stringtranslate.com

Метод граничных элементов

Метод граничных элементов ( МГЭ ) — это численный вычислительный метод решения линейных уравнений в частных производных , которые были сформулированы как интегральные уравнения (т. е. в форме граничного интеграла ), включая механику жидкости , акустику , электромагнетизм (где этот метод известен как метод моментов или сокращенно МЭ ), [1] механику разрушения , [2] и контактную механику . [3] [4]

Математическая основа

Интегральное уравнение можно рассматривать как точное решение основного частного дифференциального уравнения. Метод граничных элементов пытается использовать заданные граничные условия для подгонки граничных значений к интегральному уравнению, а не значений по всему пространству, определяемому частным дифференциальным уравнением. После того, как это сделано, на этапе постобработки интегральное уравнение может быть снова использовано для численного расчета решения непосредственно в любой желаемой точке внутри области решения.

BEM применим к задачам, для которых можно рассчитать функции Грина . Обычно они включают поля в линейных однородных средах. Это накладывает значительные ограничения на диапазон и общность задач, к которым можно с пользой применить граничные элементы. Нелинейности могут быть включены в формулировку, хотя они, как правило, вводят объемные интегралы, которые затем требуют дискретизации объема перед попыткой решения, устраняя одно из наиболее часто упоминаемых преимуществ BEM [ требуется ссылка ] . Полезным методом обработки объемного интеграла без дискретизации объема является метод двойной взаимности. Метод аппроксимирует часть подынтегрального выражения с помощью радиальных базисных функций (локальных интерполирующих функций) и преобразует объемный интеграл в граничный интеграл после сопоставления в выбранных точках, распределенных по всей области объема (включая границу). В BEM с двойной взаимностью, хотя нет необходимости дискретизировать объем в сетки, неизвестные в выбранных точках внутри области решения участвуют в линейных алгебраических уравнениях, аппроксимирующих рассматриваемую задачу.

Элементы функции Грина, соединяющие пары источников и полей, определяемые сеткой, образуют матрицу, которая решается численно. Если функция Грина не ведет себя хорошо, по крайней мере для пар полей, расположенных близко друг к другу, функция Грина должна быть интегрирована по одному или обоим источникам и по полям. Форма метода, в которой интегралы по источникам и полям одинаковы, называется « методом Галеркина ». Метод Галеркина является очевидным подходом для задач, которые симметричны относительно обмена точками источника и поля. В частотной области электромагнетизма это обеспечивается электромагнитной взаимностью . Стоимость вычислений, связанных с наивными реализациями Галеркина, обычно довольно серьезна. Необходимо выполнить цикл по каждой паре элементов (таким образом, мы получаем n 2 взаимодействий), и для каждой пары элементов мы выполняем цикл по точкам Гаусса в элементах, создавая мультипликативный множитель, пропорциональный числу квадратов точек Гаусса. Кроме того, требуемые оценки функций обычно довольно дороги, включая вызовы тригонометрических/гиперболических функций. Тем не менее, основным источником вычислительных затрат является этот двойной цикл по элементам, создающий полностью заполненную матрицу.

Функции Грина , или фундаментальные решения , часто проблематичны для интеграции, поскольку они основаны на решении системных уравнений, подверженных нагрузке сингулярности (например, электрическое поле, возникающее из точечного заряда). Интеграция таких сингулярных полей нелегка. Для простых геометрий элементов (например, плоских треугольников) можно использовать аналитическое интегрирование. Для более общих элементов можно разработать чисто численные схемы, которые адаптируются к сингулярности, но с большими вычислительными затратами. Конечно, когда исходная точка и целевой элемент (где выполняется интегрирование) находятся далеко друг от друга, локальный градиент, окружающий точку, не нужно точно количественно определять, и становится возможным легко интегрировать из-за плавного затухания фундаментального решения. Именно эта функция обычно используется в схемах, разработанных для ускорения вычислений задач граничных элементов.

Вывод замкнутых функций Грина представляет особый интерес в методе граничных элементов, особенно в электромагнетизме. В частности, при анализе слоистых сред вывод функции Грина в пространственной области требует инверсии аналитически выводимой спектральной функции Грина через интеграл Зоммерфельда по траектории. Этот интеграл не может быть оценен аналитически, а его численное интегрирование является дорогостоящим из-за его колебательного и медленно сходящегося поведения. Для надежного анализа пространственные функции Грина аппроксимируются как комплексные экспоненты с помощью таких методов, как метод Прони или обобщенный пучок функций , а интеграл оценивается с помощью тождества Зоммерфельда . [5] [6] [7] [8] Этот метод известен как метод дискретного комплексного изображения. [7] [8]

Сравнение с другими методами

Метод граничных элементов часто более эффективен, чем другие методы, включая конечные элементы, с точки зрения вычислительных ресурсов для задач, где есть малое отношение поверхности к объему. [9] Концептуально, он работает путем построения « сетки » по моделируемой поверхности. Однако для многих задач методы граничных элементов значительно менее эффективны, чем методы дискретизации объема ( метод конечных элементов , метод конечных разностей , метод конечных объемов ). Хорошим примером применения метода граничных элементов является эффективный расчет собственных частот плескания жидкости в резервуарах. [10] [11] [12] Метод граничных элементов является одним из наиболее эффективных методов численного моделирования контактных задач, [13] в частности, для моделирования адгезионных контактов. [14]

