Плетеная моноидная категория

Объект в теории категорий

В математике ограничение коммутативности на моноидальную категорию — это выбор изоморфизма для каждой пары объектов A и B , которые образуют «естественное семейство». В частности, чтобы иметь ограничение коммутативности, нужно иметь для всех пар объектов . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A}$ ${\displaystyle A\otimes B\cong B\otimes A}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}}$

Сплетенная моноидальная категория — это моноидальная категория , снабженная сплетением , то есть ограничением коммутативности , которое удовлетворяет аксиомам, включая тождества шестиугольника, определенные ниже. Термин сплетенный ссылается на тот факт, что группа кос играет важную роль в теории сплетенных моноидальных категорий. Отчасти по этой причине сплетенные моноидальные категории и другие темы связаны в теории инвариантов узлов . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \gamma }$

С другой стороны, сплетенную моноидальную категорию можно рассматривать как трикатегорию с одной 0-ячейкой и одной 1-ячейкой.

Плетеные моноидальные категории были введены Андре Джоялом и Россом Стритом в препринте 1986 года. ^[1] Измененная версия этой статьи была опубликована в 1993 году. ^[2]

Шестиугольные тождества

Для того, чтобы вместе с ограничением коммутативности называться сплетенной моноидальной категорией, следующие гексагональные диаграммы должны коммутировать для всех объектов . Вот изоморфизм ассоциативности, вытекающий из моноидальной структуры на : ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Характеристики

Согласованность

Можно показать, что естественный изоморфизм вместе с отображениями, происходящими из моноидальной структуры в категории , удовлетворяют различным условиям когерентности , которые утверждают, что различные композиции структурных отображений равны. В частности: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha ,\lambda ,\rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• Плетение коммутирует с единицами. То есть, следующая диаграмма коммутирует:

• Действие на -кратное тензорное произведение факторов через группу кос . В частности, ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle (\gamma _{B,C}\otimes {\text{Id}})\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{A,C})\circ (\gamma _{A,B}\otimes {\text{Id}})=({\text{Id}}\otimes \gamma _{A,B})\circ (\gamma _{A,C}\otimes {\text{Id}})\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{B,C})}$

как карты . Здесь мы опустили карты-ассоциаторы. ${\displaystyle A\otimes B\otimes C\rightarrow C\otimes B\otimes A}$

Вариации

Существует несколько вариантов сплетенных моноидальных категорий, которые используются в различных контекстах. См., например, пояснительную статью Сэвиджа (2009) для объяснения симметричных и кограничных моноидальных категорий, а также книгу Чари и Прессли (1995) для ленточных категорий.

Симметричные моноидальные категории

Сплетенная моноидальная категория называется симметричной, если также удовлетворяет для всех пар объектов и . В этом случае действие на -кратное тензорное произведение пропускается через симметрическую группу . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle N}$

Категории лент

Сплетенная моноидальная категория является ленточной категорией, если она жесткая , и может сохранять квантовый след и коквантовый след. Ленточные категории особенно полезны при построении инвариантов узлов .

Кограничные моноидальные категории

Кограничная или «кактусовая» моноидальная категория — это моноидальная категория вместе с семейством естественных изоморфизмов со следующими свойствами: ${\displaystyle (C,\otimes ,{\text{Id}})}$ ${\displaystyle \gamma _{A,B}:A\otimes B\to B\otimes A}$

• ${\displaystyle \gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}}$для всех пар объектов и . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle \gamma _{B\otimes A,C}\circ (\gamma _{A,B}\otimes {\text{Id}})=\gamma _{A,C\otimes B}\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{B,C})}$

Первое свойство показывает нам, что , тем самым позволяя нам опустить аналог второй определяющей диаграммы сплетенной моноидальной категории и игнорировать ассоциативные отображения, как подразумевается. ${\displaystyle \gamma _{A,B}^{-1}=\gamma _{B,A}}$

Примеры

• Категория представлений группы (или алгебры Ли ) — это симметричная моноидальная категория, где . ${\displaystyle \gamma (v\otimes w)=w\otimes v}$
• Категория представлений квантованной универсальной обертывающей алгебры является сплетенной моноидальной категорией, где строится с помощью универсальной R -матрицы . Фактически, этот пример также является ленточной категорией. ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \gamma }$

Приложения

• Инварианты узлов .
• Симметричные замкнутые моноидальные категории используются в денотационных моделях линейной логики и линейных типов .
• Описание и классификация топологически упорядоченных квантовых систем.

Ссылки

1. Андре Джойал; Росс Стрит (ноябрь 1986 г.), «Сплетенные моноидальные категории» (PDF) , Macquarie Mathematics Reports (860081)
2. Андре Джойал; Росс Стрит (1993), «Сплетенные тензорные категории», Advances in Mathematics , 102 : 20–78, doi : 10.1006/aima.1993.1055

• Чари, Виджаянти ; Пресли, Эндрю. «Руководство по квантовым группам». Cambridge University Press. 1995.
• Savage, Alistair. Braided and coboundary monoidal categories. Алгебры, представления и приложения, 229–251, Contemp. Math., 483, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009. Доступно на arXiv

Внешние ссылки

• Плетеная моноидальная категория в n Lab
• Джон Баез (1999), Введение в сплетенные моноидальные категории, Находки этой недели в математической физике 137.