модулю 2; элемент группы 0 соответствует тождественной перестановке e, элемент группы 1 — перестановке (12) (см. обозначение цикла ). Например, 0 +1 = 1 и 1+1 = 0, так же, как и при перестановке. ${\textstyle 1\mapsto 0}$ ${\textstyle 0\mapsto 1,}$

$\mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}$ со сложением по модулю 3; Групповой элемент 0 соответствует тождественной перестановке e, групповой элемент 1 — перестановке (123), а групповой элемент 2 — перестановке (132). Например, 1 + 1 = 2 соответствует (123)(123) = (132).

$\mathbb {Z} _{4}=\{0,1,2,3\}$ со сложением по модулю 4; элементы соответствуют е, (1234), (13)(24), (1432).

Элементы четырехгруппы Клейна {e, a, b, c} соответствуют e, (12)(34), (13)(24) и (14)(23).

S ₃ ( группа диэдра порядка 6 ) - это группа всех перестановок 3 объектов, а также группа перестановок из 6 элементов группы, и последняя - это то, как она реализуется посредством своего регулярного представления.

Более общее заявление

Теорема: Пусть $G$ — группа и $H$ — подгруппа. Пусть – множество левых смежных классов $H$ в $G$ . Пусть $N$ — нормальное ядро H $в$ G $,$ определенное как пересечение сопряженных $H$ в $G.$ Тогда факторгруппа изоморфна подгруппе . $G/H$ $G/N$ $\operatorname {Sym} (G/H)$

Особым случаем является оригинальная теорема Кэли. $H=1$

Смотрите также

Теорема Вагнера–Престона является аналогом для инверсных полугрупп.
Теорема Биркгофа о представлении , аналогичный результат в теории порядка.
Теорема Фрухта : каждая конечная группа является группой автоморфизмов графа.
Лемма Йонеды , обобщение теоремы Кэли в теории категорий.
Теорема о представлении

Примечания

^ Джейкобсон (2009, стр. 38)
^ Джейкобсон (2009, стр. 72, пр. 1)
^ Питер Дж. Кэмерон (2008). Введение в алгебру, второе издание . Издательство Оксфордского университета. п. 134. ИСБН 978-0-19-852793-0.
^ Джонсон, DL (1971). «Минимальные перестановочные представления конечных групп». Американский журнал математики . 93 (4): 857–866. дои : 10.2307/2373739. JSTOR 2373739.
^ Гречкосеева, М.А. (2003). «О минимальных представлениях перестановок классических простых групп». Сибирский математический журнал . 44 (3): 443–462. дои : 10.1023/А: 1023860730624. S2CID 126892470.
^ Дж. Л. Альперин; Роуэн Б. Белл (1995). Группы и представления . Спрингер. п. 29. ISBN 978-0-387-94525-5.
^ Бернсайд, Уильям (1911), Теория групп конечного порядка (2-е изд.), Кембридж, с. 22, ISBN 0-486-49575-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
^ Джордан, Камилла (1870), Traite des Substitutions et des Algebriques , Париж: Готер-Вилларс
^ Нуммела, Эрик (1980), «Теорема Кэли для топологических групп», American Mathematical Monthly , 87 (3), Математическая ассоциация Америки: 202–203, doi : 10.2307/2321608, JSTOR 2321608
^ Кэли, Артур (1854), «К теории групп в зависимости от символического уравнения θn=1», Philosophical Magazine , 7 (42): 40–47
^ фон Дейк, Вальтер (1882), «Gruppentheoretische Studien» [Теоретико-групповые исследования], Mathematische Annalen , 20 (1): 30, doi : 10.1007/BF01443322, hdl : 2027/njp.32101075301422 , ISSN 0025-5831, S 2CID 179178038. (на немецком)
^ Бернсайд, Уильям (1897), Теория групп конечного порядка (1-е изд.), Кембридж, стр. 22{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
^ Джейкобсон (2009, стр. 31)