Формулировки граничных элементов обычно приводят к полностью заполненным матрицам. Это означает, что требования к хранению и время вычислений будут расти в соответствии с квадратом размера задачи. Напротив, матрицы конечных элементов обычно являются полосовыми (элементы связаны только локально), а требования к хранению для системных матриц обычно растут довольно линейно с размером задачи. Методы сжатия (например, мультипольные разложения или адаптивная перекрестная аппроксимация/ иерархические матрицы ) могут использоваться для улучшения этих проблем, хотя и за счет дополнительной сложности и с вероятностью успеха, которая сильно зависит от характера решаемой задачи и задействованной геометрии.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ В электромагнетизме более традиционный термин «метод моментов» часто используется, хотя и не всегда, как синоним «метода граничных элементов»: дополнительную информацию по этому вопросу см. в (Gibson 2008).
  2. ^ Метод граничных элементов хорошо подходит для анализа трещин в твердых телах. Существует несколько подходов граничных элементов для задач с трещинами. Один из таких подходов заключается в формулировании условий на трещинах в терминах гиперсингулярных граничных интегральных уравнений, см. (Ang 2013).
  3. ^ Pohrt, R.; Li, Q. (2014-10-01). "Полная формулировка граничных элементов для задач нормального и касательного контакта". Physical Mesomechanics . 17 (4): 334–340. doi :10.1134/S1029959914040109. ISSN  1029-9599. S2CID  137494525.
  4. ^ "Учебное пособие по расчету контактного давления на основе BEM". www.tribonet.org . 9 ноября 2017 г.
  5. ^ Chow, YL; Yang, JJ; Fang, DG; Howard, GE (март 1991). "Пространственная функция Грина в замкнутой форме для толстой микрополосковой подложки". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 39 (3): 588–592. Bibcode : 1991ITMTT..39..588C. doi : 10.1109/22.75309.
  6. ^ Аксун, MI (февраль 2003 г.). «Надежный подход к выводу замкнутых функций Грина». IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 44 (5): 651–658. doi :10.1109/22.493917. hdl : 11693/10779 .
  7. ^ ab Teo, Swee-Ann (2000). «Метод дискретного комплексного изображения для функций Грина общих многослойных сред». IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 10 (10): 400–402. doi :10.1109/75.877225.
  8. ^ ab Teo, Swee-Ann; Chew, Siou-Teck; Leong, Mook-Seng (февраль 2003 г.). «Анализ ошибок метода дискретного комплексного изображения и извлечения полюса». IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 51 (2): 406–412. Bibcode :2003ITMTT..51..406T. doi :10.1109/TMTT.2002.807834.
  9. ^ См. (Кацикаделис 2002).
  10. ^ Колаи, Амир; Ракхея, Субхаш; Ричард, Марк Дж. (2015-09-01). «Трехмерное динамическое плескание жидкости в частично заполненных горизонтальных резервуарах, подверженных одновременным продольным и поперечным возбуждениям». European Journal of Mechanics B. 53 : 251–263. Bibcode : 2015EuJMB..53..251K. doi : 10.1016/j.euromechflu.2015.06.001.
  11. ^ Колаи, Амир; Ракхея, Субхаш; Ричард, Марк Дж. (2015-01-31). «Связанный мультимодальный и гранично-элементный метод анализа противоплесневой эффективности частичных перегородок в частично заполненном контейнере». Компьютеры и жидкости . 107 : 43–58. doi :10.1016/j.compfluid.2014.10.013.
  12. ^ Колаи, Амир; Ракхеджа, Субхаш; Ричард, Марк Дж. (14.11.2014). Том 4A: Динамика, вибрация и управление . стр. V04AT04A067. doi :10.1115/IMECE2014-37271. ISBN 978-0-7918-4647-6.
  13. ^ Попов, Валентин (2017). Контактная механика и трение - Физические основы и (глава 19). Springer. стр. 337–341. ISBN 9783662530801.
  14. ^ Pohrt, Roman; Popov, Valentin L. (2015-04-09). "Моделирование адгезионного контакта упругих твердых тел с использованием локального критерия отрыва, зависящего от сетки, в методе граничных элементов". Facta Universitatis, Серия: Машиностроение . 13 (1): 3–10.
  15. ^ Наджарзаде, Л., Мовахедиан, Б. и Азхари, М., 2022. Численное решение задач распространения волн на воде над переменной батиметрией с использованием модифицированного метода граничных элементов радиальной интеграции. Ocean Engineering, 257, стр.111613.
  16. ^ Наджарзаде, Л., Мовахедиан, Б. и Азхари, М., 2019. Численное решение скалярного волнового уравнения с помощью модифицированного метода граничных элементов радиальной интеграции. Инженерный анализ с граничными элементами, 105, стр. 267-278.

Библиография

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки

Бесплатное программное обеспечение